专题9 平行四边形的判定 暑期巩固 2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

**基本信息** 华师大版2024八年级下册暑期巩固专题9，以平行四边形判定为核心，分层递进覆盖从单一定理到综合应用，培养推理意识与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|定义、对边相等、对角线平分判定|选择填空结合图形辨析，强化概念理解| |技能应用|判定构成、添加条件、个数问题|解答题训练条件组合与判定灵活应用| |综合拓展|动点问题、性质判定综合|动态几何结合方程思想，提升推理与建模能力|

华师大版（2024）八年级下册暑期巩固 专题9平行四边形的判定 目录 根据定义判定平行四边形 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2 对角线互相平分的四边形是平行四边形 3 判定能否构成平行四边形 5 添加一个条件成为平行四边形 7 平行四边形的个数问题 8 动点中的平行四边形判定问题 10 综合运用平行线的性质与判定进行求解 12 综合运用平行线的性质与判定进行证明 14 根据定义判定平行四边形 1、如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 2、如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 3、在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC 　    　AD，则四边形ABCD为平行四边形． 4、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 5、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BE平分∠ABC交AD于E且AB＝AE，求证：四边形ABCD是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 1、求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形中，，． 求证：四边形是平行四边形． 以下是排乱的证明过程： ①∴，∴． ②∴四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ③连接，∵，，， ④， 证明步骤正确的顺序是（    ） A.③→④→①→② B.③→①→④→② C.③→①→②→④ D.②→③→①→④ 2、如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 3、如图，点、在直线上，为直线外一点，连接，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则可以判定四边形是平行四边形的理由是           ． 4、将和按如图所示的位置放置，已知，求证：四边形是平行四边形． 对角线互相平分的四边形是平行四边形 1、综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 2、嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形是平行四边形， 嘉嘉给出的条件是：，； 琪琪给出的条件是：； 则（     ） A.嘉嘉可以，琪琪不可以 B.嘉嘉不可以，琪琪可以 C.两人都可以 D.两人都不可以 3、如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（　　） A.△ABD≌△ECD B.连接BE，四边形ABEC为平行四边形 C.DA＝DE D.CE＝CD 4、如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O．若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是　       　，理由是　                                    　． 5、如图，中，，是的角平分线，点为的中点，连接并延长至点，使，连接，和．证明四边形为平行四边形． 6、如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF． (1)请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？说明你判断的理由． (2)连接BF，CE，求证：四边形BECF是平行四边形． 判定能否构成平行四边形 1、在四边形中，已知，如再加上一个条件，不能判定它是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 2、已知四边形，对角线和交于点，有下列四句话：①；②；③；④．从四句话中任取两个作为命题的条件，四边形为平行四边形作为命题的结论，其中真命题的数量有（    ） A. B. C. D. 3、下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是         （填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等． 4、如图，在平面直角坐标系中，、、，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题： (1)画线段，使，且，并写出点D的坐标______； (2)连接，判断四边形的形状为______； (3)在线段上找出一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法和证明） 5、已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点． (1)请在平面直角坐标系中描出点和； (2)若C为坐标系内一点，且以O，A，C，B为顶点的四边形为平行四边形，请在给出的坐标系中画出所有满足条件的平行四边形，并直接写出C点的坐标． 添加一个条件成为平行四边形 1、如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（  ） A. B. C. D. 2、如果四边形有一组对边相等，那么还需要添加（    ）条件，就能使它成为平行四边形． A.另一组对边相等 B.一组对角相等 C.另一组对边平行 D.以上都成立 3、如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 4、如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件            （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形． 5、如图，在中，，分别是，上的点，请添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则添加的条件是           （答案不唯一）． 6、如图，在中，连接BD，点E、F在线段BD上，连接AE、EC、CF、FA． (1)请你添加一个条件：__________，使四边形AECF是平行四边形；（只填一个） (2)根据已知及（1）中你所添加的条件，证明：四边形AECF是平行四边形． 7、在①AD＝BC，②，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，_______（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形． 平行四边形的个数问题 1、如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有(    ) A.15个 B.16个 C.17个 D.18个 2、如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（  ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 3、数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 4、如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有      个. 5、如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 6、已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 动点中的平行四边形判定问题 1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A.3 s B.6 s C.3 s或5 s D.4 s或6 s 2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形. A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 3、如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　） A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s 4、在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6 cm，BC＝10 cm，M是BC上一点，且BM＝4 cm，点E从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　     　时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12 cm．点P从点A出发，以3 cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝　     　秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形． 6、如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 综合运用平行线的性质与判定进行求解 1、如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（  　） A. B. C. D. 2、如图，在中，，点E、F、G分别在边上，，则四边形的周长是（    ） A.20 B.24 C.30 D.10 3、如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，连接，，，那么四边形的周长是（　　） A.5 B.10 C.15 D.20 4、如图，垂直平分，交于，，，垂足为A，，，则的长为      ． 5、如图，在四边形中，，，，相交于点．若，则线段的长等于           ． 6、如图，已知平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，、交于点． (1)求证：． (2)若，，，求线段的长． 7、如图，在梯形ABCD中，，，，延长到点，使，连． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 综合运用平行线的性质与判定进行证明 1、如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 2、如图，在▱中，，下列两种方案中所得四边形为平行四边形的是（ ） 方案Ⅰ：在和上分别截取和，使，连接和，得到四边形． 方案Ⅱ：作的平分线交于点，的平分线交于点，得到四边形． A.方案Ⅰ B.方案Ⅱ C.两种方案都行 D.两种方案都不行 3、如图，在四边形中，，，对角线相交于点O，写出图中任意一组相等的线段      ． 4、如图，在中，对角线相交于点于点于点连接，给出下列结论：；；图中共有八对全等三角形．其中正确结论的序号是      ． 5、如图所示，在中，分别是上的点，， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若分别是的中点，连接，与分别交于点，请写出图中除和以外的平行四边形； 华师大版（2024）八年级下册暑期巩固 专题9平行四边形的判定 （参考答案） 根据定义判定平行四边形 1、如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C.， ，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D.， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2、如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； B中由可得，，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求； C中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； ∵， ∴， D中由可得，，即，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； 故选：B． 3、在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC 　    　AD，则四边形ABCD为平行四边形． 【答案】∥ 【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知： ∵AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：∥． 4、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E， ∴∠1＝∠2， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠F， ∵CE＝CF， ∴∠F＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 5、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BE平分∠ABC交AD于E且AB＝AE，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵BE平分∠ABC交AD于E，且AB＝AE， ∴∠ABE＝∠CBE，∠ABE＝∠AEB， ∴∠CBE＝∠AEB， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 1、求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形中，，． 求证：四边形是平行四边形． 以下是排乱的证明过程： ①∴，∴． ②∴四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ③连接，∵，，， ④， 证明步骤正确的顺序是（    ） A.③→④→①→② B.③→①→④→② C.③→①→②→④ D.②→③→①→④ 【答案】A 【解析】连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 即顺序为③→④→①→②， 故选：A． 2、如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可判断，可以判定，符合题意； .，邻边相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意； .三边相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意； .一次邻边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意； 故选：． 3、如图，点、在直线上，为直线外一点，连接，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则可以判定四边形是平行四边形的理由是           ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】根据题意可得：， 所以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形； 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 4、将和按如图所示的位置放置，已知，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 对角线互相平分的四边形是平行四边形 1、综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 2、嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形是平行四边形， 嘉嘉给出的条件是：，； 琪琪给出的条件是：； 则（     ） A.嘉嘉可以，琪琪不可以 B.嘉嘉不可以，琪琪可以 C.两人都可以 D.两人都不可以 【答案】C 【解析】嘉嘉给出的条件是：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，嘉嘉可以； 琪琪给出的条件是：， ∴，， ∴四边形是平行四边形，琪琪也可以； 故选：C． 3、如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（　　） A.△ABD≌△ECD B.连接BE，四边形ABEC为平行四边形 C.DA＝DE D.CE＝CD 【答案】D 【解析】∵CE∥AB， ∴∠B=∠DCE，∠BAD=∠E， 在△ABD和△ECD中， , ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴DA=DE，AB=CE， ∵AD=DE，BD=CD， ∴四边形ABEC为平行四边形， 故选：D． 4、如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O．若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是　       　，理由是　                                    　． 【答案】平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解析】如图，∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形． 5、如图，中，，是的角平分线，点为的中点，连接并延长至点，使，连接，和．证明四边形为平行四边形． 【答案】证明：∵中，，是的角平分线， ∴， ∵， ∴、互相平分， ∴四边形为平行四边形． 6、如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF． (1)请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？说明你判断的理由． (2)连接BF，CE，求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】解：（1）结论：AD是△ABC的中线． 理由如下：∵BE⊥AD，CF⊥AD ∴∠BED＝∠CFD＝90°， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF， ∴BD＝CD ∴AD是△ABC的中线． （2）连接BF、CE． ∵△BDE≌△CDF， ∴BD＝CD，ED＝FD， ∴四边形BECF是平行四边形． 判定能否构成平行四边形 1、在四边形中，已知，如再加上一个条件，不能判定它是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A．如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项不符合题意； B．如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项不符合题意； C．如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故选项不符合题意； D．，，无法判定四边形是平行四边形，故选项符合题意． 故选：D． 2、已知四边形，对角线和交于点，有下列四句话：①；②；③；④．从四句话中任取两个作为命题的条件，四边形为平行四边形作为命题的结论，其中真命题的数量有（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，以①与②作为条件， ∵，， ∴四边形为平行四边形； ①与③作为条件， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； ①与④作为条件， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 以②与③作为条件， 由图形可得：，不能判定与， ∴不能判定四边形是平行四边形； ②与④作为条件， 由图形可得：，不能判定与， ∴不能判定四边形是平行四边形； ③与④作为条件，不能证明， ∴不能判定四边形是平行四边形， ∴真命题的数量有个． 故选：A． 3、下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是         （填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等． 【答案】②③④ 【解析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故①错误，②正确； ③两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确； ④两组对边分别平行，符合平行四边形的判定条件，故④正确； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤错误； 故答案为：②③④． 4、如图，在平面直角坐标系中，、、，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题： (1)画线段，使，且，并写出点D的坐标______； (2)连接，判断四边形的形状为______； (3)在线段上找出一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法和证明） 【答案】解：（1）画线段如图所示： 点D的坐标为， 故答案为： （2）因为，且， 所以四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形． （3）如图，连接交于点I，在作射线交于E，此时， ． 5、已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点． (1)请在平面直角坐标系中描出点和； (2)若C为坐标系内一点，且以O，A，C，B为顶点的四边形为平行四边形，请在给出的坐标系中画出所有满足条件的平行四边形，并直接写出C点的坐标． 【答案】解：（1）如图，点A、点B即为所求； （2）如图，平行四边形OABC1，平行四边形OAC2B，平行四边形OC3AB即为所求作； C点的坐标为或或． 添加一个条件成为平行四边形 1、如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．当，时， 四边形可能为等腰梯形， 所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2、如果四边形有一组对边相等，那么还需要添加（    ）条件，就能使它成为平行四边形． A.另一组对边相等 B.一组对角相等 C.另一组对边平行 D.以上都成立 【答案】A 【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项A符合题意； 四边形有一组对边相等，一组对角相等不能证明另一组对边也相等或平行，不能构成平行四边形，故选项B不符合题意； 四边形有一组对边相等，另一组对边平行不一定构成平形四边形，也可能构成等腰梯形，故选项C、D均不符合题意． 故选：A． 3、如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； B．由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； C．，结合题意，可由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证明四边形为平行四边形，符合题意； D．，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意． 故选C． 4、如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件            （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】添加条件为：或或， ①添加， 理由：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ②添加， 理由：∵， ∴是直角三角形，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ③添加， 理由：∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 综上所示，添加的条件有或或， 故答案为：或或（答案不唯一）． 5、如图，在中，，分别是，上的点，请添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则添加的条件是           （答案不唯一）． 【答案】 【解析】添加的条件是，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为． 6、如图，在中，连接BD，点E、F在线段BD上，连接AE、EC、CF、FA． (1)请你添加一个条件：__________，使四边形AECF是平行四边形；（只填一个） (2)根据已知及（1）中你所添加的条件，证明：四边形AECF是平行四边形． 【答案】解：（1）添加BE＝DF，使四边形AECF是平行四边形； 故答案为：BE＝DF； （2）如图，连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形． 7、在①AD＝BC，②，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，_______（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形． 【答案】解：补充条件②， ∵， ∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC， 又∵OA=OC， ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 条件① ③无法证明四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：②. 平行四边形的个数问题 1、如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有(    ) A.15个 B.16个 C.17个 D.18个 【答案】D 【解析】平行四边形有：▱AEOG，▱AEFD，▱ABHG，▱GOFD，▱GHCD，▱EBHO，▱EBCF，▱OHCF，▱ABCD，▱EHFG， ▱AEHO，▱AOFG，▱EODG，▱BHFO，▱HCOE，▱OHFD，▱OCFG，▱BOGE． 共18个． 故选D． 2、如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（  ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB， 又∵EG∥AB，FH∥CD， ∴EG∥AB∥FH∥CD， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：□ABGE、□ABHF、□ABCD、□EGCD、□EGHF、□FHCD，共6个. 故选D． 3、数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 【答案】C 【解析】如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，可得OA=OE=AF=EF，所以四边形AOEF是平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABOD都是平行四边形，共6个， 故答案选C. 4、如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有      个. 【答案】2 【解析】∵、、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：2． 5、如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【答案】解：如图所示： 6、已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】解：（1）如图所示； （2）由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 动点中的平行四边形判定问题 1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A.3 s B.6 s C.3 s或5 s D.4 s或6 s 【答案】C 【解析】由已知梯形，当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得： 2t6﹣t， 解得：t＝5， 当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：2t＝6﹣t， 解得：t＝3， 故当运动时间t为3或5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形. A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 【答案】C 【解析】∵E是BC的中点， ∴BE＝CEBC＝8， 由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t， ①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t， ∴3t﹣8＝6﹣t， 解得：t＝3.5； ②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t， ∴8﹣3t＝6﹣t， 解得：t＝1， ∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故选：C． 3、如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　） A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s 【答案】D 【解析】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2 s或6 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故选：D． 4、在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6 cm，BC＝10 cm，M是BC上一点，且BM＝4 cm，点E从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　     　时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】4 s或 s 【解析】①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝4﹣2t，解得t， ②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝2t﹣4，解得t＝4， 综上所述，t＝4 s或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：4 s或s． 5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12 cm．点P从点A出发，以3 cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝　     　秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形． 【答案】3或6 【解析】由运动知，AP＝3t，CQ＝t， ∴DP＝AD﹣AP＝12﹣3t， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD＝CQ， ∴12﹣3t＝t， ∴t＝3秒； 当P运动到AD线段以外时，AP＝3t，CQ＝t， ∴DP＝3t﹣12， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD＝CQ， ∴3t﹣12＝t， ∴t＝6秒， 故答案为：3或6. 6、如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 【答案】解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形， 根据题意可得： AP＝t cm，PD＝（24﹣t）cm，CQ＝2t cm，BQ＝（30﹣2t）cm， ①若四边形ABQP是平行四边形， 则AP＝BQ， ∴t＝30﹣2t， 解得：t＝10， ∴10s后四边形ABQP是平行四边形； ②若四边形PQCD是平行四边形， 则PD＝CQ， ∴24﹣t＝2t， 解得：t＝8， ∴8 s后四边形PQCD是平行四边形； 综上所述：当P，Q两点同时出发，8秒或10秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形． 综合运用平行线的性质与判定进行求解 1、如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（  　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由旋转的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，解得， 故选：A． 2、如图，在中，，点E、F、G分别在边上，，则四边形的周长是（    ） A.20 B.24 C.30 D.10 【答案】A 【解析】∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 3、如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，连接，，，那么四边形的周长是（　　） A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】B 【解析】， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长 ， 故选：B． 4、如图，垂直平分，交于，，，垂足为A，，，则的长为      ． 【答案】 【解析】垂直平分， ，， ，， ，即， ， ， ∴， ，垂直平分，， ∴，， 四边形为平行四边形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得：， ∴， ， 故的长为， 故答案为：． 5、如图，在四边形中，，，，相交于点．若，则线段的长等于           ． 【答案】 【解析】，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：． 6、如图，已知平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，、交于点． (1)求证：． (2)若，，，求线段的长． 【答案】解：（1）四边形为平行四边形， ，，， ，， 、分别平分和， ，， ，， ，， ， ； （2）过点作，交的延长线于，    ， ， 平分交于点，平分交于点， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得，． 7、如图，在梯形ABCD中，，，，延长到点，使，连． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 综合运用平行线的性质与判定进行证明 1、如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，； ∴①②③正确，④错误． 故选：B． 2、如图，在▱中，，下列两种方案中所得四边形为平行四边形的是（ ） 方案Ⅰ：在和上分别截取和，使，连接和，得到四边形． 方案Ⅱ：作的平分线交于点，的平分线交于点，得到四边形． A.方案Ⅰ B.方案Ⅱ C.两种方案都行 D.两种方案都不行 【答案】C 【解析】方案Ⅰ：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 方案Ⅱ：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上两种方案都行， 故选：． 3、如图，在四边形中，，，对角线相交于点O，写出图中任意一组相等的线段      ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵， ∴四边形 是平行四边形， ∴， 故答案为： 或 或 或 ． 4、如图，在中，对角线相交于点于点于点连接，给出下列结论：；；图中共有八对全等三角形．其中正确结论的序号是      ． 【答案】①②③ 【解析】在中， ， ， ， 于点，于点， ， ， 四边形是平行四边形， ，故①②正确， ， ，即，故③正确， ∵， 和是中心对称图形，点是对称中心， 易证， ， ， ∴共10对全等三角形，故④错误； 故答案为：①②③. 5、如图所示，在中，分别是上的点，， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若分别是的中点，连接，与分别交于点，请写出图中除和以外的平行四边形； 【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∵, ∴四边形是平行四边形； ∵, ∴, ∴四边形是平行四边形, 综上所述，图中还有． 学科网（北京）股份有限公司 $