精品解析：2025年广东省梅州市兴宁市实验学校、宁江中学中考三模数学试题

2025年中考模拟考试数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 第十五届全国运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，惠州作为赛事承办城市之一，将举办跆拳道、滑板、轮滑等赛事，下列给出的运动图片是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. （深度求索）是由中国某AI公司开发的通用人工智能系统．截至年月，的全球日活跃用户总量达到亿，将数据亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先把亿转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：． 3. 在，，，，，这些数中，无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，和是无理数，共两个； 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义进行判断． 4. 下列运算正确的是（　　） A. a2•a3＝a5 B. （﹣a2b）3＝a6b3 C. a÷a＝0 D. 3a2﹣a2＝2a4 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法逐一进行计算即可． 【详解】解：因为a2•a3＝a5，所以A选项正确； 因为（﹣a2b）3＝﹣a6b3，所以B选项错误； 因为a÷a＝1，所以C选项错误； 因为3a2﹣a2＝2a2，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】此题考查的是幂的运算性质和合并同类项,掌握幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法是解题关键． 5. 学校班级成绩管理的要求是：在消除学生成绩两极分化和低分现象的基础上实现整体成绩优秀．下列有关班级学生成绩的统计量中，最能体现班级成绩管理要求的是（ ） A. 平均成绩高，成绩方差小 B. 平均成绩低，成绩方差小 C. 平均成绩低，成绩方差大 D. 平均成绩高，成绩方差大 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差的定义解答即可．本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：依题意，整体优秀，要求平均分高；方差越小，波动性越小，越稳定． ∴最能体现班级成绩管理要求的是平均成绩高，成绩方差小， 故选：A 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组及在数轴上表示不等式组的解集；首先求出不等式组的解集，把解集在数轴上表示出来即可得到正确的答案． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示为：； 故选：C． 7. 一般情况下，酚酞在酸性和中性溶液中保持无色，而在碱性溶液中则会呈现红色，在一次化学实验课上，学生们使用酚酞试液来检测四瓶标签模糊、无法辨认的无色溶液的酸碱性．已知这四瓶溶液分别是： 小明随机选取一瓶溶液并滴入酚酞试液，这瓶溶液变红的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求简单概率．熟练掌握概率公式，简单概率计算，是解题的关键． 共4瓶其中有2瓶碱性溶液，利用概率公式计算即得． 【详解】解：4瓶标签模糊、无法辨认的无色溶液中一瓶是盐酸，呈酸性，一瓶是硝酸钾溶液，呈中性，一瓶是氢氧化钠溶液，呈碱性，一瓶是氢氧化钾溶液，呈碱性， ∴滴入酚酞试剂有2瓶溶液变红色． ∴随机选取一瓶溶液并滴入酚酞试液，这瓶溶液变红的概率是． 故选：A． 8. 在函数（a为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】在函数中， 对称轴公式为． ∵二次函数中， ∴抛物线开口向下． ∴在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减小． ∵点关于对称轴的对称点为． ∴三点，，横坐标满足， 根据函数在对称轴右侧随的增大而减小，可得， 即 ． 故选：D． 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是上的一点，且，点是的中点，连接，若，．则的长是( ) A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造以为斜边的直角三角形从而运用勾股定理求解是解题的关键．过作于点，根据矩形的性质得到，从而判定，再根据相似三角形的对应边成比例求出和，继而求出，最后用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴，， 在四边形中，， ， ， ， 又∵点是的中点， ∴， 在Rt中，， 故选：B． 10. 如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积为， 所以阴影部分的面积为 ． 二、填空题 11. 多项式的次数是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了多项式的次数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．运用多项式次数的定义进行求解． 【详解】解：∵的次数是3，的次数是2， ∴多项式的次数是3， 故答案为：3． 12. 关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程没有实数根可得再解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程没有实数根，则”是解本题的关键． 13. 如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形，则这个多边形的内角和为___________． 【答案】##720度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和问题，熟练掌握边形的内角和为是解题的关键．根据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：由题意得，多边形为六边形， 这个多边形的内角和为． 故答案为：． 14. 5个全等的方块如图放置在中，则的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了求正切值.根据题意知，计算即可. 【详解】解：如图， 由题意可知：． 故答案为：1. 15. 如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是__________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角形的性质，，取的中点，连接，则，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ． 如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为， 连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ，即的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则．首先计算绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 17. 如图，是的外接圆，直径． （1）以点C为顶点，BC为边，在的右侧作，交的延长线于点P：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，求证：是的切线． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 证明：连接： ∵（同圆半径相等）， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ， ， ∴ ，即 ． ∵是的半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图（作一个角等于已知角）以及切线的判定．解题关键在于掌握尺规作图的基本方法完成（1）小题；对于（2）小题，要熟练运用圆的性质（同弧所对圆心角与圆周角的关系、半径相等得出角相等 ），通过计算角度来证明直线与半径垂直，从而判定切线． （1）题要求用尺规作图作出 ．需要利用尺规作图的基本方法，比如作一个角等于已知角的方法来完成．具体操作是先以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，然后以点为圆心，同样长为半径画弧，再通过一定的操作确定 ． （2）要证明是的切线，根据切线的判定定理，需证明 ．连接后，通过圆的性质求出相关角度，进而证明 ．已知，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得 ，又根据 ，在中通过角度计算得出 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，主题是关注普遍的眼健康．为科学防控近视，关注孩子眼睛的健康．希望学校在“爱眼日”当天随机抽取50名学生进行视力检测，并将结果分成A（），B（），C（），D（），E（），F（）六组，进行数据整理，已知视力标准的正常值，信息如下： A．视力频数分布表： 视力（x） A（） B（） C（） D（） E（） F（） 频数 5 8 9 m 7 n B．D组的数据分别为： 4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.6，4.7，4.6，4.6，4.7，4.7，4.6 请根据以上信息，回答下列问题： （1） ______， ______； （2）本次调查视力情况的中位数为______，视力正常的人数占被调查人数的百分比为______； （3）请对该校学生的视力情况作出评价，并提出两条合理化建议． 【答案】（1）14，7 （2）4.6， （3） 该校学生的视力大多数没有达到视力正常的水平；建议：①加强学生的用眼健康教育，养成良好的用眼习惯；②加强对电子产品进校园及使用的管控．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布表的知识，中位数，读懂频数分布表和利用其获取信息是解题的关键． （1）由题意可知，组的频数为14，再根据样本容量是50求出； （2）根据组的数据结合中位数的定义求出中位数即可，求出视力正常（）的人数即可解答； （3）根据视力正常（）的人数占被调查人数的百分比提出建议即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，组的频数为14， 则组的频数为：， 故答案为：14，7； 【小问2详解】 组的数据排序为：4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7， 根据组的数据可得第25，26个数据均4.6，故本次调查视力情况的中位数为4.6， 视力正常的人数占被调查人数的百分比为， 故答案为：4.6，； 【小问3详解】 略 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了，两种型号的机器人模型．型机器人模型单价比型机器人模型单价低万元，用16万元购买型机器人模型和用20万元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共80台，购买型机器人模型不少于型机器人模型的2倍，商家给出型机器人在售价的基础上减免万元，型机器人在售价的基础上打七五折，学校如何购买才能使得总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）种健身器材每套的售价为万元，种健身器材每套的售价为2万元 （2）学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． （1）设A型编程机器人模型单价是x万元，B型编程机器人模型单价是（）万元，根据：用16万元购买型机器人模型和用20万元购买型机器人模型的数量相同，即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型m台，根据题意可求出m的取值范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值． 【小问1详解】 解：设种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：种健身器材每套的售价为万元，种健身器材每套的售价为2万元； 【小问2详解】 设学校购买型健身器材套，则购买型健身器材套， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为26， 设费用为万元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 此时，， 的最小值元 答：学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为117.4元． 20. 综合与实践 某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告．请根据该活动报告完成后面的任务． 课题 用数学的眼光观察校园 调查方式 实地查看了解 调查内容 对象 校门口的隔离栏 平面图 数学眼光 各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计） 相关数据 隔离栏长为2.6米，隔离栏的长被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度米 任务： （1）请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式． （2）若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解． （1）建立的平面直角坐标系如解图所示，设抛物线的表达式为，利用待定系数法求函数解析式； （2）设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，然后再代入解方程即可． 【小问1详解】 建立的平面直角坐标系如解图所示． 设抛物线的表达式为． ∵， ∴． ∵隔离栏的长被12根栏杆等分成13份， ∴ ， 将，代入， 得，解得． ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 ， 当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根， 则， 解得． 故第7根与第8根的高度差为0.02米． 由抛物线的对称性可知第5根与第6根的高度差也为0.02米． 答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根． 21. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点 D，与AB相交于点 E，且点B． （1）求反比例函数的关系式； （2）求的面积； （3）若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与、轴正半轴交于点、，求直线的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式求出点的坐标为，代入反比例函数解析式即可求出，即可得解； （2）利用矩形的性质和点的横坐标，得到点，，，根据三角形面积公式计算即可； （3）设，利用勾股定理求出，得到，证明得到，求出的值得到，利用待定系数法求出直线的函数关系式即可． 【小问1详解】 解：矩形的顶点，点为对角线的中点， ， 把代入反比例函数得：， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：连接，点在上， 当时，求得， ，，， ； 【小问3详解】 解：连接、，设， 反比例函数的图象与矩形的边交于点， ， 解得， ， 点， 设， ，， 根据折叠的性质得， 在中，， 即， 解得：， ， 过点作，垂足为点， 由折叠可知， ，， ， ， ， 设， ，， ， 解得：， ， 设直线的函数关系式为， 代入和得： ， 解得， 直线的函数关系式为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点. （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】（1） 证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 23. 综合与实践 【问题提出】 小明在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在中，已知，的长，求边上中线的取值范围．他用“倍长中线”的方法构造全等三角形，即延长至点，使，再连接，得到一对全等三角形，最终解决了问题． 下课后小明继续思考，已知三角形中两边的长，是否能求夹角的角平分线？如果不能，那满足什么样的条件能求？ 【探究发现】 （1）小明设计了这样的问题：如图2，在中，已知，，平分．若，求的长．他的方法是过点作的平行线，交的延长线于点． ①求的长． ②若，，，则__________．(用含，，的代数式表示) 【拓展延伸】 （2）老师看到小明的研究后告诉他，求三角形角平分线还可以借助圆的知识来解决．如图3，作的外接圆，的平分线交于点，交于点． ①已知，，求的值． ②求证：． 【答案】（1）①； ②； （2）①15； ②证明：，， ， ， ， 由①知：， ， ． 【解析】 【分析】（1）①过作，交延长线于，过作于，则是底角为30°的等腰三角形，从而求出，再证明，得到，即，将，，代入解方程即可得解； ②与（1）①同理即可得解； （2）①连接，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等分别得到， ，从而得到，再用相似三角形的性质可知：，从而得到． ②利用同弧所对的圆周角相等可证明，得到，再根据（2）①的结论可得． 【详解】解：（1）如图2，过作，交延长线于，过作于， ①平分，， ， ， ， ， ， 又于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②由①知：，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图3，连接， ①平分， ， ， ， ， ； ②略 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，找出相似三角形并得到对应边成比例是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟考试数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 第十五届全国运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，惠州作为赛事承办城市之一，将举办跆拳道、滑板、轮滑等赛事，下列给出的运动图片是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. （深度求索）是由中国某AI公司开发的通用人工智能系统．截至年月，的全球日活跃用户总量达到亿，将数据亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 在，，，，，这些数中，无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 下列运算正确的是（　　） A. a2•a3＝a5 B. （﹣a2b）3＝a6b3 C. a÷a＝0 D. 3a2﹣a2＝2a4 5. 学校班级成绩管理的要求是：在消除学生成绩两极分化和低分现象的基础上实现整体成绩优秀．下列有关班级学生成绩的统计量中，最能体现班级成绩管理要求的是（ ） A. 平均成绩高，成绩方差小 B. 平均成绩低，成绩方差小 C. 平均成绩低，成绩方差大 D. 平均成绩高，成绩方差大 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一般情况下，酚酞在酸性和中性溶液中保持无色，而在碱性溶液中则会呈现红色，在一次化学实验课上，学生们使用酚酞试液来检测四瓶标签模糊、无法辨认的无色溶液的酸碱性．已知这四瓶溶液分别是： 小明随机选取一瓶溶液并滴入酚酞试液，这瓶溶液变红的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在函数（a为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是上的一点，且，点是的中点，连接，若，．则的长是( ) A. 6 B. C. D. 10. 如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题 11. 多项式的次数是__________． 12. 关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是______． 13. 如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形，则这个多边形的内角和为___________． 14. 5个全等的方块如图放置在中，则的值是__________． 15. 如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是__________ 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16. 计算： 17. 如图，是的外接圆，直径． （1）以点C为顶点，BC为边，在的右侧作，交的延长线于点P：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，求证：是的切线． 18. 2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，主题是关注普遍的眼健康．为科学防控近视，关注孩子眼睛的健康．希望学校在“爱眼日”当天随机抽取50名学生进行视力检测，并将结果分成A（），B（），C（），D（），E（），F（）六组，进行数据整理，已知视力标准的正常值，信息如下： A．视力频数分布表： 视力（x） A（） B（） C（） D（） E（） F（） 频数 5 8 9 m 7 n B．D组的数据分别为： 4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.6，4.7，4.6，4.6，4.7，4.7，4.6 请根据以上信息，回答下列问题： （1） ______， ______； （2）本次调查视力情况的中位数为______，视力正常的人数占被调查人数的百分比为______； （3）请对该校学生的视力情况作出评价，并提出两条合理化建议． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了，两种型号的机器人模型．型机器人模型单价比型机器人模型单价低万元，用16万元购买型机器人模型和用20万元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共80台，购买型机器人模型不少于型机器人模型的2倍，商家给出型机器人在售价的基础上减免万元，型机器人在售价的基础上打七五折，学校如何购买才能使得总费用最少，最少费用是多少？ 20. 综合与实践 某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告．请根据该活动报告完成后面的任务． 课题 用数学的眼光观察校园 调查方式 实地查看了解 调查内容 对象 校门口的隔离栏 平面图 数学眼光 各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计） 相关数据 隔离栏长为2.6米，隔离栏的长被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度米 任务： （1）请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式． （2）若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 21. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点 D，与AB相交于点 E，且点B． （1）求反比例函数的关系式； （2）求的面积； （3）若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与、轴正半轴交于点、，求直线的函数关系式． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点. （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 23. 综合与实践 【问题提出】 小明在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在中，已知，的长，求边上中线的取值范围．他用“倍长中线”的方法构造全等三角形，即延长至点，使，再连接，得到一对全等三角形，最终解决了问题． 下课后小明继续思考，已知三角形中两边的长，是否能求夹角的角平分线？如果不能，那满足什么样的条件能求？ 【探究发现】 （1）小明设计了这样的问题：如图2，在中，已知，，平分．若，求的长．他的方法是过点作的平行线，交的延长线于点． ①求的长． ②若，，，则__________．(用含，，的代数式表示) 【拓展延伸】 （2）老师看到小明的研究后告诉他，求三角形角平分线还可以借助圆的知识来解决．如图3，作的外接圆，的平分线交于点，交于点． ①已知，，求的值． ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $