山东枣庄市2025-2026学年高二下学期数学期末自编模拟卷2

**基本信息** 这份高二期末模拟卷聚焦选择性必修统计概率与导数内容，以台灯近视调查、卡片比赛等真实情境为载体，考查数据意识、推理能力与应用意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|经验回归、分布列、二项分布|基础概念辨析，如第1题回归方程参数求解| |多选题|3/18|百分位数、相关系数、二项式系数|概念综合判断，如第9题统计术语正误辨析| |填空题|3/15|二项式系数、条件概率、导数应用|简洁情境迁移，如第13题条件概率计算| |解答题|5/77|独立性检验、导数综合、概率期望|分层设计，如第16题现实数据分析，第18题多轮比赛概率与期望综合考查|

山东省枣庄市2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修第二册（第五章）、选择性必修第三册（全册） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．现有10个样本数据，，，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 2．已知随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 则常数（   ） A． B． C． D． 3．某药企研发的一种新药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙名患有该疾病的患者服用了这种药物，则恰有2名患者被治愈的概率为（     ） A． B． C． D． 4．某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（   ） A．30种 B．90种 C．150种 D．180种 5．已知，， ，则（ ） A． B． C． D． 6．若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B．2 C． D． 7．已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（     ） A． B． C．1 D．2 8．若在上单调递增，则实数最大值是（     ） A． B． C．1 D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列说法中正确的是（   ） A．数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1 C．已知 关于的线性回归方程为，则样本点的残差绝对值为1.6 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 10．已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是 C．展开式的各二项式系数和为64 D．展开式的各项系数和为1 11．已知a，b，c都为正整数，且，随机变量，则下列结论正确的有（   ） A．符合条件的a，b，c的解共有组 B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．设展开式的各项系数和为则展开式中的系数为___________. 13．已知甲、乙两个袋子中装有大小和形状完全相同的小球，甲袋中有2个红球2个白球，乙袋中有3个红球2个白球，两个袋子等可能被抽取．先抽取一个袋子，再从抽到的袋子中连续抽取两个球，则从被抽取的一个袋子中先取出1个红球的条件下再取到白球的概率为______． 14．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．在展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值； (2)求含的项的系数； (3)求展开式中系数最大的项． 16（15分）．台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 (1)根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； (2)用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17（15分）．函数． (1)若曲线与在处有相同的切线，求的值； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)求函数的极值。 18（17分）．已知甲手里有3张卡片分别标有数字1，3，5，乙手里也有3张卡片分别标有数字2，4，6，若在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张（不放回），并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，两人共进行三轮比赛． (1)求第一轮甲获胜的概率； (2)在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率； (3)若甲按照卡片数字从小到大出牌，乙随机出牌，三轮比赛结束，求甲的总得分的期望． 19（17分）．已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)当时，确定函数零点的个数； (2)当时，.若对恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省枣庄市2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修第二册（第五章）、选择性必修第三册（全册） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．现有10个样本数据，，，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】根据题意可知，经验回归方程为，且， 因回归直线过样本中心点，可得， 所以原个样本数据的的值总和为， 去掉后，剩余个样本的的值总和为，的值总和为， 因此新的样本中心点为，依题意新的经验回归直线经过点， 故得，解得. 故选：D. 2．已知随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 则常数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】随机变量的所有取值的概率之和等于1，即，解得. 故选：A. 3．某药企研发的一种新药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙名患有该疾病的患者服用了这种药物，则恰有2名患者被治愈的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，运用次独立重复试验中恰好发生次的概率公式求解即可． 【详解】每名患者被治愈的概率均为，且各患者是否被治愈相互独立，该试验属于3重伯努利试验. 根据n重伯努利试验中恰好发生次的概率公式： （其中）， 结合题意得，则有． 故选：B. 4．某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（   ） A．30种 B．90种 C．150种 D．180种 【答案】C 【分析】先得到分配方案有或，分两种情况，结合排列组合知识得到答案 【详解】由已知可得5个人分三个班，每班至少1人，则可能的分配方案有或， 若分配方案为，则分配方案有种， 若分配方案为，则分配方案有种， 则不同分配方式共有种． 故选：C. 5．已知，， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率公式可得出的值，根据，且与互斥，结合互斥事件的概率公式可求得的值，再利用条件概率公式可得出的值. 【详解】由概率乘法公式得：， 又因为，且与互斥，则， 由条件概率公式可得. 故选：D. 6．若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求复合函数的导数，再应用倾斜角得出斜率，计算求参即可. 【详解】因为曲线，所以，， 在处的切线的倾斜角为，则,解得. 故选：C. 7．已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由正态分布以及二次函数的性质求解即可. 【详解】由随机变量X服从正态分布，所以， 又因为，所以， 由对称性可知，即，所以 ， 所以当时，，等号成立时. 故选：A. 8．若在上单调递增，则实数最大值是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】分析可知，恒成立，可知对任意的，，参变量分离得，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，则， 由题意可知对任意的，恒成立， 因为，故只需对任意的，， 参变量分离可得，构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 故函数在上为增函数，所以，即当时，， 由可得，由可得. 所以函数在上递减，在上递增， 所以，故的最大值为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列说法中正确的是（   ） A．数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1 C．已知 关于的线性回归方程为，则样本点的残差绝对值为1.6 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 【答案】ABD 【分析】由第p百分位数的概念计算判断A；由相关系数的概念判断B；由残差的定义计算判断C；由平均数、方差的定义计算判断D. 【详解】对于A，因为， 所以数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5，故A正确； 对于B，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故B正确； 对于C，样本点的残差绝对值为，故C错误； 对于D，新样本数据的平均数为，方差为，故D正确. 故选：ABD. 10．已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是 C．展开式的各二项式系数和为64 D．展开式的各项系数和为1 【答案】ACD 【分析】先利用二项式系数的对称性，根据展开式中只有第四项的二项式系数最大求出的值，再利用展开式通项公式和二项式系数性质逐一计算验证各选项的结论判断正误即可得. 【详解】对A：根据二项式系数的性质：展开式中只有一项二项式系数最大，说明为偶数， 且最大二项式系数对应中间项，则，即，故A正确； 对B：对，有， 令，解得，则， 即展开式中含的项的系数是，故B错误； 对C：二项式系数和为，故C正确； 对D：对，令，有，故展开式的各项系数和为，故D正确. 故选：ACD. 11．已知a，b，c都为正整数，且，随机变量，则下列结论正确的有（   ） A．符合条件的a，b，c的解共有组 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用隔板法，结合已知条件判断选项A，分析X的可能取值，求出相应有序组和对应组数，求出相应概率，进而求出期望，判断选项B，C，利用方差公式结合期望及概率求出选项D． 【详解】已知a，b，c都为正整数，且，随机变量， 利用隔板法，把７个相同的球排成一排，中间６个空隙插入２个隔板， 符合条件的解个数为组，故A正确； 要使最大值为3，需满足，且，其中至少一个等于3， 满足条件的数组和的全排列：,共6组 ，故B正确； 的所有可能取值为3，4，5，对应的组数为： 已求出 ； 时，的排列:,共6组， ; 时，的排列:,共3组， ; 所以期望： ，故C正确； 方差： ，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．设展开式的各项系数和为则展开式中的系数为___________. 【答案】 【分析】由题意可得，可得，然后求出二项式展开式的通项公式，令的次数为1，可求出的值，从而可求得结果 【详解】由题意可得，得， 所以，其展开式的通项公式为 ， 令，得， 所以展开式中的系数为， 故答案为：. 13．已知甲、乙两个袋子中装有大小和形状完全相同的小球，甲袋中有2个红球2个白球，乙袋中有3个红球2个白球，两个袋子等可能被抽取．先抽取一个袋子，再从抽到的袋子中连续抽取两个球，则从被抽取的一个袋子中先取出1个红球的条件下再取到白球的概率为______． 【答案】 【分析】先分别计算从甲袋和乙袋中先取1个红球再取1个白球的概率，再利用全概率公式求出从被抽取的一个袋子中先取出1个红球的概率，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】设事件为“先取出1个红球”，事件为“再取出1个白球”， 故从被抽取的一个袋子中先取出1个红球再取1个白球的概率为， 又从被抽取的一个袋子中先取出1个红球的概率为. 所以从被抽取的一个袋子中先取出1个红球的条件下再取到白球的概率为. 故答案为：. 14．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据函数单调性可得在上有解，即在上有解，令，利用导数求其最大值即可. 【详解】因为，定义域为,所以， 因为存在单调递减区间，所以在上有解， 即在上有解， 令，所以， 所以时，，所以在上单调递增， 时，，所以在上单调递减， 则，所以. 故答案为： . 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．在展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值； (2)求含的项的系数； (3)求展开式中系数最大的项． 【分析】（1）根据二项式系数的比值关系求解n； （2）通过二项展开式通项公式计算含的项的系数； （3）最后通过相邻项系数的比值不等式确定系数最大的项对应的r值，进而求出该项. 【详解】（1）因为二项展开式第项的二项式系数为， 由题意可得：，则 ，解得 （2）因为的展开式通项 ,， 令，解得， 所以含的项的系数： . （3）设展开式中系数最大的项是第项， 则，整理可得，解得， 因为，可得， 所以展开式中系数最大的项是. 16（15分）．台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 (1)根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； (2)用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【分析】（1）计算出卡方，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断即可. （2）利用二项分布的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即有％以上的把握认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关. （2）使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为， 记近视人数为X，显然该类学生近视情况服从二项分布， 可得. 17（15分）．函数． (1)若曲线与在处有相同的切线，求的值； (2)若在上单调递减，求的取值范围； (3)求函数的极值。 【分析】（1）利用与在处的导数值相等求出. （2）求出的导数，由给定区间及单调性建立不等式求解. （3）求导，讨论a的范围，确定函数的单调性，进而求极值。 【详解】（1）由，求导得，由，求导得， 由曲线与在处有相同的切线，而，则，即， 解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意， 所以. （2）函数在上单调递减，则，， 即，，而，当且仅当时取等号，因此， 所以a的取值范围是. (3),, 即 , 当即时， ，函数在上单调递减，所以无极值。 当即时，令得,令得, 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为,无极小值。 18（17分）．已知甲手里有3张卡片分别标有数字1，3，5，乙手里也有3张卡片分别标有数字2，4，6，若在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张（不放回），并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，两人共进行三轮比赛． (1)求第一轮甲获胜的概率； (2)在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率； (3)若甲按照卡片数字从小到大出牌，乙随机出牌，三轮比赛结束，求甲的总得分的期望． 【分析】（1）先确定甲、乙各自选卡片的所有可能结果数，再找出甲卡片数字大于乙的结果数，最后用古典概型概率公式计算； （2）先明确第一轮甲获胜概率，再确定事件“第一轮甲获胜且第二轮甲获胜”包含两种互斥情况，最后用条件概率公式计算； (3)乙的出牌顺序总共有6种，分析每种出牌情况时甲的得分，再结合期望公式求解. 【详解】（1）根据题意:第一轮两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，有种： ， 甲获胜的情况是甲的数字大于乙的数字有3种，所以甲获胜的概率为． （2）设“第一轮甲获胜”为事件，“第二轮甲获胜”为事件， 由(1)可知第一轮甲获胜的概率为，   事件“第一轮甲获胜且第二轮甲获胜”（记为）包含两种情况： 第一轮甲出3胜乙出2且第二轮甲出5胜乙出4；或第一轮甲出5胜乙出4且第二轮甲出3胜乙出2, 每种情况的概率均为，故， 根据条件概率公式． （3）甲的出牌顺序为1，3，5.乙的出牌顺序有. 记甲的总得分为，则可能的取值有:0,1,2. , , , 所以分布列： X 0 1 2 P 所以甲的总得分的期望 19（17分）．已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)当时，确定函数零点的个数； (2)当时，.若对恒成立，求的取值范围. 【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定函数的单调区间，计算最值得到答案. （2）求导，确定的单调性，数形结合确定函数零点的个数； （3）根据必要性得到，得到范围，再证明充分性得到答案. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减. 所以. (2)当时，,定义域是. , 所以当时，,所以函数在上单调递增； 当时，,所以函数在上单调递减， , ，所以函数在内恰有一个零点； , 在内也恰好有一个零点。 综上 ，函数在内共有两个零点。 (3) 当时，，， , ①当时，，所以函数在上单调递增， ,不符合题意； ②当时，, 、当即时，，在在上单调递减，成立。 、当即时，时，，所以函数在上单调递增， 时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意。 综上，所求的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $