甘肃兰州市永登县第六中学2025-2026学年高一下学期数学期末考试模拟卷（1）

**基本信息** 本试卷覆盖高二数学下学期核心知识，通过课后服务时长统计、知识竞赛成绩分析等现实情境，考查函数导数、概率统计、立体几何等内容，体现数学眼光观察、思维分析、语言表达现实世界的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|函数单调性（7题）、概率计算（2题）、立体几何（6题）|基础题与能力题结合，如第7题比较不同函数值大小，考查导数应用| |填空题|3题/15分|二项分布与正态分布（12题）、三角函数单调性（13题）|知识综合，如12题结合期望与正态分布概率计算| |解答题|5题/77分|统计与概率（15题、19题）、函数证明（16题）、立体几何（17题）|现实情境驱动，如15题分析课后服务时长频率分布，19题用正态分布估计竞赛证书获得人数，培养数据意识与模型观念|

2025-2026学年高二数学下学期 期末考试模拟卷（1） （本试卷共5页19小题，满分150分.考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1.已知函数 ,则 A． B． C． D． 2.在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为(　　) A． B． C． D． 3.已知随机变量X的分布列是 则E(2X＋a)等于( ) A． B． C． D． 4.若随机变量X~B，则P(X＝3)等于( ) A． B． C． D． 5.已知函数f(x)的导函数为f’(x)，且f'(1)＝a，＝1－a，则实数a的值为( ) A．－2 B．－ C． D．2 6.如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，若＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为(　　) A.，， B.，， C.，， D.，， 7.已知函数f(x)＝x＋cos x，x∈R，设a＝f(0.3－1)，b＝f(2－0.3)，c＝f(log20.2)，则(　　) A．b<c<a B．c<a<b C．b<a<c D．c<b<a 8.已知函数f(x)＝ex－f(0)x，若存在实数x0使得不等式2a－1－≥f(x0)成立，则a的取值范围为(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，2] D．[0，＋∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是(　　) A．MN⊥A1M B．MN⊥平面D1MC C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥C1－A1D1M体积不变 10.某工厂加工一种零件，有两种不同的工艺选择，用这两种工艺加工一个零件所需时间t(单位：h)均近似服从正态分布，用工艺1加工一个零件所用时间X～N(μ1，σ12)；用工艺2加工一个零件所用时间Y～N(μ2，σ22)，X，Y的正态密度曲线如图，则(　　) A．μ1<μ2，σ12>σ22 B．若加工时间只有a h，应选择工艺2 C．若加工时间只有c h，应选择工艺2 D．∀t0∈(b，c)，P(X<t0)>P(Y<t0) 11.已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则(　　) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)有两个零点 C．曲线y＝f(x)在点处切线的斜率为－1－ln 2 D．f(x)是偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X，Y，其中X～B，Y～N(μ，σ2)，E(X)＝E(Y)，P(|Y|<2)＝0.3，则P(Y>6)＝________． 13.已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________． 14.甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为和p.若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为，则p的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“5＋2”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2 h，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图： (1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200 min，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200 min的概率； (2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过180 min的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在[180，200)的人数为X，求X的分布列与数学期望. 16已知函数f(x)＝，求证：当x＞0时，f(x)≤x－1. 17.已知四棱锥 中,底面 为矩形, 底面 , . (1)证明: ； (2)若四棱锥体积 ，求二面角 的余弦值. 18．已知函数f(x)＝x2＋(1－2a)x－aln x(a∈R)． (1)讨论y＝f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围． 19.为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下： 成绩(分) [40， 50) [50， 60) [60， 70) [70， 80) [80， 90) [90， 100] 人数 2 4 22 40 28 4 (1)求抽取的100名学生竞赛成绩的方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值为代表)； (2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均分，σ2近似为样本方差s2，若μ－σ<X≤μ＋2σ，参赛学生可获得“参赛纪念证书”；若X>μ＋2σ，参赛学生可获得“参赛先锋证书”． ①若我校有3 000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数(结果保留整数)；②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分＝75. 2025-2026学年高二数学下学期期末考试模拟卷（1）答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 【1题答案】C【2题答案】B【3题答案】C【4题答案】B【5题答案】D【6题答案】A 【7题答案】D【8题答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 【9题答案】ACD【10题答案】AC【11题答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】　0.2 【13题答案】和 【14题答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【解析】 (1)依题意，课后服务时长超过200 min的调查表共有 100×(0.007 5＋0.002 5)×20＝20(份)①， 设事件A为其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200 min，事件B为另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200 min， 则P(A)＝，P(AB)＝②， 故P(B|A)＝＝＝＝③. (2)根据题意及分层随机抽样的知识可知，抽取的10人中，建议课后服务时长在[180，200)内的有6人，则X的所有可能取值为0，1，2，3④，(7分) 且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝⑤， 所以X的分布列为 X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝⑥. 16.【解析】证明：当x＞0时，要证f(x)≤x－1， 即证ln x－x2＋x≤0， 令g(x)＝ln x－x2＋x(x＞0)， 则g′(x)＝－2x＋1＝＝－， 当0＜x＜1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增； 当x＞1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减， ∴g(x)≤g(1)＝0， 即当x＞0时，f(x)≤x－1. 17．【答案】(1) 过 做 ,以 为原点,以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系, ,设 ,故 ,故 .(2)由题意， ,故 ,设平面 法向量为 ,设二面角 为 18.解析　(1)f′(x)＝2x＋1－2a－＝(x>0)， ①当a≤0时，∵x>0，∴x－a>0， ∴f′(x)>0，y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数； ②当a>0时，令f′(x)>0，则x>a，即y＝f(x)在(a，＋∞)上单调递增． 令f′(x)<0，则0<x<a，即y＝f(x)在(0，a)上单调递减． 综上所述，当a≤0时，y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，y＝f(x)在(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减． (2)①由(1)可知，当a<0时，y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当x→0时，f(x)→－∞，与f(x)≥0矛盾，不符合题意，故舍去； ②当a＝0时，f(x)＝x2＋x，∵x>0，∴f(x)>0，符合题意； ③当a>0时，y＝f(x)在(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减， ∴f(x)min＝f(a)＝a2＋(1－2a)a－aln a＝a(1－a－ln a)， 要使f(x)≥0，只需a(1－a－ln a)≥0， ∵a>0，∴1－a－ln a≥0， 令g(a)＝1－a－ln a，则g′(a)＝－1－<0， ∴y＝g(a)在(0，＋∞)上为减函数， ∵g(1)＝0， ∴当0<a≤1时，g(a)≥0，即满足f(x)≥0. 综上所述，当f(x)≥0时，a的取值范围是[0，1]． 19.解析　(1)由题意，抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分＝75， 所以这100名学生本次竞赛成绩的方差s2＝(45－75)2×＋(55－75)2×＋(65－75)2×＋(75－75)2×＋(85－75)2×＋(95－75)2×＝100. (2)①由于μ近似为样本平均分，σ2近似为样本方差s2， 所以μ＝75，σ2＝100，可知σ＝＝10， 由于竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)， 因此参赛学生获得“参赛纪念证书”的概率为P(μ－σ<X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈×0.682 7＋×0.954 5＝0.818 6，所以3 000×0.818 6＝2 455.8≈2 456， 故估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为2 456. ②当X>μ＋2σ，即X>95时，参赛学生可获得“参赛先锋证书”，所以竞赛成绩为96分的学生能获得“参赛先锋证书”． 第9页/共9页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $