3.2 一元二次方程的解法 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的解法，涵盖直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及方法选择，从根的定义及判断步骤导入，通过“逐点导讲练”构建从概念到解法的递进学习支架。 其亮点是“观察方程选解法”的策略指导，结合例6因式分解法解(x-5)²=8(x-5)等实例，培养运算能力与推理意识，采用步骤化讲解与对比练习，小结明确方法目标，助力学生系统掌握，教师可高效教学。

3.2 一元二次方程的解法 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 一元二次方程的解(根) 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 选择合适的方法解一元二次方程 知1－讲 感悟新知 知识点 一元二次方程的解（根） 1 1. 一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元二次方程的解. 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 知1－讲 感悟新知 2. 判断一元二次方程的根的步骤：(1)将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边.(2)若方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的根；否则，这个数不是一元二次方程的根. 3. 解一元二次方程：把一元二次方程的所有根都求出来，叫作解一元二次方程. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 如果一个数是一元二次方程的根，那么这个数一定能使方程左右两边的值相等，由此可求待定字母的值 . 知1－练 判断x＝2，x＝3，x＝5 是不是一元二次方程x2－x＝6 的根. 解题秘方：紧扣一元二次方程根的定义进行判断. 例1 感悟新知 知1－练 解：将x＝2 代入方程，得左边＝4－2＝2， 因为右边＝6，2 ≠ 6，所以 x＝2 不是原方程的根. 将x＝3 代入方程，得左边＝9－3＝6， 因为右边＝6，6＝6，所以x＝3 是原方程的根. 将x＝5 代入方程，得左边＝25－5＝20， 因为右边＝6，20 ≠ 6，所以x＝5 不是原方程的根. 感悟新知 知1－练 感悟新知 1-1.判断下列方程后面括号内的数是不是方程的解． (1) x2 － 5x － 6 ＝ 0(－ 1， 2， 6)； 解：当x＝－1时，x2－5x－6＝1＋5－6＝0，所以x＝－1为方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝2时，x2－5x－6＝4－10－6＝－12≠0，所以x＝2不是方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝6时，x2－5x－6＝36－30－6＝0，所以x＝6为方程x2－5x－6＝0的解． 知1－练 感悟新知 (2) 2x2 － 5x ＋ 2 ＝ 0(2， 0， )． 知2－讲 知识点 直接开平方法 2 1.直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，这样求一元二次方程解的方法叫作直接开平方法. 感悟新知 知2－讲 2. 直接开平方法的适用类型 适用类型 方程的解 x2=a(a ≥ 0) x=± (ax+n)2=d(a，n，d 是已知数，a ≠ 0，d ≥ 0) x= 感悟新知 知2－讲 3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 步骤1：将方程变成左边是(ax+b) 2，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根). 步骤2：开平方，将方程转化为两个一元一次方程. 步骤3：解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为一元二次方程的两个根. 感悟新知 知2－讲 特别警示 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： (1)不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； (2)只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是x2＝p中p ≥ 0. 感悟新知 感悟新知 知2－练 解下列方程： (1) 16x2 ＝ 25； (2) 3( x ＋ 1) 2 － 108 ＝ 0； (3) ( 2x ＋ 3) 2 － 54 ＝ 0． 例2 解题秘方：紧扣“直接开平方法”的步骤求解 . 知2－练 感悟新知 解：原方程左右两边同除以16，得x2=. 根据平方根的意义，得x= 或x=- ， 因此，原方程的根为x1=，x2=-． (1)16x2 ＝ 25 知2－练 感悟新知 解：移项，得3(x+1)2=108， 方程两边同除以3，得(x+1)2=36. 根据平方根的意义，得x+1= 或x+1=- ， 因此，原方程的根为x1=5，x2=-7． (2) 3( x ＋ 1) 2 － 108 ＝ 0 知2－练 感悟新知 解：移项，得 ( 2x ＋ 3) 2 ＝ 54， 方程两边同时乘 4，得( 2x ＋ 3) 2 ＝ 216， 根据平方根的意义，得 2x+3 ＝ 6 或2x+3 ＝－6 ， 因此，原方程的根为x1= ， x2= ． (3) ( 2x ＋ 3) 2 － 54 ＝ 0 知2－练 感悟新知 2-1.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( ) A． x2 ＋ 9 ＝ 0 B． － 2x2 ＝ 0 C． x2 － 3 ＝ 0 D．(x － 2) 2 ＝ 0 A 知2－练 感悟新知 2-2.解方程：( x ＋ 3) 2 ＝4( x － 2) 2． 解：根据平方根的意义，得x+3=±=±2(x-2)， 所以x+3=2(x-2)或x+3=-2(x-2). 因此，原方程的根为x1=7，x2=. 知3－讲 知识点 配方法 3 1. 配方：一般地，将形如x2+bx 的多项式加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法称为配方． 2. 配方法：方程经配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 感悟新知 知3－讲 3. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程化为一般形式(或者ax2+bx=c 的形式)； (2)化二次项系数为1； (3)方程左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数； (4)利用完全平方公式，将方程化为(x+n)2=d 的形式； (5)当d ≥ 0 时，用直接开平方法求出方程的根. 感悟新知 知3－讲 知识链接 配方的依据是完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2，其实质是对一元二次方程进行变形，转化为能够直接开平方的形式，从而把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解 . 感悟新知 知3－讲 特别提醒 一元二次方程的配方与二次三项式的配方的区别： 一元二次方程的配方是方程的两边同除以二次项系数，而二次三项式的配方是提取二次项系数，要注意区分. 感悟新知 知3－练 [母题 教材 P102 练习 T2 ]用配方法解下列方程： (1)x2＋4x＋3＝0；(2)x2＋x－＝0； (3)2x2－4x－1＝0； (4)(1＋x)2＋2(1＋x)－3＝0. (5)3x2-6x+7=0. 例 3 解题秘方：先将方程配方化为(x+n)2=d(d ≥ 0)的形式，再用直接开平方法求解. 感悟新知 知3－练 解：配方，得x2+4x+22-22-5=0，因此(x+2)2=9. 由此得x+2=3 或x+2=-3，解得x1=1，x2=-5. (1)x2＋4x＋3＝0； 感悟新知 知3－练 解：配方，得x2＋x＋22 ＝.因此()2=1 由此得＝1或＝－1. 解得 x1＝，x2＝－. (2)x2＋x－＝0； 感悟新知 知3－练 解：二次项系数化为1，得x2-4x- =0. 配方，得x2-4x+22-22- =0，因此(x-2)2= . 由此得x-2=或x-2=-，解得x1=，x2=. (3)2x2－4x－1＝0； 感悟新知 知3－练 解：配方，得(1+x)2+2(1+x)+12-12-3=0， 因此(1+x+1)2=4. 由此得2+x=2 或2+x=-2， 解得x1=0，x2=-4. (4)(1＋x)2＋2(1＋x)－3＝0. 巧将1＋x看作整体进行配方，可达到简化效果. 感悟新知 知3－练 解：二次项系数化为1，得x2-2x+=0. 配方，得x2-2x+12-12+ =0，因此(x-1)2=- . 因为在实数范围内，任何实数的平方都是非负数， 所以原方程无实数根． (5)3x2-6x+7=0. 感悟新知 方法总结 代数式ax2+bx+c(a ≠ 0)配方成a(x+m)2+n 的形式后, 若a>0，则当x=-m 时, 代数式取得最小值n；若a<0，则当x=-m 时,代数式取得最大值n. 感悟新知 知3－练 感悟新知 3-1. 用配方法解下列方程： (1)x2-2x-2=0； 解：配方，得x2-2x+12-12-2=0，因此(x-1)2=3. 由此得x-1=或x-1=-， 解得x1=1+，x2=1-. 知3－练 感悟新知 (2)2x2-6x+3=0； 解：二次项系数化为1，得x2-3x+=0. 配方，得x2-3x+()2-()2+=0，因此(x-)2=. 由此得x-=或x-=-，解得x1=，x2=. 知3－练 感悟新知 (3)-3x2-2x+1=0； 解：二次项系数化为1，得x2+x-=0. 配方，得x2+x+()2-()2-=0，因此x+()2=. 由此得x+=或x+=-，解得x1=，x2=-1. 知3－练 感悟新知 (4)x(x- )=x-3； 解：原方程整理，得x2-4x=-3. 二次项系数化为1，得x2-8x=-6. 配方，得x2-8x+42-42=-6，因此(x-4)2=10. 由此得x-4=或x-4=-， 解得x1=4+，x2=4-. 知3－练 感悟新知 (5)3x2-4x=-12. 解：二次项系数化为1，得x2-x=-4. 配方，得x2-x+()2-()2=-4，因此(x-)2=-因为在实数范围内，任何实数的平方都是非负数，所以原方程无实数根. 知3－练 求x2+6x+11 的最小值. 例 4 解题秘方：变形的关键是将“11”拆分成“9+2”，形成完全平方式“x2+6x+9”，再逆用公式变形为平方形式. 解：x2+6x+11=x2+6x+9+2=(x+3)2+2. 由于(x+3)2 ≥ 0，所以(x+3)2+2 ≥ 2， 即x2+6x+11 的最小值为2. 感悟新知 知3－练 感悟新知 4-1. 对于多项式x2+y2-2x+2y+6，当x, y 取何值时有最小值，最小值为多少？ 解：原式=x2+y2-2x+2y+1+1+4 =(x2-2x+1)+(y2+2y+1)+4=(x-1)2+(y+1)2+4. 因为(x-1)2和(y+1)2的值必定为非负数， 所以当x=1，y=-1时，多项式有最小值，最小值为4. 知识点 公式法 知4－讲 4 1. 求根公式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)在b2－4ac ≥ 0 的条件下，它的根为x＝ ，此式叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)的求根公式. 感悟新知 知4－讲 2. 公式法：运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 感悟新知 知4－讲 3.用公式法解一元二次方程的步骤 感悟新知 特别提醒 1.求根公式适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2.求根公式的应用前提： (1)是一元二次方程；(2)已化为一般形式； (3)b2－4ac ≥ 0. 知4－讲 感悟新知 3. 由求根公式可知，一元二次方程的根由方程的系数a，b，c 决定，这也反映出了一元二次方程的根与系数a，b，c 之间的一个关系.公式法解一元二次方程 知4－讲 感悟新知 知4－练 例 5 [母题 教材 P105 例5]用公式法解下列方程. (1)2x2－7x＋4＝0； (2)3x2－2x＝－1； (3)x2－2x＋3＝0； (4)-3x2-3x=2x-2. 感悟新知 知4－练 感悟新知 思路导引： 知4－练 解：这里 a＝2，b＝－7，c＝4， 因而b2－4ac＝(－7)2－4×2×4＝17 ＞0. 所以 x ＝＝. 因此，原方程的根为x1＝，x2＝. (1)2x2－7x＋4＝0； 求b2－4ac的值时，若代入的字母值是负数，则需将其用括号括起来. 感悟新知 知4－练 解：移项，得3x2－2x＋1＝0. 这里 a＝3，b＝－2，c＝1， 因而 b2－4ac＝(－2)2－4×3×1＝0. 所以x＝＝ .因此，原方程的根为x1＝x2＝ . (2)3x2－2x＝－1； 感悟新知 知4－练 (3)x2－2x＋3＝0； 解：这里 a＝1，b＝－2，c＝3， 这里b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8<0. 所以方程无实数根. 感悟新知 知4－练 解：移项、合并同类项，得-3x2-5x+2=0， 这里a=-3，b=-5，c=2. 因而b2-4ac=(-5)2-4×(-3)×2=49>0， 所以x= =-. 因此，原方程的根为x1=-2，x2= . (4)-3x2-3x=2x-2. 感悟新知 知4－练 感悟新知 5-1.下列一元二次方程的根是x=的是( ) A．3x2+5x+1=0 B．3x2-5x+1=0 C．3x2-5x-1=0 D．3x2+5x-1=0 D 知4－练 感悟新知 5-2.用公式法解方程： (1) x2 ＋ 4x － 5 ＝ 0； 解：这里a=1，b=4，c=-5. 因而b2-4ac=42-4×1×(-5)=36＞0， 所以x= = ， 因此，原方程的根为x1=1，x2=-5. 知4－练 感悟新知 (2) 2x2=2 x ＋ 1； 解：移项，得2x2-2x-1=0， 这里a=2，b=-2 ，c=-1. 因而b2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=20＞0， 所以x==. 因此，原方程的根为x1=，x2=. 知4－练 感悟新知 (3)2x2 － x ＋ =0. 解：这里a=2，b=-，c=. 因而b2-4ac=(-)2-4×2×=0，所以x==. 因此，原方程的根为x1=x2=.. 知识点 因式分解法 知5－讲 5 1. 因式分解法：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 依据：若ab=0，则a=0 或b=0 感悟新知 知5－讲 2. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)移项 : 将方程的右边为0； (2)化积 :将方程左边分解为两个一次因式的乘积； (3)转化 :令每个因式都为0，转化为两个一元一次方程； (4)求解 :解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 降次 感悟新知 知5－讲 知识储备 常用的因式分解的方法： 1. 提公因式法； 2. 公式法； 3. x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b). 感悟新知 知5－练 感悟新知 [母题 教材P107 例7]用因式分解法解下列方程： (1)(x ＋ 2) 2 ＝ 1； (2) x2 ＋ 2 ＝ 2 x； (3)( x － 5) 2 ＝ 8(x － 5) . 例6 解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解方法. 知5－练 感悟新知 解：移项，得(x+2)2-1=0, 把方程左边的多项式因式分解，得(x+2+1)(x+2-1)=0, 由此得x+2+1=0 或x+2-1=0. 解得x1=-3，x2=-1. (1)(x ＋ 2) 2 ＝ 1 知5－练 感悟新知 解：移项，得x2-2 x+2=0. 把方程左边的多项式因式分解，得(x- )2=0， 由此得x- =0. 解得x1=x2= 2 . (2) x2 ＋ 2 ＝ 2 x 知5－练 感悟新知 解：移项，得(x-5)2-8(x-5)=0. 把方程左边的多项式因式分解，得(x-5)(x-5-8)=0， 由此得x-5=0 或x-5-8=0. 解得x1=5，x2=13. (3)( x － 5) 2 ＝ 8(x － 5) 把x-5 看成一个整体 知5－练 感悟新知 6-1.如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2 － 5x ＋ 4=0 的两根，则这个等腰三角形的底边长为( ) A. 4 B. 1 C. 4 或 1 D. 以上都不正确 B 知5－练 感悟新知 6-2.解方程：( x － 2) 2 ＝ 3( x － 2) . 解：移项，得(x-2)2-3(x-2)=0. 把方程左边的多项式因式分解，得(x-2)(x-2-3)=0， 由此得x-2=0或x-2-3=0. 解得x1=2，x2=5. 知6－讲 知识点 一元二次方程的解法 6 1. 解一元二次方程的基本思路：将一元二次方程化为一元一次方程，即降次. 感悟新知 知6－讲 2. 合理选择一元二次方程的解法 方法 理论依据 适用方程 主要特点 直接开平方法 平方根的意义 x2=n(n≥0)或(ax+b)2=n(a≠0，n≥0)型方程 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程 因式分解法 若ab=0，则a=0 或b=0 能化为一边为0，另一边为两个一次因式积的形式的方程 求解迅速、准确，但适用范围较小 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 解法繁琐，当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用此法较简单 公式法 配方 所有一元二次方程 计算量大，易出现符号错误 感悟新知 活用巧记 解一元二次方程时，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法；没有特殊要求的，尽量少用配方法. 可巧用口诀记为： 观察方程选解法，先看能否开平方， 再看是否能分解，左边降次右化零， 求根公式最后用，系数符号要辨明. 知6－讲 感悟新知 感悟新知 知6－练 [母题 教材 P41 练习]用适当的方法解下列一元二次方程： (1) x2 ＋ 10x ＝ 2x ＋ 2； (2)x2-6x=-7； (3)(2x ＋ 1) 2 － 3( 2x+1)＝ － 2． 例7 解题秘方：根据方程的特点，选择适当的方法解一元二次方程 . 知6－练 感悟新知 解：移项、合并同类项，得 x2+8x-2=0， 这里 a=1，b=8，c=-2.因而 b2-4ac=82-4×1×(-2)=72>0， 所以 x==-4±3 . 因此，原方程的根为 x1=-4+3 2 ，x2=-4-3 2 . (1) x2 ＋ 10x ＝ 2x ＋ 2 知6－练 感悟新知 解：配方，得 x2-6x+32-32=-7． 因此(x-3)2=2. 由此得 x-3= 或 x-3=- ， 解得 x1=3+ ，x2=3- ． (2)x2-6x=-7； 知6－练 感悟新知 解：原方程可化为(2x+1)2-3(2x+1)+2=0. 把方程左边的多项式因式分解， 得［(2x+1)-2］［(2x+1)-1］=0， 由此得 2x+1-2=0 或 2x+1-1=0. 解得 x1=，x2=0． (3)(2x ＋ 1) 2 － 3( 2x+1)＝ － 2 左边展开解方程运算量太大，把 2x+1 看作一个整体，用因式分解法. 知6－练 感悟新知 7-1. [期末·北京海淀区] 用适当的方法解方程： (1) x2＋2x－3 ＝ 0； 解：配方，得x2+2x+12-12-3=0， 因此(x+1)2=4. 由此得x+1=2或x+1=-2， 解得x1=1，x2=-3. 知6－练 感悟新知 (2)( x － 4) 2 + x( x －4) ＝ 0； 解：把方程左边的多项式因式分解，得(x-4)·(x-4+x)=0， 由此得x-4=0或x-4+x=0. 解得x1=4，x2=2. 知6－练 感悟新知 (3) 2x2－3x＋1 ＝ 0． 解：这里a=2，b=-3，c=1. 因而b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1>0， 所以x==. 因此，原方程的根为x1=1，x2=. 一元二次方程的解法 解一元二次方程 直接开平方法 降次 配方法 公式法 因式分解法 课堂小结 解：当x＝2时，2x2－5x＋2＝8－10＋2＝0，所以 x＝2为方程2x2－5x＋2＝0的解； 当x＝0时，2x2－5x＋2＝0－0＋2＝2≠0，所以x＝0不是方程2x2－5x＋2＝0的解； 当x＝时，2x2－5x＋2＝－＋2＝0，所以x＝为方程2x2－5x＋2＝0的解． $