山东枣庄市2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟卷2

**基本信息** 立足人教A版必修二，以立体几何、概率统计、向量等核心知识为载体，通过地铁流量统计、高考改革关注调查等现实情境及正方体、圆锥等空间模型，考查数学眼光（空间观念、数据意识）与数学思维（运算能力、推理能力）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数方程、向量运算、正方体体积、数据统计|第4题结合地铁流量数据，考查平均数、众数、分位数，体现数据意识| |多选题|3/18|复数性质、向量分解、解三角形|第11题解三角形多选项设计，考查推理能力与知识综合应用| |填空题|3/15|独立事件概率、向量分解、四棱锥距离|第14题四棱锥距离计算，需空间建模，考查空间观念| |解答题|5/77|复数综合、解三角形、统计概率、立体几何|第17题高考改革关注调查，结合频率分布直方图与分层抽样概率，体现数据观念；第19题立体几何证明与二面角求解，考查空间想象与推理能力|

山东省枣庄市2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版必修二（全册）。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知复数是方程的一个根，则实数，的值分别是（    ） A．12，26 B．24，26 C．12，0 D．6，8 2．已知平面向量的夹角为60°，，则＝（   ） A．4 B． C． D． 3．如图，在棱长为2的正方体中，点，，，分别是棱，，，的中点，则多面体的体积为（     ） A． B．2 C． D． 4．某市一地铁线路共设置10个车站。为了测算通行流量，对每一站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（    ） A．125 B．170 C．165 D．135 5．投掷两枚骰子，分别得到点数a，b，向量与向量的夹角为锐角的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知平面平面，对于平面和直线m，下列说法正确的是（    ） A．若l∥，则∥，β∥ B．若l⊥，则⊥，β⊥ C．若l∥m，则m∥，m∥β D．若l⊥m，则m⊥，m⊥β 7．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，点是底面圆周上的一点，，点是的中点，，若该圆锥的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，若，且，则能取到的值有（    ） A．2 B． C． D．4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知复数，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D． 10．已知等边三角形内接于，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 11．在中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（ ） A．一定不是锐角三角形 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 D．若是直角三角形且，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．相互独立事件，满足，，则________． 13．如图，在中，点D是边BC的中点，E在边AC上，且，若，，则_____．    14．在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．已知复数，其中，是虚数单位。 (1)若,，求实数b的值； (2)若，是关于的方程（）的一个复根，求，的值； (3)若，求的最大值。 16（15分）．在中，内角的对边分别为，已知. (1)若的面积为3，求的值； (2)设，，且， （ⅰ）求的值; （ⅱ）若求c的值。 17（15分）．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 18（17分）．设的内角对应的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分. 19（17分）．是正三角形，线段和都垂直于平面.设，且F为的中点，如图. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求平面与平面所成锐二面角的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省枣庄市2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版必修二（全册）。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知复数是方程的一个根，则实数，的值分别是（    ） A．12，26 B．24，26 C．12，0 D．6，8 【答案】A 【分析】复数是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q的值. 【详解】因为是方程的一个根，所以， 即，所以，解得。 故选：A. 2．已知平面向量的夹角为60°，，则＝（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积及向量的模计算即可. 【详解】因为平面向量的夹角为60°，＝2，＝1， 而， 所以． 故选：C 3．如图，在棱长为2的正方体中，点，，，分别是棱，，，的中点，则多面体的体积为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】使用大正方体的体积减去两个三棱锥和两个三棱台的体积即可求解. 【详解】由题意得, , , . . 故选：D 4．某市一地铁线路共设置10个车站。为了测算通行流量，对每一站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（    ） A．125 B．170 C．165 D．135 【答案】B 【分析】利用公式可求平均数和90%分位数，再求出众数后可得所求的和. 【详解】这组数据的平均数为， 而，故90%分位数， 众数为，故三者之和为， 故选：B. 5．投掷两枚骰子，分别得到点数a，b，向量与向量的夹角为锐角的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量夹角公式可得，向量与向量的夹角为锐角得到，利用列举法和古典概型即可得到所求概率. 【详解】设向量与向量的夹角为，则， 又因为向量与向量的夹角为锐角，则； 可知，投掷两枚骰子，分别得到点数，，样本空间为：,. 把满足的事件记为，则有： ,, 则向量与向量的夹角为锐角的概率. 故选：C. 6．已知平面平面，对于平面和直线m，下列说法正确的是（    ） A．若l∥，则∥，β∥ B．若l⊥，则⊥，β⊥ C．若l∥m，则m∥，m∥β D．若l⊥m，则m⊥，m⊥β 【答案】B 【分析】由空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由平面平面， 对于A中，若，则与的关系可能平行，也可能相交，故A错误； 对于B中，若，由面面垂直的判定，可得，故B正确； 对于C中，若，则或或，故C错误； 对于D中，若，则与的关系可能平行，可能相交，也可能在其中一个平面内，相交也不一定垂直，故D错误. 故选：B. 7．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，点是底面圆周上的一点，，点是的中点，，若该圆锥的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，作于点，连接，确定是异面直线与所成角或其补角，再结合余弦定理即可求解. 【详解】 设圆锥的底面半径长为，母线长为， 因为圆锥侧面积，又，所以，, 如图，连接，作于点，连接， 因为，所以是异面直线与所成角或其补角. ， 因为，，所以为等边三角形， 又，所以， 所以， 因为为的中点，是的中点， 所以，又平面，所以平面， 又平面，所以，所以 在中，由余弦定理：， 故选：A. 8．在锐角中，若，且，则能取到的值有（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由得到，再根据正弦定理将化简整理可得，由为锐角三角形得到，根据正弦定理可得，最后结合两角差的正弦公式、辅助角公式即可求解. 【详解】由， 又，所以，则. 因为， 根据正弦定理得， 故，即， 所以，即， 根据正弦定理得，所以， 因为为锐角三角形，且， 所以，即， 解得， 所以 ， 因为，所以，则， 所以，即. 故选： D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知复数，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，在复平面内对应的点为，位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误， 故选：BC. 10．已知等边三角形内接于，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用平面向量线性运算法则，结合等边三角形外心与重心重合的性质，将用不同基底表示，逐一验证选项. 【详解】选项A、B：等边三角形中，为中点，外心在中线上， 且满足，因此，是中点，故. 则 ，故A正确、B错误； 选项C、D：由,故C正确、D错误. 故选：AC. 11．在中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（ ） A．一定不是锐角三角形 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 D．若是直角三角形且，则 【答案】ABC 【分析】利用余弦定理得出，A，C中有一个是直角或钝角，可判断A，然后再结合余弦定理判断BC，由C是直角求得B，进而判断D. 【详解】对A，由余弦定理得， 又，所以，即，所以中有一个是直角或钝角，不是锐角三角形，A正确； 对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角， 所以，B正确； 对C，若角是锐角，则，由选项A知，即，又，所以，， 所以，C正确； 对D，若是直角三角形，则由选项A知角A,C中有一个是直角， 若，又，则，不是，D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．相互独立事件，满足，，则________． 【答案】 【详解】由对立事件的性质得，则，解得， 已知事件，相互独立，则，解得． 故答案为： . 13．如图，在中，点D是边BC的中点，E在边AC上，且，若，，则_____．    【答案】20 【分析】利用数量积的运算律得出，再计算即可. 【详解】由，得， 而E在边AC上，且，, 所以. 故答案为：. 14．在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为_______. 【答案】 【分析】利用线面角的定义求得，进而求得，再利用线面垂直的判定与性质定理证 得平面，从而得解. 【详解】在平面中过作，垂足为， 因为平面，所以为与平面所成角，则， 又平面，所以，， 又，所以，，， 因为，则， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离，即所求为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．已知复数，其中，是虚数单位。 (1)若,，求实数b的值； (2)若，是关于的方程（）的一个复根，求，的值； (3)若，求的最大值。 【分析】（1）利用复数共轭相乘的运算规则，算出后，结合已知等式列方程求解； （2）先把代入求出，再通过分母实数化化简得到复根，将其直接代入一元二次方程，展开分离实部与虚部，利用复数相等条件列方程组，进而解出和的值； (3)根据复数模的几何意义可求的最大值。 【详解】（1）由，复数的共轭复数， 所以由得：， ,解得：即 . （2）当时，，化简. 因为是方程的根. 所以将直接代入方程：. 展开计算得 整理得. 所以解得. (3) , 根据复数的减法及模的几何意义知：复数z对应的点在以点为圆心，以1为半径的圆上。 表示点到原点的距离，,. 16（15分）．在中，内角的对边分别为，已知. (1)若的面积为3，求的值； (2)设，，且， （ⅰ）求的值; （ⅱ）若求c的值。 【分析】（1）据同角的平方关系和三角形面积公式计算可得，结合平面向量数量积的定义即可求解； （2）（ⅰ）根据平面垂直向量的坐标表示，结合三角恒等变换的化简计算即可求解. （ⅱ）根据正弦定理可求。 【详解】（1），，则， 的面积为，， 因此； （2）（ⅰ），，且， 所以，， 即，. ， ， ， 故. （ⅱ）由（ⅰ）知 , , , 据 得 . 17（15分）．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； （2）平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 第3组的3名分别记为，第4组的2名分别记为， 则从这5名中选取2名作重点发言的样本空间为： ,, 记“至少有一人在第4组”，则： ,, 所以至少有一人的年龄在内的概率为 . 18（17分）．设的内角对应的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分. 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可求解， （2）选①，根据正弦定理边角互化得，即可根据余弦定理求解，由面积公式即可求解，选②，根据余弦定理求解三角形不唯一，选③，根据和差角公式可得,即可根据正弦定理求解，由面积公式即可求解. 【详解】（1），由正弦定理,得， 在中，，，. （2）若选①，则 由余弦定理，得，即, 解得,此时是唯一的。 . 若选条件②：由可得，解得，此时三角形不唯一， 若选③，，故, 由正弦定理可得：，此时是唯一的。 所以的面积。 19（17分）．是正三角形，线段和都垂直于平面.设，且F为的中点，如图. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求平面与平面所成锐二面角的大小. 【分析】（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理即可证明； （2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明； （3）延长ED交AC延长线于G′，连BG′，只要证明BG′⊥平面ABE即可得到∠ABE为所求的平面BDE与平面ABC所成二面角，在等腰直角三角形ABE中即可得到． 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点G，连接. ∵，， 又，，，， ∴四边形为平行四边形， 故. ∵平面平面， ∴平面. （2）证明：∵平面，∴. 又是正三角形，∴，, ∴平面,平面AEB, ∴. 又∵，∴. 又，F为中点，∴.又， ∴平面,平面BDE, ∴. （3）延长交延长线于，连接,则平面平面. 由，知C、D分别为,的中点， ∴. , ,由（2）知：平面, 平面, ∴为平面与平面所成二面角的平面角. 在等腰直角三角形中，易求. 所以平面与平面所成锐二面角的大小为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $