精品解析：2026年四川成都市棕北中学九年级第三阶段测试数学试题

成都市棕北教育集团2026年中考模拟定时训练 数学 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 我市冬季某日的最高气温为，天气预报当晚有一股冷空气来袭，第二天气温预计下降，那么预计第二天的最高气温为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是水平放置的正六棱柱，关于它的三视图的描述正确的是（　　） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三视图都不相同 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一只小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 5. 某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有800名学生，各年级的合格人数如表所示，则下列说法正确的是（ ） 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数 270 262 254 A. 七年级的合格率最高 B. 八年级的学生人数为262名 C. 八年级的合格率高于全校的合格率 D. 九年级的合格人数最少 6. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、鸡价各几何?”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱.问人数和鸡的价钱各是多少?”设人数有人，鸡的价钱是钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. 平行四边形的对角线平分一组对角 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 正方形的对角线互相垂直且平分 8. 向如图所示的空容器内匀速注水，注满为止，则水面高度关于注水量的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则________． 10. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 11. 设为有理数，定义新运算：．例如：，若，则的值为______． 12. 某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 13. 如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是________．（填“只有甲”或“只有乙”或“甲乙都对”或“没有对的”） 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解一元一次不等式组． 15. 在国产大模型持续引领全球科技热潮下，某校七年级的课外社团选修课也正如火如荼地展开，开设有定向越野、啦啦操、武术、飞盘四门选修课．小明为掌握七年级同学的选修课情况，在每个班随机抽取部分学生进行调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的七年级学生共有___________人；在扇形统计图中，“定向越野”对应的扇形圆心角度数为___________； （2）该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； （3）为庆祝端午节，学校从选“武术”这门选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名学生参加表演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加表演的概率． 16. 某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：如图，线段表示旗杆，已知A，C，D三点在一条直线上，首先用米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端B的仰角为，在点D处测得旗杆顶端B的仰角为，其中，线段和均表示测角仪，然后测量出的距离为米，连接并延长交于点G．根据这些数据，请计算旗杆的长约为多少米． 17. 如图，是的外接圆，是的直径，交于点，是的切线，点在的延长线上． （1）求证：； （2）过点作于，交于点，若，，，求的直径和的长． 18. 如图，直线过点． （1）求点的值； （2）直线分别与，轴交于点，两点，求反比例函数的表达式； （3）在（2）的条件下，为双曲线上在第二象限内一点，过点作轴于点，轴于点．求四边形面积的最小值，并说明此时四边形形状． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 多项式4a2+9加上一个单项式后，可化为一个多项式的平方，则这个单项式是______． （写一个即可） 20. 从这三个数中任取两个数分别作为的值则关于的一元二次方程有实数根的概率为______． 21. 如图，的半径为2，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为________． 22. 在平面直角坐标系中，对于两点，，给出如下定义：以线段为边的等边三角形称为点，的“确定三角形”．如果点在以边长为的等边的边上，且轴，的中点为，点在直线上，若要使所有的，的“确定三角形”的周长都不小于，那么的取值范围为________． 23. 甲、乙、丙三位同学组成乒乓球兴趣小组参加素质选修，约定活动规则如下：两人先打，输了的被另一人换下，赢了的继续打，下一次活动接着上一次进行．假设某段时间内甲打的场次为，乙打的场次为，丙打的场次为．若，显然有；若，通过探究部分情况，得到的最大值如表所示．当，时，进一步探究可得，的最大值为________，继续探究可知，的最小值为________． 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 … 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 … 的最大值 1 不存在 3 不存在 2 5 不存在 不存在 4 7 不存在 不存在 3 6 9 不存在 不存在 不存在 5 8 11 … 24. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 25. 如图1，抛物线与轴负半轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上一点，过点作轴的平行线分别交和轴于点，，连接、，若平分，求点的坐标（图1图2均可用于此问题的探究）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接点与直线上方的点，将抛物线在上方的部分沿翻折后与交于点，求的面积． 26. 如图，在菱形中，点，分别在边，上，，连接． （1）求证：； （2）连接并延长交的延长线于点，判断与的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接并延长交于点，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市棕北教育集团2026年中考模拟定时训练 数学 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 我市冬季某日的最高气温为，天气预报当晚有一股冷空气来袭，第二天气温预计下降，那么预计第二天的最高气温为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，正确理解题意是关键． 【详解】解：由题意得：， 即第二天的最高气温为， 故选：A． 2. 如图是水平放置的正六棱柱，关于它的三视图的描述正确的是（　　） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三视图都不相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，根据三视图的定义判断即可，解题的关键是正确理解主视图指从物体的正面看，左视图是指从物体的左面看，俯视图是指从物体的上面看． 【详解】解：主视图是一行三个相邻的矩形，左视图是一行两个相邻的矩形，俯视图是一个正六边形， ∴三视图都不相同， 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并，∴ A选项错误； ∵，计算正确，∴ B选项正确； ∵幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘，可得，∴ C选项错误； ∵根据完全平方公式，，∴ D选项错误． 4. 如图，一只小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限；第三象限；第四象限；根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：由图可知点位于第四象限， 在第一象限， 在第三象限， 在第二象限， 在第四象限， 故选：D． 5. 某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有800名学生，各年级的合格人数如表所示，则下列说法正确的是（ ） 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数 270 262 254 A. 七年级的合格率最高 B. 八年级的学生人数为262名 C. 八年级的合格率高于全校的合格率 D. 九年级的合格人数最少 【答案】D 【解析】 【分析】分析统计表，可得出各年级合格的人数，然后结合选项进行回答即可． 【详解】∵七、八、九年级的人数不确定， ∴无法求得七、八、九年级的合格率. ∴A错误、C错误. 由统计表可知八年级合格人数是262人，故B错误. ∵270>262>254， ∴九年级合格人数最少. 故D正确. 故选；D. 【点睛】本题考查统计表，分析统计表结合选项进行判断是解题关键. 6. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、鸡价各几何?”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱.问人数和鸡的价钱各是多少?”设人数有人，鸡的价钱是钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ， 故选A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. 平行四边形的对角线平分一组对角 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 正方形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据矩形的判定方法对C进行判断；根据正方形的性质对D进行判断． 【详解】解：A、菱形的对角线平分一组对角，所以A选项的说法错误，不是真命题； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，所以B选项的说法错误，不是真命题； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项的说法错误，不是真命题； D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，所以D选项的说法正确，是真命题． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的判定及性质定理，矩形的判定定理．以及命题与定理的概念等知识点．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8. 向如图所示的空容器内匀速注水，注满为止，则水面高度关于注水量的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器各部分的大小与高度不同，每部分的粗细不同得到用时的不同．可得水面高度随注水量变化而分三个阶段，再进一步分析即可. 【详解】解：最下段的容器最粗，第二段容器较粗，第三段最细， ∴最下段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长缓慢，用时最长，且图象为线段， 第二段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第一段快，且图象为曲线， 第三段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第二段快，用时最小，图象为线段， ∴A符合题意． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可将所求分式拆分为含已知的形式，再代入已知数值计算即可． 【详解】解： 将代入式子得． 10. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴该正多边形的边数是10； 故答案为：十． 11. 设为有理数，定义新运算：．例如：，若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查新定义，解方程，根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 或． 故答案为：或． 12. 某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为，再根据，解出即可求解． 【详解】解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为， 根据题意，，，又， ，即， 解得， ， 则充满电所需的时间将缩短． 13. 如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是________．（填“只有甲”或“只有乙”或“甲乙都对”或“没有对的”） 【答案】甲乙都对 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定、尺规作图、等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图是解题关键．甲：根据同位角相等，两直线平行即可判断甲所用方法正确；乙：如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的尺规作图可得，从而可得，然后根据同位角相等，两直线平行即可判断乙所用方法正确． 【详解】解：如图，甲所用方法正确． 由作图可知，， 则． 如图，乙所用方法正确． 由作图可知，，是角平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 综上，所用方法正确的是甲、乙， 故答案为：甲乙都对． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解一元一次不等式组． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 由①得：； 由②得：， ， ； ∴不等式组的解集是：． 15. 在国产大模型持续引领全球科技热潮下，某校七年级的课外社团选修课也正如火如荼地展开，开设有定向越野、啦啦操、武术、飞盘四门选修课．小明为掌握七年级同学的选修课情况，在每个班随机抽取部分学生进行调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的七年级学生共有___________人；在扇形统计图中，“定向越野”对应的扇形圆心角度数为___________； （2）该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； （3）为庆祝端午节，学校从选“武术”这门选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名学生参加表演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加表演的概率． 【答案】（1）50， （2）估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数为180人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据啦啦操的人数是10人，占总调查人数的，求出总人数；用总人数减去其余三组人数求出定向越野的人数，即可求出所对圆心角度数； （2）利用样本估计总体的方法求解即可； （3）根据列表法解答即可． 【小问1详解】 解：因此本次调查总人数为：人， 定向越野的人数为：人， 对应扇形圆心角为：； 【小问2详解】 解：由扇形统计图可知，选择“啦啦操”的人数占比为20%， （人）， 估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数为180人； 【小问3详解】 解：将这4名学生分别记作：男1，男2，男3，女，根据题意，列表如下： 男1 男2 男3 女 男1 （男2，男1） （男3，男1） （女，男1） 男2 （男1，男2） （男3，男2） （女，男2） 男3 （男1，男3） （男2，男3） （女，男3） 女 （男1，女） （男2，女） （男3，女） 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到2名男生的结果有6种， （恰好抽到2名男生参加表演）． 16. 某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：如图，线段表示旗杆，已知A，C，D三点在一条直线上，首先用米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端B的仰角为，在点D处测得旗杆顶端B的仰角为，其中，线段和均表示测角仪，然后测量出的距离为米，连接并延长交于点G．根据这些数据，请计算旗杆的长约为多少米． 【答案】12米 【解析】 【分析】设，根据锐角三角函数，将和用x表示出来，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】解：∵米， ∴米， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵米， ∴米， 答：旗杆的长约为12米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 17. 如图，是的外接圆，是的直径，交于点，是的切线，点在的延长线上． （1）求证：； （2）过点作于，交于点，若，，，求的直径和的长． 【答案】（1）证明：连接 ∵是的直径， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵是的切线， ∴ ∴ （2）的直径为5， 【解析】 【分析】（1）连接，先由圆周角定理得到，，再由圆的切线的性质得到，即可等量代换证明； （2）连接，先证明，求出，由，设，则，，证明，则，求出，则，，即的直径为5，由，得到，则，证明，求出，，则计算可得，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴（舍负） 由，设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， 由， 得， ∴（舍负） ∴， ∴，，即的直径为5． ∵， ∴ ∴， ∴ ∵是直径， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 18. 如图，直线过点． （1）求点的值； （2）直线分别与，轴交于点，两点，求反比例函数的表达式； （3）在（2）的条件下，为双曲线上在第二象限内一点，过点作轴于点，轴于点．求四边形面积的最小值，并说明此时四边形形状． 【答案】（1） （2） （3）四边形面积的最小值为24，此时四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）将代入求解； （2）首先得到直线，然后将，代入求出，，然后求解即可； （3）设，表示出，，然后表示出，设，，利用得到，求出t的最小值为6，然后求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线过点 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴直线 ∵直线分别与，轴交于点，两点， ∴， ∴ ∴ ∴反比例函数的表达式为； 【小问3详解】 解：∵为双曲线上在第二象限内一点， ∴设 ∵轴于点，轴于点 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 设， ∴ ∴ ∴ 解得（舍去）或 ∴t的最小值为6， ∴的最小值为 ∴此时 解得 ∴， ∴， ∴与互相垂直平分 ∴ ∴此时四边形是菱形． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 多项式4a2+9加上一个单项式后，可化为一个多项式的平方，则这个单项式是______． （写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】两个完全平方式：，根据完全平方式的特点可得答案． 【详解】解： 多项式4a2+9加上一个单项式或，可化为一个多项式的平方． 故答案为：或 （答案不唯一） 【点睛】本题考查的是完全平方式的特点，单项式的含义，掌握“完全平方式的特点”是解本题的关键． 20. 从这三个数中任取两个数分别作为的值则关于的一元二次方程有实数根的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及概率的计算，根据一元二次方程有实数根，得到判别式且，计算所有可能的组合数及满足条件的组合数，再求概率． 【详解】解：方程有实数根， 且， 从，，中任取两个数作为和，共有种可能结果：，，，，，， ：，符合题意； ：，符合题意； ：，不符合题意； ：，不符合题意； ：，不符合题意； ：，不符合题意； 故概率为． 故答案为：． 21. 如图，的半径为2，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，先证明平行四边形为菱形，再证明，，则可得图中阴影部分的面积等于扇形的面积． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵的半径为2， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴图中阴影部分的面积为． 22. 在平面直角坐标系中，对于两点，，给出如下定义：以线段为边的等边三角形称为点，的“确定三角形”．如果点在以边长为的等边的边上，且轴，的中点为，点在直线上，若要使所有的，的“确定三角形”的周长都不小于，那么的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先根据题意求出、、的长，然后设点的坐标，从而表示出点的坐标，再表示出点到直线的距离，构造不等式即可解答． 【详解】解：等边的边长为， ，， ，， ， ， 过作直线于点，设直线与x轴y轴分别交于点，如图： 当时，，当时，， ，， ， ∵点E，F的“确定三角形”是等边三角形， ∴当点与点C重合时，点E到直线的距离最短， 此时点E，F的“确定三角形”边最短，即为的长，故“确定三角形”的周长最小， 在中，， 点到直线的距离为， ， 或， 解得或． 故答案为：或． 23. 甲、乙、丙三位同学组成乒乓球兴趣小组参加素质选修，约定活动规则如下：两人先打，输了的被另一人换下，赢了的继续打，下一次活动接着上一次进行．假设某段时间内甲打的场次为，乙打的场次为，丙打的场次为．若，显然有；若，通过探究部分情况，得到的最大值如表所示．当，时，进一步探究可得，的最大值为________，继续探究可知，的最小值为________． 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 … 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 … 的最大值 1 不存在 3 不存在 2 5 不存在 不存在 4 7 不存在 不存在 3 6 9 不存在 不存在 不存在 5 8 11 … 【答案】 ①. 16 ②. 8 【解析】 【分析】根据数据找到规律进行计算即可． 【详解】解：观察表格，归纳规律： 观察题目所给表格中所有满足的数据： 当时，，对应的的最大值为8； 结合表格中其他完整数据（如等同类情形）可发现，当时，的最大值始终满足关系式：， 本题中，满足，符合上述规律的适用条件． 将数值代入公式得：， 故的最大值为16． 根据比赛规则，每场比赛有且仅有两人参加， 所以三人出场的总次数一定是偶数． 因为是偶数， 所以也必须是偶数． 根据＂输者换下＂的规则，任何一个人的出场次数都不能超过另外两个人出场次数的和，否则他无法通过正常的换人机制获得这么多上场机会． 所以必须满足：． 代入数据得：，解得． 综合以上两点，必须是大于或等于4的偶数，即可能为 虽然和满足上述计算条件，但还需要验证它们是否能实际排出合法的比赛顺序．我们观察题目给出的表格数据： 在表格中，当时，，且为偶数，这与本题，为偶数）的情况完全相同． 表格中这一组数据对应的的最大值为8，并且没有记录比8更小的可行数值．这说明当两人的出场次数差为4且总和为偶数时，和是无法排出合法比赛顺序的，而是可以实现的最小值． 24. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】（1）甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元 （2）该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元，根据题意可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5000元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴， 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； 【小问2详解】 设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最小值为67， 答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器． 25. 如图1，抛物线与轴负半轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上一点，过点作轴的平行线分别交和轴于点，，连接、，若平分，求点的坐标（图1图2均可用于此问题的探究）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接点与直线上方的点，将抛物线在上方的部分沿翻折后与交于点，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入求出点A坐标，再利用待定系数法求出抛物线表达式； （2）联立直线与抛物线的方程，解方程组得到A、B两点的坐标，根据点C 的位置分情况讨论，发现只有点在直线上方的抛物线上时，符合题意，设，过点B作于点H，利用求解的值，进而得到C点坐标； （3）作点关于直线的对称点，连接交抛物线于点，过点作轴于点，过点作于点，设，证明，则，进而得到，证明四边形是矩形，则，，根据勾股定理列出方程求出的值，进而求出点的坐标， 利用待定系数法求出直线的表达式，与抛物线联立求出点的坐标，进而求出的长，利用求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得：， 解得， ， 把代入得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 整理得：， 解得：或， ， 点B的横坐标为， 当时，， ， 分以下三种情况： ①当点在直线下方的左侧（第三象限内）的抛物线上时， 显然始终大于，即不能平分， 此情况不符合题意； ②当点在直线下方的右侧的抛物线上时， 显然始终大于，也不能平分， 此情况也不符合题意； ③当点在直线上方的抛物线上时，设， 过点B作于点H， ， ，， 在中，， 在中，，， ， 平分， ． ， 解得：， 当时，，， 是分式方程的解， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：作点关于直线的对称点，连接交抛物线于点，过点作轴于点，过点作于点，设， 由（2）知，点的坐标为， 、、、、， 、， ， ， ， 由（2）知，， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ，， 点的坐标为， 设直线的表达式为， 将、代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 联立， 解得：或， ， ， ， 由翻折可知，， 将代入得：， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 26. 如图，在菱形中，点，分别在边，上，，连接． （1）求证：； （2）连接并延长交的延长线于点，判断与的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接并延长交于点，若，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵在菱形中，， ∴，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，证明，得到，即，进而得到，证明，得到，即可证明； （3）证明，得到，求出，证明是等边三角形，得到，证明，求出，根据作答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴（负值舍去）， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 即线段的长是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $