精品解析：2026年广东兴宁市宋声学校中考考前模拟数学试卷

兴宁市宋声学校九年级三模数学试卷 一、选择题：本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，，这四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，只需估算出无理数的范围，再结合有理数大小比较规则即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ． 又其余各数满足 ， 将四个数从小到大排列可得∶ ， 因此最大的数是． 2. 2024年广东省政府推进绿美广东生态建设“六大行动”，实施林分优化提升200万亩，森林抚育提升200万亩．数据200万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，要求满足，n为整数，解题时先将200万转化为普通整数，再确定a和n的值即可． 【详解】解：200万． 3. 陶器是人类进入新石器时代的标志之一．如图，这是中山市博物馆陈列的一个新石器时代的展品“划水波纹彩陶豆”，该展品的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图形解答即可． 【详解】解：从正面看，得到的图形为， ∴A选项符合题意． 4. 下列运算结果是的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法逐项排查即可． 【详解】解：A.，故A不符合题意； B.，故B符合题意； C.，故C不符合题意； D.，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关算法是解答本题的关键． 5. 绿道单车观光是集环保、健康、观光于一体的休闲方式，它让人们能够在骑行中感受城市的绿色生态．如图，这是一辆单车，其中AB，CD可看作与地面l平行，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】都与地面l平行，得，利用平行线内错角相等求出，根据，两直线平行同旁内角互补，算出；用减去，得到的度数． 【详解】解：∵都与地面l平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 现有4张卡片，正面分别印有广东四大名山“西樵山”“罗浮山”“鼎湖山”“丹霞山”景区的宣传图案，它们除此之外完全相同．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面上的图案恰好是“罗浮山”和“鼎湖山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把“西樵山”“罗浮山”“鼎湖山”“丹霞山”分别记为A、B、C、D，利用列表法即可求解． 【详解】解：把“西樵山”“罗浮山”“鼎湖山”“丹霞山”分别记为A、B、C、D，列表如下： A B C D A B C D 由表知，一共有12种等可能的结果数，其中随机的两张卡片正面上的图案恰好是“罗浮山”和“鼎湖山”的结果数有2种， 故从中随机抽取两张，则这两张卡片正面上的图案恰好是“罗浮山”和“鼎湖山”的概率是． 7. 数轴上点A，B，C表示的数分别是，1，5，点P在数轴上方，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：∵数轴上点A，B，C表示的数分别是，1，5， ∴，， ∴是的中点， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴以及直角三角形斜边上中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解本题的关键． 8. 如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，的平分线交于点，连接．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了圆周角定理，勾股定理．根据圆周角定理可得，从而得到，再由是的直径，可得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：平分， ， ， ∴， 是的直径， ． 由勾股定理得：． 故选：C 9. 对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝a2﹣ab，例如：3*2＝32﹣3×2＝3，则方程（x＋1）*3＝﹣2的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算“*”的定义将方程（x+1）*3＝﹣2转化为一般式，由根的判别式Δ＝1＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵（x+1）*3＝﹣2， ∴（x+1）2﹣3（x+1）＝﹣2，即x2﹣x＝0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0， ∴方程（x+1）*3＝﹣2有两个不相等的实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 10. 如图，在中，为上一点，过作直线交于点，交于点，，为的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质推出，再结合全等三角形的判定与性质证明是的中点，最后利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴，即为的中点． ∵为的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． 二、填空题：本大题共5小题． 11. 分解因式x3y﹣16xy的结果为________________． 【答案】xy（x＋4）（x﹣4） 【解析】 【分析】先提公因式xy，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法． 12. 写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式___________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0即可． 【详解】∵一次函数y随x的增大而减小 ∴k＜0 ∴y=-x+2（答案不唯一）． 故答案是：y=-x+2（答案不唯一）． 13. 图1是颐和园十七孔桥东的廓如亭，俗称八方亭，它是颐和园乃至全国园林中最大的亭子，始建于清乾隆年间． 图2是其地基示意图，为正八边形，则它的一个外角的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的每个外角都相等，且多边形的外角和都是，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵图2是其地基示意图，为正八边形 ∴则它的一个外角的度数为． 14. 在第31个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比活动，其中九年级6个班的得分分别为 ，，，，，.则这组数据的中位数为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据中位数的定义，先将数据从小到大重新排列，再根据数据个数为偶数，取中间两个数的平均数即可得到中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，．这组数据共有个，个数为偶数，排列后的第个与第个数据都是9，所以中位数为． 15. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______． 【答案】6 【解析】 【分析】设反比例函数关系式为，由条件可求得解析式，求出当函数值为2时的自变量的值即可． 【详解】解：∵火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系， ∴设反比例函数关系式为； ∵当时，， ∴， 解得， 即， ∵火焰的像高为，即， ∴， 解得， 即小孔到蜡烛的距离为． 三、解答题（一）：本大题共3小题． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数，一个负数的绝对值是它的相反数，进行计算即可． 【详解】解： ． 17. “醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”，如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点D的水平距离为米，．已知该舞狮者采摘距离为米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．（参考数据：，，） 【答案】该舞狮者“采青”成功． 如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴该舞狮者“采青”成功． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，再利用锐角三角函数求解，再比较即可． 【详解】略 18. 如图，在中，点 是 上的一点，且 ． （1）实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1） （2）证明：是的平分线， ． 在和中 ． ． 【解析】 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径作弧，与、相交，分别以交点为圆心，大于两个交点之间距离的一半为半径作弧，交于一点，过点B和两弧的交点作射线，交于点E； （2）结合角平分线的定义，可得，证明，即可证得结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题． 19. 某校为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机抽取了名学生进行调查，并将获得的数据整理成如下统计图表． 学生每周参加家务劳动时间统计表 劳动时间时 组中值 人数 （组中值：一组数据中最大值与最小值的平均数） 学生每周参加家务劳动时间扇形统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角度数为____________． （2）请估计该校学生目前每周参加家务劳动时间的平均数； （3）请根据调查结果为该校制定一个学生每周参加家务劳动的合格标准（在组中值中选一个值），并简要说明理由． 【答案】（1） （2）小时 （3） 解：合格标准可以定为每周参加家务劳动小时，理由如下： 由（）可知，该校学生目前每周参加家务劳动时间的平均水平为小时，把标准定为每周参加家务劳动小时，至少有的学生能达标，同时至少有的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标．（答案不唯一，理由充分即可．制定合格标准的原则：既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心） 【解析】 【分析】（）用乘以“”所在扇形的百分比即可求解； （）根据算术平均数的定义解答即可； （）根据中位数的定义解答即可； 本题考查了扇形统计图和统计表，平均数和中位数，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴“”所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 答：估计该校学生目前每周参加家务劳动时间的平均数为小时； 【小问3详解】 略 20. 化州有“中国（化）橘红之乡”的美誉，以盛产橘红而著称．该市平定镇大岭村某橘红种植基地计划购买甲、乙两种橘红苗共株进行种植． （1）若按计划购买200株，其中购买甲种橘红苗用了元，购买乙种橘红苗用了元，且购买每株乙种橘红苗比购买每株甲种橘红苗多元，则购买甲、乙两种橘红苗每株分别多少元？ （2）相关资料表明，甲、乙两种橘红苗的成活率分别为和，若要使这批橘红苗的成活率不低于，且购买橘红苗的总费用最小，问应购买甲、乙两种橘红苗各多少株？总费用的最小值是多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种橘红苗每株分别为元、元 （2）应购买甲种株、乙种株，总费用最小值为元 【解析】 【分析】（1）设甲种橘红苗每株元，则乙种每株元，根据题意列分式方程，求出的值即可得出答案； （2）设购买甲种株，则乙种株，总费用为元，根据题意得出，即可求出的取值范围，进而得出，根据一次函数的性质可得出当时，最小，进而求出的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设甲种橘红苗每株元，则乙种每株元， 由题意得：， 解得：或（舍去） 经检验是原方程的解， ∴乙种每株（元）． 答：甲、乙两种橘红苗每株分别为元、元． 【小问2详解】 解：设购买甲种株，则乙种株，总费用为元， ∵甲、乙两种橘红苗的成活率分别为和，若要使这批橘红苗的成活率不低于， ∴， 解得：， ∴总费用， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，最小，最小值为（元）， ∴（株）． 答：应购买甲种株、乙种株，总费用最小值为元． 21. 综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径． 工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺． 小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得的长为． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是___________ （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径（结果用含字母l的式子表示）． 【答案】（1）的圆周角所对的弦是直径 （2） 【解析】 【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； （2）设点O为圆心，连接交于点M，连接．根据为的切线得到．由得到，垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，，得到，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，， ∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径）， 即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径． 【小问2详解】 解：如图，设点O为圆心，连接交于点M，连接． ∵为的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得：， 所以杯口的直径为． 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、切线的性质定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解答本题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题． 22. 综合与实践课上，小颖和小亮借助某数学软件在平面直角坐标系中对三角形的平移与旋转进行了如下探究，并得出了一些结论，请你补充完整． 【研究背景】 如图1，在平面直角坐标系中，已知点和点，连接，C为线段的中点，于点D． 【平移探究】 （1）如图2，将平移，使点C平移至点处． ①填空：点D的对应点的坐标为___________，点B的对应点的坐标为___________； ②连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【旋转探究】 （2）如图3，将绕点C顺时针旋转，得到，设直线交x轴于点P，试判断与的大小关系，并结合图3说明理由． （3）将绕点C顺时针旋转得到，当直线经过线段的中点M时，请直接写出点P的坐标为___________． 【答案】（1）① ②四边形是菱形， ∵，， ∴， 由平移的性质可得， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 旋转探究： （2），理由如下： 如下图，连接， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， 在和中， ， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】平移探究： （1）①首先确定点，坐标，结合点坐标确定三角形的平移方式，即可确定，点，点的坐标；②首先结合平移的性质证明四边形为平行四边形，再证明，即可确定四边形为菱形； 旋转探究： （2）连接，证明，即可证明结论； （3）连接，易得 ，设，可分直线经过第一、二、四象限和直线经过第一、二、三象限两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：平移探究： （1）①∵点和点，C为线段的中点，于点D， ∴，， ∵将平移，使点C平移至点处， 即将向右平移3个单位长度，向上平移4个单位长度， ∴点D的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为； 故答案为：； ②略 旋转探究： （2）略 （3）连接，如图， ∵，，， ∴，，，， ∵点M为中点， ∴， 由旋转可知，， ∵分别为中点， ∴， 在中，， 设，可分两种情况讨论： ①当直线经过第一、二、四象限时且经过点时，如图， 则， 由（2）可知，， ∴， 在中，可有， ∴，解得， ∴， ∴； ②当直线经过第一、二、三象限时且经过点时，如图， 则， 由（2）可知，， ∴， 在中，可有， ∴，解得， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、旋转的性质、平移的性质、菱形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题关键． 23. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=-x+3． （1）求抛物线的表达式； （2）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值； （3）当点D为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）S有最大值；（3）存在，Q的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）首先根据一次函数的解析式求出点B，C的坐标，然后利用待定系数法解题即可； （2）设，则，，，，然后表示出S，然后利用二次函数的性质求最大值即可； （3）首先根据二次函数的解析式求出顶点坐标，然后证明，最后分情况利用相似三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）把代入， 得：， ． 把代入， 得：， ，， 将，代入， 得： 解得，． 抛物线的表达式为； （2）设，则，，， 当时，S有最大值，最大值为． ， ． 又，， ，，． ， ． 如图所示：连接AC． ，， ，． ， 又， ∽． 当Q的坐标为时，∽． 过点C作，交x轴与点Q． 为直角三角形，， ∽． 又∽， ∽． ， 即， 解得：． ． 过点A作，交y轴与点Q． 为直角三角形，， ∽． 又∽， ∽． ，即， 解得：． ， 综上所述：当Q的坐标为或或时，以A，C，Q为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象及性质，待定系数法和相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁市宋声学校九年级三模数学试卷 一、选择题：本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，，这四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 2024年广东省政府推进绿美广东生态建设“六大行动”，实施林分优化提升200万亩，森林抚育提升200万亩．数据200万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 陶器是人类进入新石器时代的标志之一．如图，这是中山市博物馆陈列的一个新石器时代的展品“划水波纹彩陶豆”，该展品的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果是的是（　　） A. B. C. D. 5. 绿道单车观光是集环保、健康、观光于一体的休闲方式，它让人们能够在骑行中感受城市的绿色生态．如图，这是一辆单车，其中AB，CD可看作与地面l平行，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 现有4张卡片，正面分别印有广东四大名山“西樵山”“罗浮山”“鼎湖山”“丹霞山”景区的宣传图案，它们除此之外完全相同．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面上的图案恰好是“罗浮山”和“鼎湖山”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 数轴上点A，B，C表示的数分别是，1，5，点P在数轴上方，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，的平分线交于点，连接．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 9. 对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝a2﹣ab，例如：3*2＝32﹣3×2＝3，则方程（x＋1）*3＝﹣2的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 10. 如图，在中，为上一点，过作直线交于点，交于点，，为的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题． 11. 分解因式x3y﹣16xy的结果为________________． 12. 写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式___________ 13. 图1是颐和园十七孔桥东的廓如亭，俗称八方亭，它是颐和园乃至全国园林中最大的亭子，始建于清乾隆年间． 图2是其地基示意图，为正八边形，则它的一个外角的度数为_____． 14. 在第31个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比活动，其中九年级6个班的得分分别为 ，，，，，.则这组数据的中位数为_____． 15. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题． 16. 计算：． 17. “醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”，如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点D的水平距离为米，．已知该舞狮者采摘距离为米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．（参考数据：，，） 18. 如图，在中，点 是 上的一点，且 ． （1）实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题． 19. 某校为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机抽取了名学生进行调查，并将获得的数据整理成如下统计图表． 学生每周参加家务劳动时间统计表 劳动时间时 组中值 人数 （组中值：一组数据中最大值与最小值的平均数） 学生每周参加家务劳动时间扇形统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角度数为____________． （2）请估计该校学生目前每周参加家务劳动时间的平均数； （3）请根据调查结果为该校制定一个学生每周参加家务劳动的合格标准（在组中值中选一个值），并简要说明理由． 20. 化州有“中国（化）橘红之乡”的美誉，以盛产橘红而著称．该市平定镇大岭村某橘红种植基地计划购买甲、乙两种橘红苗共株进行种植． （1）若按计划购买200株，其中购买甲种橘红苗用了元，购买乙种橘红苗用了元，且购买每株乙种橘红苗比购买每株甲种橘红苗多元，则购买甲、乙两种橘红苗每株分别多少元？ （2）相关资料表明，甲、乙两种橘红苗的成活率分别为和，若要使这批橘红苗的成活率不低于，且购买橘红苗的总费用最小，问应购买甲、乙两种橘红苗各多少株？总费用的最小值是多少元？ 21. 综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径． 工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺． 小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得的长为． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是___________ （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径（结果用含字母l的式子表示）． 五、解答题（三）：本大题共2小题． 22. 综合与实践课上，小颖和小亮借助某数学软件在平面直角坐标系中对三角形的平移与旋转进行了如下探究，并得出了一些结论，请你补充完整． 【研究背景】 如图1，在平面直角坐标系中，已知点和点，连接，C为线段的中点，于点D． 【平移探究】 （1）如图2，将平移，使点C平移至点处． ①填空：点D的对应点的坐标为___________，点B的对应点的坐标为___________； ②连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【旋转探究】 （2）如图3，将绕点C顺时针旋转，得到，设直线交x轴于点P，试判断与的大小关系，并结合图3说明理由． （3）将绕点C顺时针旋转得到，当直线经过线段的中点M时，请直接写出点P的坐标为___________． 23. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=-x+3． （1）求抛物线的表达式； （2）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值； （3）当点D为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $