山东省2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷03

**基本信息** 本卷聚焦人教A版选择性必修三及导数内容，以AI学习工具、无人快递车等现实情境为载体，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及数据建模能力，适配高二期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、正态分布、回归分析、导数极值|基础题（如集合子集）与能力题（如极值点个数）结合，多选第9题考查逻辑推理| |填空题|3题/15分|不等式求解、概率分布、函数零点|第13题以共享单车为情境，融合古典概型与期望计算，体现数据意识| |解答题|5题/77分|集合综合、统计案例、导数应用、回归模型|第16题设计AI指导方案比较，第18题结合独立性检验与非线性回归，突出数学建模与应用能力|

山东省2026年高二数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修三全册+一轮复习到导数。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则的子集可以是（   ） A． B． C． D． 2．某快递店每天的快递量（单位：个），记T表示200天内快递量介于420至540的天数，则T的均值约为（    ）（附：若随机变量，则，，） A．154 B．164 C．174 D．184 3．已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A．4 B．5 C．6 D．9 4．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 5．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知某旗舰店近五年“十一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 年份代号 成交额万元 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则下列结论正确的是（    ） A．年“十一”黄金周期间该旗舰店的成交额一定为万元 B． C．当时，残差为 D．点一定在经验回归直线上 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．已知 若则 B．已知则 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 10．若，则（    ） A． B． C． D．能被1250整除 11．已知函数，其中，则下列说法正确的是（   ） A．时，函数在上单调递增 B．对任意的实数a，b，既没有最大值，也没有最小值 C．的图象为中心对称图形，且对称中心为 D．若有两个不同的极值点，则a的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式的解为______. 13．天津城市街巷日常出行，共享单车已是随处可见的生活景致．早先市面多见蓝、黄、绿三种素净配色，而今又添粉色、橙色、紫色雅致新色，点缀津城街巷风貌．甲、乙、丙三名学生闲暇出行，在以上6种颜色中各自任选一种颜色，车辆配色充足． （1）已知三人所选单车中有粉色，则三人所选颜色互不相同的概率为________； （2）若限定三人所选单车颜色互不重复，设三人选中暖色系（黄色、粉色、橙色、紫色）单车的个数为随机变量，求数学期望________． 14．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 16．某研究机构随机调查了某校100名高中生最近一个月每周使用某AI学习工具的平均时间（单位：小时），得到如下频率分布表： 使用时间区间（小时） 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 研究发现，使用时间不同的学生在接下来的数学测试中成绩提升显著（分数提高15分以上）的比例不同，使用时间区间在、、、、的学生中成绩显著提升的比例依次为10%、20%、50%、30%、10%.现用表格中的频率估计概率. (1)从该校学生中随机抽取一人，设事件表示“学生使用时间区间在”，事件表示“学生成绩显著提升”，求； (2)若该AI学习工具有三种不同的指导方式，其对应的提升学习效果值如下表： 指导方式 个性化深度指导 标准指导 常规指导 提升学习效果值 8分/人 5分/人 4分/人 现学校提供两种指导方案： 方案Ⅰ：随机选取3名学生，统一提供“标准指导”. 方案Ⅱ：随机选取3名学生，向使用时间区间在的学生提供“个性化深度指导”，向其他学生提供“常规指导”. 设每位学生的使用时间区间相互独立.以随机变量表示方案Ⅰ的总学习效果提升值，表示方案Ⅱ的总学习效果提升值.以期望学习效果提升值最大化为标准，学校应选择哪种指导方案？请说明理由. 17．已知函数，且 (1)求值; (2)求平行于直线且与函数曲线相切的直线方程； (3)若，求函数的单调区间． 18．某车企计划在A 市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查. (1)为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成2×2列联表，并回答：有99%的把握认为无人快递车故障与是否维保有关吗? 维保 未维保 合计 故障 12 40 未故障 合计 120 200 (2)对过去的投放量x (单位：百辆)与服务次数y (单位：万次)的数据进行了统计，得到如下表格： x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 13 32 79 200 501 1259 拟用函数模型或 对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)?并求出y关于x的回归方程. 参考数据： ， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 298.4 1.9 13262 64.4 2 19．已知函数，其导函数为，． (1)求n的值； (2)函数只有一个极值点，求实数m的取值范围； (3)若恒成立，求实数a的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2026年高二数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修三全册+一轮复习到导数。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则的子集可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再计算集合与的交集，最后逐一判断各选项是否为该交集的子集. 【详解】，所以，ABC选项均不符合题意； 选项D，因为，所以是的子集，正确. 2．某快递店每天的快递量（单位：个），记T表示200天内快递量介于420至540的天数，则T的均值约为（    ）（附：若随机变量，则，，） A．154 B．164 C．174 D．184 【答案】B 【分析】由正态曲线的性质求解即可． 【详解】依题意，得，， 则 ， 所以估计200天内快递量介于420至540的天数大约是：. 3．已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由求出，再分别由求出，由期望公式求出，最后由期望性质求出. 【详解】由题意可得，解得或（舍去）. 因为，， 所以， 则. 4．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 5．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 6．已知某旗舰店近五年“十一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 年份代号 成交额万元 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则下列结论正确的是（    ） A．年“十一”黄金周期间该旗舰店的成交额一定为万元 B． C．当时，残差为 D．点一定在经验回归直线上 【答案】C 【分析】先计算平均数，再由回归直线经过样本中心得，判断B；由回归直线方程求得预测值即可判断A；由回归方程求出预测值，计算残差值即可判断C；将点坐标代入回归直线方程即可判断D. 【详解】 因，， 因为必过样本中心点，则有，解得. 对于A：年对应，代入得，但该预测值不是确定值，故A错误； 对于B：计算得，故B错误； 对于C：当时，实际值，预测值，残差，故C正确； 对于D：时，点为即，代入回归方程得， 故点不在回归直线上，故D错误. 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过，确定是最小的，然后通过变换，，构造函数，利用导数求解函数的单调性，从而确定的大小，从而得到答案. 【详解】，，， 又，，令，则， 当时，，单调递减， 所以，即， 所以，所以，所以， 又，．所以，所以，故A正确. 8．已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对函数求导，运用导数的零点来判断函数的极值点. 【详解】 化简得，令 ， 即 ，令， ， 令，则， 令，则，故在定义域内单调递增； 又因为，； 因此，使， 故在内单调递减，在内单调递增， 当时，，故时，， ， 同理得时，， ， 且 ， 故， 因此，在内，单调递增，在内，单调递减，在内单调递增， ， ， ， ， 故在，，区间分别有一个零点， 因此函数的极值点个数有3个. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．已知 若则 B．已知则 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【详解】选项A：由，得. 因为，所以 ，即. 所以，，即，.故A不正确. 选项B：设，，则，. 由，得，. 所以，. 由得，. 由得，. 所以，.故B正确. 选项C：当时，恒成立； 当时，要使得不等式对一切实数恒成立，则需要满足： ，解得，. 综上所述，的取值范围为.故C项不正确. 选项D：因为函数的定义域为，所以，函数的定义域满足: ，解得，. 则函数的定义域为.故D项正确. 10．若，则（    ） A． B． C． D．能被1250整除 【答案】BCD 【分析】利用赋值法求解二项展开式的各类系数和，结合整除概念判断选项正误即可. 【详解】选项A：令，代入等式得，故A错误. 选项B：令，代入得， 移项得，故B正确. 选项C：因的展开式通项为， 依题意，，则当为奇数时，，当为偶数时，. 令得，故C正确. 选项D：令得， 故，能被1250整除，故D正确。 11．已知函数，其中，则下列说法正确的是（   ） A．时，函数在上单调递增 B．对任意的实数a，b，既没有最大值，也没有最小值 C．的图象为中心对称图形，且对称中心为 D．若有两个不同的极值点，则a的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用导数分析的单调性，判断A；当时，根据的单调性，判断最值，当时，根据及的取值情况分析的值域可判断B；求出的对称中心，判断C；由导数易知，当时，函数无极值点，当时，由有两个不同的极值点，得有两个不同实根，分离参数，并构造函数， 根据函数的奇偶性，并由解析式直接判断的单调性，可得其值域，从而求得的取值范围. 【详解】函数的定义域为，. 选项A：当时，，，所以， 所以函数在上单调递增，所以A正确； 选项B：当时，恒成立，函数在上单调递增， 所以既没有最大值，也没有最小值； 当时，，， 所以，所以既没有最大值，也没有最小值. 所以B正确； 选项C：因为 ， 所以关于对称，所以C错误； 选项D：因， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值点； 当时，若有两个不同的极值点，则有两个不同的实根； 令，得. 当时，方程不成立，所以不是方程的根； 所以当时，有两个不等实根. 令， 则，且， 所以是偶函数. 当时，，且函数单调递增；单调递增，由复合函数的性质可得单调递增， 则，且单调递增，则，且单调递增； 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以，解得,所以D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式的解为______. 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法进行求解即可. 【详解】且， 所以原不等式的解集为 13．天津城市街巷日常出行，共享单车已是随处可见的生活景致．早先市面多见蓝、黄、绿三种素净配色，而今又添粉色、橙色、紫色雅致新色，点缀津城街巷风貌．甲、乙、丙三名学生闲暇出行，在以上6种颜色中各自任选一种颜色，车辆配色充足． （1）已知三人所选单车中有粉色，则三人所选颜色互不相同的概率为________； （2）若限定三人所选单车颜色互不重复，设三人选中暖色系（黄色、粉色、橙色、紫色）单车的个数为随机变量，求数学期望________． 【答案】 2 【分析】根据条件概率公式计算可填第一空；根据超几何分布的期望公式计算可填第二空. 【详解】设事件：三人所选颜色互不相同；事件：三人所选单车中有粉色，， 每人从6种颜色中任选一种，总基本事件数：， 事件的对立事件：三人都不选粉色，每人有5种选择：， 则 ， 事件：所选单车包含粉色，且三人颜色互不相同， 需从余下5种颜色中选取2种，再对3种颜色进行全排列： ， 因此：，即三人所选颜色互不相同的概率为； 以上六种颜色中，暖色系共4种，冷色系共2种，从6种颜色中不放回选取3种， 该随机变量服从超几何分布，其中 ． 则． 14．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】对函数分和进行讨论，最后结合分析求出实数的取值范围. 【详解】函数恰有个零点，等价于方程恰有个不同实根，分和讨论： 时，； 设为时方程的解的个数； 当时，，且，可得； 当时，，且，可得； 令，当，恒成立， 故在区间上单调递增，值域为，但当时，的值域为； 令，当，恒成立， 故在区间上单调递减，值域为，但当时，的值域为； 因此：当时，方程有唯一解，满足条件，而的解不满足条件； 当时，两分支重合于，得一个解； 当时，方程有唯一解，满足条件，而的解不满足条件； 故对任意实数，部分恒有； 当时，方程等价于两个二次方程： ①，判别式恒正，两根之积； 若，两根均为正，在上无根； 若，一根为，另一根为，在上有1个根； 若，两根异号，恰有一个负根； ②，判别式恒正，两根之积； 若，两根异号，恰有一个负根； 若，一根为，另一根为，在上有2个根； 若，两根均为负，有个根； 两方程无公共根；设为时方程的解的个数，则： ：， ： ： 总交点个数，要求等于，故，解得； 综上的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【详解】（1）由，即，解得， 所以， 由，即，显然， 解得， 又， 当时， 所以； （2），，， ，解得，则，满足， 所以； （3）因为， 所以或，又，， 所以或，解得或． 所以的取值范围是或． 16．某研究机构随机调查了某校100名高中生最近一个月每周使用某AI学习工具的平均时间（单位：小时），得到如下频率分布表： 使用时间区间（小时） 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 研究发现，使用时间不同的学生在接下来的数学测试中成绩提升显著（分数提高15分以上）的比例不同，使用时间区间在、、、、的学生中成绩显著提升的比例依次为10%、20%、50%、30%、10%.现用表格中的频率估计概率. (1)从该校学生中随机抽取一人，设事件表示“学生使用时间区间在”，事件表示“学生成绩显著提升”，求； (2)若该AI学习工具有三种不同的指导方式，其对应的提升学习效果值如下表： 指导方式 个性化深度指导 标准指导 常规指导 提升学习效果值 8分/人 5分/人 4分/人 现学校提供两种指导方案： 方案Ⅰ：随机选取3名学生，统一提供“标准指导”. 方案Ⅱ：随机选取3名学生，向使用时间区间在的学生提供“个性化深度指导”，向其他学生提供“常规指导”. 设每位学生的使用时间区间相互独立.以随机变量表示方案Ⅰ的总学习效果提升值，表示方案Ⅱ的总学习效果提升值.以期望学习效果提升值最大化为标准，学校应选择哪种指导方案？请说明理由. 【答案】(1) (2)应选方案Ⅱ，理由见解析 【分析】（1）利用全概率公式和条件概率公式求解. （2）对于方案Ⅰ，求出，设方案Ⅱ下抽取的3名学生中使用时间在区间的人数为，得到服从二项分布，即，利用二项分布的公式求出.得到的大小，从而得到结论. 【详解】（1）由题可知，，， 所以， 由全概率公式可得：， 所以. （2）对于方案Ⅰ，总提升值为确定值，故. 设方案Ⅱ下抽取的3名学生中使用时间在区间的人数为， 由题可知，服从二项分布，即， 所以. 又因为， 所以， 因为， 所以根据期望学习效果提升值最大化的标准，学校应选方案Ⅱ. 17．已知函数，且 (1)求值; (2)求平行于直线且与函数曲线相切的直线方程； (3)若，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)， (3)单调递增区间为和；单调递减区间 【分析】（1）求导，令，得到，再结合即可求解； （2）设切点，由导数的几何意义求得切点坐标，即可求解； （3）求导，由，即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 对求导： ； 令，得； 整理得： ； 故； 又， 代入中， ， 得； （2）由（1）； 求导； 直线的斜率； 设切点，因为平行直线， 所以；，或 当时切点，切线 当时切点，切线 故切线方程为：和； （3）； ； 令则，； 当或时，单调递增 当时；单调递减 单调递增区间为和；单调递减区间. 18．某车企计划在A 市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查. (1)为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成2×2列联表，并回答：有99%的把握认为无人快递车故障与是否维保有关吗? 维保 未维保 合计 故障 12 40 未故障 合计 120 200 (2)对过去的投放量x (单位：百辆)与服务次数y (单位：万次)的数据进行了统计，得到如下表格： x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 13 32 79 200 501 1259 拟用函数模型或 对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)?并求出y关于x的回归方程. 参考数据： ， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 298.4 1.9 13262 64.4 2 【答案】(1)列联表见解析；有99%的把握认为无人快递车故障与是否维保有关 (2)选择更适宜，回归方程为 【分析】（1）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断； （2）根据题意应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解； 【详解】（1）由题意得： 维保 未维保 合计 故障 12 28 40 未故障 108 52 160 合计 120 80 200 所以， 所以有99%的把握认为无人快递车故障与是否维保有关； （2）选择更适宜， 由，所以， 令，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即，所以， 所以关于的回归方程为：. 19．已知函数，其导函数为，． (1)求n的值； (2)函数只有一个极值点，求实数m的取值范围； (3)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，根据已知得、，化简整理即可求； （2）根据已知有，利用分类讨论及导数研究其极值点求参数范围； （3）问题化为研究恒成立，应用导数研究右侧的最大值，即可得. 【详解】（1）由题设， ，， ，则， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）因为，所以， 则，， 当时，，则在上单调递增，所以函数不存在极值； 当时，令，即，得， 令，则恒成立，则在上单调递增， 又，所以存在唯一的，使得， 当时，，即，所以函数在上单调递减， 当时，，即，所以函数在上单调递增， 所以仅在处取到极小值，符合题意. 综上，函数只有一个极值点时，实数的取值范围为； （3）令，则， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，则，即， 由，则，即， 令，则， 因为，故，所以，即，故实数的取值范围为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $