山东潍坊市2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟卷（人教B版）

**基本信息** 覆盖三角函数、平面向量、解三角形核心模块，通过基础题（如向量投影计算）、综合题（如布洛卡点证明）、应用题为（缉私船追截问题）梯度设计，考查数学抽象、运算推理及建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|诱导公式、向量数量积、三角函数对称性|基础概念辨析，难度0.62-0.85| |多选题|3/15|三角形面积、三角函数性质、布洛卡点|创新情境（布洛卡点），考查逻辑推理| |填空题|3/15|向量共线、正弦定理、辅助角公式|简洁计算，覆盖高频考点| |解答题|5/80|向量垂直、解三角形、三角函数图像变换、几何模型|综合应用（如扇形动点面积），结合实际问题（缉私船追截），体现数学建模与运算能力|

山东省潍坊市高一数学下学期期末模拟卷（原卷版）（人教B版） 考试范围：三角函数、平面向量、解三角形 考试时间 120分钟 满分 150分 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知两个单位向量与的夹角为，设，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 3．已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．4 C． D．8 5．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 6．已知曲线向右平移个单位长度得到曲线，则（ ） A． B． C． D． 7．已知角的大小如图所示，则（    ） A． B．5 C． D． 8．三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．8 C． D． 二、多选题 9．在中，，，，则（    ） A． B．的面积为 C． D． 10．函数，则（    ） A．的值域为 B．的周期 C．若，当取得最大值时， D．当为奇函数时， 11．在中，角的对边分别为，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是（   ） A． B．若为等边三角形，则其布洛卡角 C．若，则 D．若，，则的最小值为 三、填空题 12．若，若，则实数=__________. 13．在中，若，则角____________． 14．函数的最大值为________． 四、解答题 15．已知向量 (1)若，求的值及的模； (2)在（1）的条件下，是否存在实数，使得与垂直. 16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)已知的外接圆的圆心为O，半径．作角的平分线交于，，求的面积； 17．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 18．如图，在海岸A处发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间． 19．已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为,将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的解析式，并写出函数单调递减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数 在内恰有6个零点，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年6月14日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D C D A D ACD AC 题号 11 答案 ABC 1．D 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由题意得： . 2．B 【难度】0.82 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【详解】根据题意可得， 则． 3．A 【难度】0.82 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式 【分析】由题意可知函数在处取最值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为是函数的对称轴， 所以函数在处取最值， 所以， 解得， 所以当时，， 当时，， 故只有A选项满足. 4．D 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】根据投影向量的运算公式进行求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 5．C 【难度】0.82 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【详解】由题设，同理， 所以. 6．D 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由函数平移方法及诱导公式即可求解． 【详解】由题得，． 7．A 【难度】0.85 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、由终边或终边上的点求三角函数值、万能公式 【分析】由图中的信息可知 ，化简 即可. 【详解】由图可知， ， ； 故选：A. 8．D 【难度】0.62 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用向量解决线段的长度问题 【分析】先求出三边边长，再根据中线向量可求中线的长度. 【详解】由正弦定理有， 设，其中，则， 故，故， 所以，设边上的中线为，则， 则 ， 故. 9．ACD 【难度】0.7 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量减法的运算律、数量积的运算律 【分析】利用三角形同角三角函数可判断A，利用余弦定理及三角形面积公式可判断B，利用向量的运算性质及数量积的运算规律可判断C、D. 【详解】因为，且，所以，A正确； 由余弦定理得，解得， 故，B错误； ，C正确； ，D正确. 10．AC 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由题意知，再结合三角函数性质判断各选项即可得答案. 【详解】对于A，由题意知：， 其中，则的值域为，故A正确； 对于B,对于的最小正周期为，故B错误； 对于C，若，， 当取得最大值时，，即， 所以，故C正确； 对于D，当为奇函数时，，即， 所以，故D错误. 11．ABC 【难度】0.35 【知识点】证明三角形中的恒等式或不等式、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】先利用三角形内角和与诱导公式，证明A选项；再结合等边三角形的对称性与正弦定理，求解B选项的布洛卡角；接着对、用正弦定理，结合正弦定理的边角关系推导出C选项的比例式；最后利用余弦定理和均值不等式分析D选项的最值，得出D错误． 【详解】对于A，因为，所以， 而，所以，即， 所以，A正确； 对于B，因为为等边三角形，， 所以，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 所以，又，所以，，B正确； 对于C，在中，，即， 在中，，即， 所以，由正弦定理得， 因为，所以，即，C正确； 对于D，由，可得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的最小值为，D错误． 12．或 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【详解】由已知可得,即,解得或. 13． 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理及辨析 【详解】在中，根据正弦定理， 代入已知条件， 得， 整理得，， 又， 由三角形边角关系可知， ， 又， 故角. 14．/ 【难度】0.7 【知识点】辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】结合辅助角公式计算即可得. 【详解】由，则，即， 即，则，即， 解得，故函数的最大值为. 15．(1)， (2)不存在 【难度】0.82 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算求得，进而利用向量的坐标运算求得，进而求模即可； （2）结合（1）利用向量的坐标运算求得的坐标，进而利用向量数量积的坐标运算求得的值. 【详解】（1）由， 则，得. 即，所以， 所以； （2）在（1）的条件下可知： ， 与垂直，所以， 解得， 但时，为零向量， 又因为零向量与任意向量均平行，所以与不垂直， 所以不存在实数使得与垂直. 16．(1) (2)（i）； 【难度】0.44 【知识点】余弦定理解三角形、数量积的运算律、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再由余弦定理得，即可求解； （2根据题意，得到，由，求得，再由余弦定理，得到，设，得到，求得，结合面积公式，即可求解； 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得，整理得， 又由余弦定理得， 又因为，所以. （2）解：（ⅰ）因为的外接圆的圆心为O，且半径， 所以， 又因为为角的平分线，可得， 因为，且， 可得， 所以，即， 又由余弦定理得， 即， 设，则，代入可得，即， 解得或（舍去），所以， 所以的面积为. 17．(1)， (2) (3) 【难度】0.55 【知识点】几何中的三角函数模型、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式 【分析】（1）利用三角函数定义结合图形即可求得； （2）利用（1）中结论列式即得； （3）借助三角恒等变换公式可用表示出平行四边形面积，结合范围与正弦函数的性质即可得解. 【详解】（1）由图知，在中，，， 在中，易得，则，则， 所以； （2）； （3）若，由题意可得， 则 ， 由于，故， 则，所以， 所以平行四边形面积的取值范围为． 18．缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时 【难度】0.62 【知识点】角度测量问题、几何图形中的计算、距离测量问题 【详解】设缉私船应沿方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则海里，海里， 在中，由余弦定理，有． 海里．又， ， ，∴B点在C点的正东方向上， ， 在中，由正弦定理，得， ． ，∴缉私船沿北偏东的方向行驶． 又在中，，，， ，即． 小时． ∴缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时． 19．(1)， (2) (3)或 【难度】0.51 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、正弦函数图象的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据条件，确定函数的最值，周期，求函数的解析式； （2）首先求，再根据三角恒等变换求函数的解析式，再根据正弦函数的性质求最值； （3）首先根据二倍角公式，转化为关于的二次函数，再令，得，再根据复合函数的零点个数，求的取值范围. 【详解】（1）由题意，最小正周期，则， 由，可得 又，所以，，所以， 令，,解得：，， 所以函数的单调递减区间是. （2）由题意得， ， 所以的最小值为，当，即； （3）， 令，可得，令，得， 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且，故异号， 不妨设， 若，则，无解，在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意， 此时； 若在有4个零点，故在内应恰有2个零点， ，此时， 综上所述，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省潍坊市高一数学下学期期末模拟卷（评分标准）（人教B版） 考试范围：三角函数、平面向量、解三角形 考试时间 120分钟 满分 150分 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由题意得： . 2．已知两个单位向量与的夹角为，设，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【详解】根据题意可得， 则． 3．已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式 【分析】由题意可知函数在处取最值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为是函数的对称轴， 所以函数在处取最值， 所以， 解得， 所以当时，， 当时，， 故只有A选项满足. 4．已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】根据投影向量的运算公式进行求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 5．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【详解】由题设，同理， 所以. 6．已知曲线向右平移个单位长度得到曲线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由函数平移方法及诱导公式即可求解． 【详解】由题得，． 7．已知角的大小如图所示，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】万能公式、由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由图中的信息可知 ，化简 即可. 【详解】由图可知， ， ； 故选：A. 8．三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用向量解决线段的长度问题 【分析】先求出三边边长，再根据中线向量可求中线的长度. 【详解】由正弦定理有， 设，其中，则， 故，故， 所以，设边上的中线为，则， 则 ， 故. 二、多选题 9．在中，，，，则（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.7 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量减法的运算律、数量积的运算律 【分析】利用三角形同角三角函数可判断A，利用余弦定理及三角形面积公式可判断B，利用向量的运算性质及数量积的运算规律可判断C、D. 【详解】因为，且，所以，A正确； 由余弦定理得，解得， 故，B错误； ，C正确； ，D正确. 10．函数，则（    ） A．的值域为 B．的周期 C．若，当取得最大值时， D．当为奇函数时， 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由题意知，再结合三角函数性质判断各选项即可得答案. 【详解】对于A，由题意知：， 其中，则的值域为，故A正确； 对于B,对于的最小正周期为，故B错误； 对于C，若，， 当取得最大值时，，即， 所以，故C正确； 对于D，当为奇函数时，，即， 所以，故D错误. 11．在中，角的对边分别为，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是（   ） A． B．若为等边三角形，则其布洛卡角 C．若，则 D．若，，则的最小值为 【答案】ABC 【难度】0.35 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、证明三角形中的恒等式或不等式 【分析】先利用三角形内角和与诱导公式，证明A选项；再结合等边三角形的对称性与正弦定理，求解B选项的布洛卡角；接着对、用正弦定理，结合正弦定理的边角关系推导出C选项的比例式；最后利用余弦定理和均值不等式分析D选项的最值，得出D错误． 【详解】对于A，因为，所以， 而，所以，即， 所以，A正确； 对于B，因为为等边三角形，， 所以，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 所以，又，所以，，B正确； 对于C，在中，，即， 在中，，即， 所以，由正弦定理得， 因为，所以，即，C正确； 对于D，由，可得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的最小值为，D错误． 三、填空题 12．若，若，则实数=__________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【详解】由已知可得,即,解得或. 13．在中，若，则角____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理及辨析 【详解】在中，根据正弦定理， 代入已知条件， 得， 整理得，， 又， 由三角形边角关系可知， ， 又， 故角. 14．函数的最大值为________． 【答案】/ 【难度】0.7 【知识点】辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】结合辅助角公式计算即可得. 【详解】由，则，即， 即，则，即， 解得，故函数的最大值为. 四、解答题 15．已知向量 (1)若，求的值及的模； (2)在（1）的条件下，是否存在实数，使得与垂直. 【答案】(1)， (2)不存在 【难度】0.82 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算求得，进而利用向量的坐标运算求得，进而求模即可； （2）结合（1）利用向量的坐标运算求得的坐标，进而利用向量数量积的坐标运算求得的值. 【详解】（1）由， 则，得.。。2分 即，所以， 所以；。。6分 （2）在（1）的条件下可知： ， 与垂直，所以， 解得，.。。9分 但时，为零向量， 又因为零向量与任意向量均平行，所以与不垂直， 所以不存在实数使得与垂直.。。。13分 16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)已知的外接圆的圆心为O，半径．作角的平分线交于，，求的面积； 【答案】(1) (2)（i）； 【难度】0.44 【知识点】余弦定理解三角形、数量积的运算律、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再由余弦定理得，即可求解； （2根据题意，得到，由，求得，再由余弦定理，得到，设，得到，求得，结合面积公式，即可求解； 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得，整理得，。。3分 又由余弦定理得， 又因为，所以.。。。。6分 （2）解：（ⅰ）因为的外接圆的圆心为O，且半径， 所以，。。。8分 又因为为角的平分线，可得， 因为，且， 可得， 所以，即，。。。。10分 又由余弦定理得， 即， 设，则，代入可得，即，。。。11分 解得或（舍去），所以，。。13分 所以的面积为.。。。15分 17．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.55 【知识点】几何中的三角函数模型、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式 【分析】（1）利用三角函数定义结合图形即可求得； （2）利用（1）中结论列式即得； （3）借助三角恒等变换公式可用表示出平行四边形面积，结合范围与正弦函数的性质即可得解. 【详解】（1）由图知，在中，，， 在中，易得，则，则， 所以；.。。5分 （2）；。。。8分 （3）若，由题意可得， 则 ，。。。11分 由于，故， 则，所以， 所以平行四边形面积的取值范围为．。。。15分 18．如图，在海岸A处发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间． 【答案】缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时 【难度】0.62 【知识点】距离测量问题、几何图形中的计算、角度测量问题 【详解】设缉私船应沿方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则海里，海里， 在中，由余弦定理，有．。。2分 海里．又， ，，。。。5分 ，∴B点在C点的正东方向上，。。。。8分 ，。。。10分 在中，由正弦定理，得， ．。。。12分 ，∴缉私船沿北偏东的方向行驶． 又在中，，，， ，即．。。。。。。15分 小时． ∴缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时．。。17分 19．已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为,将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的解析式，并写出函数单调递减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数 在内恰有6个零点，求的值. 【答案】(1)， (2) (3)或 【难度】0.51 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、正弦函数图象的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据条件，确定函数的最值，周期，求函数的解析式； （2）首先求，再根据三角恒等变换求函数的解析式，再根据正弦函数的性质求最值； （3）首先根据二倍角公式，转化为关于的二次函数，再令，得，再根据复合函数的零点个数，求的取值范围. 【详解】（1）由题意，最小正周期，则， 由，可得 又，所以，，所以，。。。3分 令，,解得：，， 所以函数的单调递减区间是.。。5分 （2）由题意得， ，。。7分 所以的最小值为，当，即；。。9分 （3）， 令，可得，令，得，。。。11分 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且，故异号，。。。13分 不妨设， 若，则，无解，在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意， 此时；。。。。。15分 若在有4个零点，故在内应恰有2个零点， ，此时， 综上所述，或．。。。17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省潍坊市高一数学下学期期末模拟卷（解析版）（人教B版） 考试范围：三角函数、平面向量、解三角形 考试时间 120分钟 满分 150分 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由题意得： . 2．已知两个单位向量与的夹角为，设，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【详解】根据题意可得， 则． 3．已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式 【分析】由题意可知函数在处取最值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为是函数的对称轴， 所以函数在处取最值， 所以， 解得， 所以当时，， 当时，， 故只有A选项满足. 4．已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】根据投影向量的运算公式进行求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 5．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【详解】由题设，同理， 所以. 6．已知曲线向右平移个单位长度得到曲线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由函数平移方法及诱导公式即可求解． 【详解】由题得，． 7．已知角的大小如图所示，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】万能公式、由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由图中的信息可知 ，化简 即可. 【详解】由图可知， ， ； 故选：A. 8．三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用向量解决线段的长度问题 【分析】先求出三边边长，再根据中线向量可求中线的长度. 【详解】由正弦定理有， 设，其中，则， 故，故， 所以，设边上的中线为，则， 则 ， 故. 二、多选题 9．在中，，，，则（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.7 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量减法的运算律、数量积的运算律 【分析】利用三角形同角三角函数可判断A，利用余弦定理及三角形面积公式可判断B，利用向量的运算性质及数量积的运算规律可判断C、D. 【详解】因为，且，所以，A正确； 由余弦定理得，解得， 故，B错误； ，C正确； ，D正确. 10．函数，则（    ） A．的值域为 B．的周期 C．若，当取得最大值时， D．当为奇函数时， 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由题意知，再结合三角函数性质判断各选项即可得答案. 【详解】对于A，由题意知：， 其中，则的值域为，故A正确； 对于B,对于的最小正周期为，故B错误； 对于C，若，， 当取得最大值时，，即， 所以，故C正确； 对于D，当为奇函数时，，即， 所以，故D错误. 11．在中，角的对边分别为，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是（   ） A． B．若为等边三角形，则其布洛卡角 C．若，则 D．若，，则的最小值为 【答案】ABC 【难度】0.35 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、证明三角形中的恒等式或不等式 【分析】先利用三角形内角和与诱导公式，证明A选项；再结合等边三角形的对称性与正弦定理，求解B选项的布洛卡角；接着对、用正弦定理，结合正弦定理的边角关系推导出C选项的比例式；最后利用余弦定理和均值不等式分析D选项的最值，得出D错误． 【详解】对于A，因为，所以， 而，所以，即， 所以，A正确； 对于B，因为为等边三角形，， 所以，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 所以，又，所以，，B正确； 对于C，在中，，即， 在中，，即， 所以，由正弦定理得， 因为，所以，即，C正确； 对于D，由，可得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的最小值为，D错误． 三、填空题 12．若，若，则实数=__________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【详解】由已知可得,即,解得或. 13．在中，若，则角____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理及辨析 【详解】在中，根据正弦定理， 代入已知条件， 得， 整理得，， 又， 由三角形边角关系可知， ， 又， 故角. 14．函数的最大值为________． 【答案】/ 【难度】0.7 【知识点】辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】结合辅助角公式计算即可得. 【详解】由，则，即， 即，则，即， 解得，故函数的最大值为. 四、解答题 15．已知向量 (1)若，求的值及的模； (2)在（1）的条件下，是否存在实数，使得与垂直. 【答案】(1)， (2)不存在 【难度】0.82 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算求得，进而利用向量的坐标运算求得，进而求模即可； （2）结合（1）利用向量的坐标运算求得的坐标，进而利用向量数量积的坐标运算求得的值. 【详解】（1）由， 则，得. 即，所以， 所以； （2）在（1）的条件下可知： ， 与垂直，所以， 解得， 但时，为零向量， 又因为零向量与任意向量均平行，所以与不垂直， 所以不存在实数使得与垂直. 16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)已知的外接圆的圆心为O，半径． 作角的平分线交于，，求的面积； 【答案】(1) (2)（i）； 【难度】0.44 【知识点】余弦定理解三角形、数量积的运算律、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再由余弦定理得，即可求解； （2（ⅰ）根据题意，得到，由，求得，再由余弦定理，得到，设，得到，求得，结合面积公式，即可求解； 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得，整理得， 又由余弦定理得， 又因为，所以. （2）解：（ⅰ）因为的外接圆的圆心为O，且半径， 所以， 又因为为角的平分线，可得， 因为，且， 可得， 所以，即， 又由余弦定理得， 即， 设，则，代入可得，即， 解得或（舍去），所以， 所以的面积为. 17．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.55 【知识点】几何中的三角函数模型、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式 【分析】（1）利用三角函数定义结合图形即可求得； （2）利用（1）中结论列式即得； （3）借助三角恒等变换公式可用表示出平行四边形面积，结合范围与正弦函数的性质即可得解. 【详解】（1）由图知，在中，，， 在中，易得，则，则， 所以； （2）； （3）若，由题意可得， 则 ， 由于，故， 则，所以， 所以平行四边形面积的取值范围为． 18．如图，在海岸A处发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间． 【答案】缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时 【难度】0.62 【知识点】距离测量问题、几何图形中的计算、角度测量问题 【详解】设缉私船应沿方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则海里，海里， 在中，由余弦定理，有． 海里．又， ， ，∴B点在C点的正东方向上， ， 在中，由正弦定理，得， ． ，∴缉私船沿北偏东的方向行驶． 又在中，，，， ，即． 小时． ∴缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时． 19．已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为,将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的解析式，并写出函数单调递减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数 在内恰有6个零点，求的值. 【答案】(1)， (2) (3)或 【难度】0.51 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、正弦函数图象的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据条件，确定函数的最值，周期，求函数的解析式； （2）首先求，再根据三角恒等变换求函数的解析式，再根据正弦函数的性质求最值； （3）首先根据二倍角公式，转化为关于的二次函数，再令，得，再根据复合函数的零点个数，求的取值范围. 【详解】（1）由题意，最小正周期，则， 由，可得 又，所以，，所以， 令，,解得：，， 所以函数的单调递减区间是. （2）由题意得， ， 所以的最小值为，当，即； （3）， 令，可得，令，得， 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且，故异号， 不妨设， 若，则，无解，在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意， 此时； 若在有4个零点，故在内应恰有2个零点， ，此时， 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $