2024年四川省成都外国语学校中考数学三诊试卷

2024年四川省成都外国语学校中考数学三诊试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 1.的相反数是(    ) A. B. C. D. 2.据悉新冠病毒其直径约为毫米，这个数用科学记数法表示正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，四边形是菱形，，分别是，两边上的点，不能保证和一定全等的条件是(    ) A. B. C. D. 5.冬季奥林匹克运动会简称冬奥会，是世界上规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届，在近六届冬奥会中，中国获得总奖牌数分别为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为(    ) A. 众数是，中位数是 B. 众数是，中位数是 C. 众数是和，中位数是 D. 众数是和，中位数是 6.如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么应满足的条件是(    ) A. B. C. D. 7.某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长米的盲道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建米，结果提前天完成工程，设实际每天修建盲道米，根据题意可得方程(    ) A. B. C. D. 8.二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是(    ) A. B. 函数的最大值为 C. 当或时， D. 9.因式分解： ______． 10.如图，把一块含有角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则的度数为______． 11.点在直角坐标系的轴上，则点坐标为______． 12.如图，与位似，点为位似中心，与的面积之比为：，若，则的长为______． 13.如图，在中，，，按以下步骤作图：以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧交于点；作射线交于点，若，则的长为______． 14.计算：； 解不等式组：． 15.为了解“幸福里小区”居民接种“新冠疫苗”的情况，社区工作人员对该小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：类接种了只需要注射一针的疫苗；类接种了要注射两针，且两针之间要间隔一定时间的疫苗；类接种了要注射三针，且每两针之间要间隔一定时间的疫苗；类还没有接种．根据调查结果给制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 此次抽样调查的人数是______；______； 补全条形统计图； 为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集名志愿宣传者，现有男女共名居民报名，要从这人中随机挑选人，求恰好抽到男和女的概率． 16.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． 求的长； 求塔的高度取，取，结果取整数 17.如图，为直径，与相切于点，交于点，点为的中点，连接． 求证：与相切； 如图，连接，若，，求的长． 18.在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． 求直线的函数表达式； 如图，过点的直线分别与轴，轴交于点，，若，连接，求的面积； 如图，以为边作平行四边形，点在轴负半轴上，点在反比例函数的图象上，线段与反比例函数的图象交于点，若，求的值． 19.已知直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是______． 20.已知，是方程的两个实数根，则的值是______． 21.魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率．如图，圆中有一内接正六边形，现随机向该图形内扔掷一枚小针，则针尖落在正六边形区域的概率为______． 22.如图，在矩形中，，，点为边上一动点，连接交对角线于点，过点作，交于点，连接交于点，在点的运动过程中，面积的最小值为______． 23.定义在平面直角坐标系中，点，的折线距离根据折线距离的定义，可以构造出许多美丽的图形．例如点，若平面中有一动点，满足到的折线距离为，则点的轨迹为以为中心，为边长的正方形如图所示，若点，动点满足动点到点，的折线距离之和为已知动点的轨迹与轴、轴均有两个公共点． 动点的轨迹与轴公共点的坐标为______． 动点的轨迹交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，在运动过程中，面积的最大值为______． 24.为了稳增长，成都市政府开展了促线下消费活动，共发放约亿元的“成都”消费券．某商家参与了本次活动，售卖一款成本为元件的服装．经市场调研发现，这款服装的销售量单位：件与销售价格单位：元件之间的关系如图所示． 求与的函数关系式； 为让利顾客，活动要求利润不得高于成本的试问：商家售价定为多少时，总利润最大？并求出此时的最大利润． 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，点，连接． 求抛物线的解析式． 点是线段上一点，过点作轴交抛物线于点，交线段于点，点是直线上一点，连接，，求的周长最大值． 如图，已知，将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线交于点，连接，当是等腰三角形时，直接写出抛物线的平移距离的值． 26.如图，在中，为上一点，求证：； 如图，在菱形中，，分别为，上的点，且，射线交的延长线于点，射线交的延长线于点若，，． 求：的长；的长； 如图，在菱形中，，，点为的中点，在平面内存在点，且满足，以为一边作顶点、、按逆时针排列，使得，且，请直接写出的最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：的相反数是． 故选：． 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义． 2.【答案】  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键． 3.【答案】  【解析】解：和的指数不同， 不是同类项，不能相加， 故选项A错误； 等式左边等式右边， 故选项B正确； 等式左边等式右边， 故选项C错误； 等式左边等式右边， 故选项D错误； 故选：． 利用平方差公式和完全平方公式，直接计算即可，要注意同类项指带有相同系数的代数项包括字母和字母指数． 本题考查合并同类项，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟记同类项的辨别条件，计算是要注意符号和指数． 4.【答案】  【解析】解：四边形是菱形， ，， A、在和中， ， ≌，故选项A不符合题意； B、在和中， ， ≌，故选项B不符合题意； C、， ， 在和中， ， ≌，故选项C不符合题意； D、由，，，不能判定和一定全等，故选项D符合题意； 故选：． 由菱形的性质和全等三角形的判定分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，， 这组数据中，出现次数最多，有次， 所以这组数据的众数为和，中位数为， 故选：． 将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可． 本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 6.【答案】  【解析】解：函数的图象经过第二，三，四象限， ． 故选：． 据一次函数图象与系数的关系得到，从而确定答案即可． 本题考查了一次函数图象与系数的关系，能熟记一次函数的性质是解此题的关键． 7.【答案】  【解析】解：设实际每天修建盲道米，根据题意可得：， 解得：不合题意舍去，， 经检验是原方程的根， 答：实际每天修建盲道米． 故选：． 直接利用每天修建的盲道比原计划多米，结果提前天完成工程，得出方程即可． 此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 8.【答案】  【解析】解：二次函数的图象开口向下， ， 图象与轴的交点在轴上方， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 选项不合题意， 由图象可知时，取最大值， 为最大值， 选项不合题意， 由图象可知的一个根为， 由对称轴为直线， 另一个根为， 选项不合题意， 由图象可知时，， ， 不正确的是选项， 故选：． 根据二次函数的图象可确定，，的符号，从而确定的符号，由的函数值可确定选项，由图象与轴的一个交点及对称轴可确定选项，由时的函数值可确定选项． 本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要能根据图象得出各系数之间的关系． 9.【答案】  【解析】解：原式， 故答案为：． 原式提取即可． 此题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10.【答案】  【解析】解：如图： 由三角形外角性质可知：， 由平行可知， ． 故答案为：． 根据三角形外角性质可知，再根据平行线的性质得，进而可求． 本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 11.【答案】  【解析】解：点在直角坐标系的轴上， 这点的纵坐标是， ，解得，， 横坐标， 则点的坐标是． 故答案为． 根据轴上点的坐标特点解答即可． 本题主要考查了坐标轴上点的坐标的特点：轴上点的纵坐标为． 12.【答案】  【解析】解：与位似， ∽，， ∽， ， 与的面积之比为：， ， ， ， 故答案为：． 根据位似图形的概念得到∽，，证明∽，根据相似三角形的性质计算即可． 本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：如图，过点作于，作于， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由作图可知：平分， ， 中，， ， ． 故答案为：． 作辅助线，由题目作图知，是的平分线，则，证明是等腰直角三角形，进而求解． 本题考查的是作图复杂作图，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等，难度适中．解决本题的关键是掌握角平分线的作法． 14.【答案】解： ； ， 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为：．  【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答； 按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15.【答案】    【解析】解：此次抽样调查的人数是人， ，即， 故答案为：、； 类型人数为人，类型人数为人， 补全图形如下： 画树状图如下： 所有等可能的情况有种，其中一男一女有种， 恰好选到一男一女的概率为． 由类型人数及其所占百分比可得总人数，用类型人数除以总人数即可得出的值； 总人数乘以类型人数所占百分比可得其人数，继而求出类型人数，从而补全图形； 画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率． 本题考查了统计图、列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 16.【答案】解：由题意得：， 在中， ，， ， 的长为； 由题意得：， 在中，，， ， 在中， 设， ， ， ， 线段的长为； 过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， 在中， ， ， ， 解得：， ， 塔的高度约为．  【解析】根据题意可得：，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答； 过点作，垂足为，设，根据题意得：，，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 17.【答案】证明：如图，连接，， 与相切， ， 点是中点，为圆心， ， ，， ， ， ， 又，， ≌， ， ， 点是上的点， 与相切； 解：如图，连接， 点是中点，， ， 又是直径， ， ， ， 又， ∽ ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ．  【解析】由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线的性质可得，根据平行线的性质可得，然后根据证得≌即可证得； 根据圆周角定理、切线的性质得出，进而即可证得，由，证得∽，根据三角形相似的性质即可求得，然后利用勾股定理即可求得的长． 本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判断和性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出的长是本题的关键． 18.【答案】解：当时，反比例函数， ， 将点代入得，， 一次函数的解析式为； 联立， 或， ， 当时，， ， ， 过点作轴于， ， ∽， ， ， ， ， ； 设， 四边形是平行四边形， ，， ， 过作轴的平行线，过点、作的垂线，垂足分别为，， ，， ∽， ， ，， 点， 点、都在反比例函数上， ， 解得， ．  【解析】将代入直线与反比例函数，可得答案； 首先求出交点的坐标，过点作轴于，利用∽，可得的长，从而得出的长，再计算即可； 设，利用平行四边形的性质可得，过作轴的平行线，过点、作的垂线，垂足分别为，，根据∽，表示出点的坐标，从而得出方程解决问题． 本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解：这个直四棱柱的体积为： 故答案为：． 根据题意可知该直四棱柱的底面是一个边长为的正方形，它的高为，进而得出这个直四棱柱的体积． 本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够了解该几何体的形状，难度不大． 20.【答案】  【解析】解：是方程的实数根， ， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故答案为：． 先利用一元二次方程根的定义得到，则变形为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 21.【答案】  【解析】解：如图，设的半径为，则， 六边形是正六边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 设圆的半径为，用含有的代数式表示正六边形的面积以及圆的面积即可． 本题考查几何概率，正多边形与圆，掌握正六边形的性质以及正六边形面积、圆面积的计算方法是正确解答的前提． 22.【答案】  【解析】解：设． 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， ，， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， ∽， ， ， ， 令， 则有， ， 由题意， ， ， 解得或， 的最小值为， 过点作于点如图， ， ， 的面积的最小值为． 解法二：如图，作的外接圆，过点作一点，过点作于点，连接，． 由题意， ， 设，，则，， ， ， ， ， ， 的面积的最小值为． 故答案为：． 设想办法用表示出，根据一元二次方程，利用根的判别式，求出的最小值，可得结论． 本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 23.【答案】，    【解析】解：设的轨迹与轴的交点坐标为：， 由题意得， ， 解之得， 或， 点的轨迹与轴的交点坐标为：或， 故答案为：或； 设点， ，， 当时， 当时，， ， 当时，， 当时，， 当时， 当时，， 当时，舍去， 当时，， 当时， 当时，， 当时，， 当时，， 的图象如下图： 设的解析式为：， ， ， ， 当时， ， ， 由得， ， ， ， 故答案为：． 设的轨迹与轴的交点坐标为：，可得出，进一步得出结果； 分类讨论，求出每一段的函数关系式，画出点的运动轨迹，进而求得结果． 本题考查了在新定义的基础上如何分类讨论，去绝对值，得出分段函数的解析式等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 24.【答案】解：设销售量件与售价元件之间的函数关系式为， 则， 解得：， 销售量件与售价元件之间的函数关系式是； 商家销售该服装的利润为元， 根据题意得：， 活动要求利润不得高于成本的． ， 解得：， ， 当时，有最大值，最大值为， 商家售价定为元件时，总利润最大，最大利润为元．  【解析】根据图形中数据用待定系数法求函数解析式即可； 根据利润单件利润销售量列出函数解析式，再根据的取值范围和二次函数的性质求最值即可． 本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答． 25.【答案】解：抛物线与轴交于、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． 过点作于点，如图： 则， ，， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得． 轴， ， ， ， ， ，  的周长， 当最大时，的周长最大． 设，其中． ，， 直线的解析式为， ， ， ， 时，有最大值，最大值为， 周长的最大为，． 由题知：平移后的抛物线的解析式为． 设，则． 又直线的解析式为，点在上， ， ， ， ，， ． 当是等腰三角形时， 若，则， 解得舍去，， ； 若，则， 解得， ； 若， 则， 解得：，舍去， ． 综上，抛物线的平移距离的值为或或．  【解析】将、代入，用待定系数法求解即可． 过点作于点，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理得，再根据得出等式，将的周长用表示出来，设，求得直线的解析式，进而写出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得的最大值，则可得周长的最大值． 平移后的抛物线的解析式为，设设，则，由点在直线上，可得关于的等式，将用含的式子表示出来，即，再分三种情况：；；，分别得出关于的方程，解得的值，再代入，计算即可． 本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、一次函数和二次函数的性质及一元二次方程的应用等知识点，数形结合，分类讨论，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 26.【答案】证明：如图， ，， ∽， ， ． 解：如图， 连接， 四边形是菱形， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ∽， ， ，，， ， ，， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 即， ， ， ， ， 由知：， ∽， ，即， ， ； 解：如图， ， ， 又， ∽， ， 点在以为圆心，以为半径有圆上运动， 在上截取，连接， ，， ∽， ， 当，，三点共线时，的最小值，作于点， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为．  【解析】证明∽，得出，则可得出结论； 连接，证明∽，从而得出，进一步求得结果； 可证明∽，从而，进而求得结果； 证明∽，由相似三角形的性质得出，点在以为圆心，以为半径有圆上运动，在上截取，连接，证明∽，由相似三角形的性质得出，当，，三点共线时，的最小值，作于点，求出的最小值为， 此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$