综合与实践-”勾股定理“证明中的中国智慧-课件2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的中国古代证明，从《周髀算经》历史背景切入，通过刘徽、赵爽、李善兰的证明方法，搭建“历史情境—图形操作—面积推理”的学习支架，衔接直角三角形性质与面积转化知识。 其亮点在于融合历史文化与数学探究，通过青朱出入图拼接、赵爽弦图制作等活动培养几何直观和空间观念，借助全等三角形证明、等面积法推理发展推理意识，用字母表示线段体现符号意识。学生能感受数形结合魅力，教师可依托丰富案例提升教学生动性。

综合与实践 “勾股定理”证明中的中国智慧 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX. 中文： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）. 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 背景介绍 勾股定理是人类伟大的科学发现，有十分悠久的历史，是几何中的一个基本定理. 我国对这一数学定理的认识和应用，可以追溯到公元前一千多年. 据《周髀算经》记载，早在周朝初期，商高回答周公关于天高地广的问题时，曾说:“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五.”也就是“将矩尺折成一个直角三角形，其中短边（勾）长3单位，长边（股）长4单位，斜边（径）长5单位”. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 2 背景介绍 现如今，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用在天体测距、建筑测高等活动中，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 3 背景介绍 勾股定理的证明，吸引了来自不同时代、不同文化的无数才智之士，发展出数百种风格迥异的证明方法，让一代代数学家与数学爱好者为之孜孜不倦. 在这片百花齐放的园地中，中国历代数学家的贡献独树一帜. 让我们一同欣赏其中的几种经典方法. 刘徽 赵爽弦图 李善兰 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 4 活动探究 刘徽(约225-约295)的证明 活动 1 古人将直角三角形的直角边（长）分别记为勾和股，斜边记为弦，则勾股定理可表示为： 5 问题提出 如何证明勾股定理呢？ 可以考虑公式中平方的几何意义. 分别以勾、股、弦为边作正方形 问题 转化 思想 正方形1 正方形3 正方形2 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 6 问题讨论 如何证明面积相等呢？ 问题 无法直接拼合. 正方形1 正方形2 正方形3 可以尝试将正方形1和正方形2拆成小块拼入正方形3中. 将正方形1和正方形2填入正方形3中. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 7 问题讨论 如何找到一种合适的拼接方式呢？ 真是一种巧妙的构造方式. 问题 操作要求： 1、勾自乘为朱方，股自乘为青方； 2、令出入相补，各从其类； 3、因就其余不移动也，合成弦方之幂； 4、开方除之，即弦也. 刘徽在对《九章算术》“勾股”章注解中为我们提供了一种特殊的拼接方式，请同学们操作尝试. 朱方 青方 朱出 朱入 青出 青入 青入 青出 青朱出入图 朱方+青方=弦方 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 8 反思小结 在上述操作过程中，出入相补是什么意思？ 我认为“出入相补”就是“先分后合”. “出”就是分割，“入”就是通过平移实现拼接. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 9 反思小结 在上述图形的运动中隐藏怎样的全等关系? 朱出与朱入（一对三角形）、青出与青入（两对三角形）全等. 全等三角形的证明，请同学们在课后自行完成. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 10 智慧结晶 在刘徽的证明方法中蕴藏着怎样的中国智慧？ 刘徽把勾股定理的证明变成了一场“看得见”的图形游戏，不仅严谨，而且操作性强. 刘徽的证明方法 方法 图形 特点 适用性 利用出入相补和图形拼合 简洁直观、操作性强 几何味浓、可视性强 适合演示与动手操作 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 11 活动探究 赵爽(约3世纪)的证明 活动 2 右图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会（ICM）的会标，会标中央是类似纸质风车的几何图案，以鲜艳的色彩、动态的造型，吸引了参会数学家的目光. 12 活动探究 右图所示的这个几何图案最早由中国古代数学家赵爽(约3世纪)所画，他在为《周髀算经》作注解时，称自己根据《周髀算经》的文字内容画了一组图，用来说明早期古人是如何观测天象的，并称这组图为“勾股圆方图”，其中第一幅就是如图所示的(赵爽)弦图. 13 问题提出 我们能否借助赵爽弦图证明勾股定理呢？ 大正方形面积等于小正方形面积加上四个直角三角形面积. 问题 蓝色四边形和白色四边形一定是正方形吗? 操作：制作四个全等的直角三角形，将四个直角三角形拼成如图所示的四边形. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 14 问题讨论 为了证明方便，设勾、股、弦的长分别设为 a、b、c. 说理 四条边都相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形. 四个直角三角形全等 四边形边长都等于c 其余三个角都等于90° 四边形边长都等于c 蓝色四边形为正方形 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 15 问题讨论 能否进一步证明勾股定理呢？ 观察图形，可以发现： 即 化简，得 等面积法 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 16 反思小结 弦图方法和出入相补方法哪种更加简捷? 弦图方法是出入相补方法的特殊情况吗? 出入相补方法是弦图方法的特殊情况吗? 不是. 因为出入相补得到的大正方形没有空缺. 不是. 因为弦图方法没有用到先分后合. 我认为弦图方法更简捷. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 17 智慧结晶 在赵爽的证明方法中蕴藏着怎样的中国智慧？ 赵爽挥剪，四朱绕黄，方寸间移形换位，勾股和即弦方；不借一字，已令数形合一，中华割补智慧，尽凝于此图. 刘徽的证明方法 赵爽的证明方法 方法 利用割补术和图形拼合 特点 图形运动、操作性强 适用性 适合演示与动手操作 利用全等三角形和等面积法 数形结合、逻辑性强 适合推理 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 18 活动探究 李善兰(1811-1882)的证明 活动 3 李善兰是清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，翻译了8种共80多卷科学书籍，其中尤以和伟烈亚力（英国人，Alexander Wylie）合作翻译的欧几里得《几何原本》后九卷最为著名. 他自幼研读《九章算术》，又对西方近代数学思想有深刻的理解和掌握，提出了第一个以中国学者命名的数学公式李善兰恒等式. 19 活动探究 李善兰在弦图的基础上，分别添加以a和b为边长的两个正方形，得到以a、b、c为边长的三个正方形. 20 问题提出 我们能否借助该图形证明勾股定理呢？ 将a2、 b2、 c2理解为正方形的面积. 通过出入相补转化图形面积. 证明 . 问题转化： 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 21 问题探究 a2、 b2、 c2 分别表示哪个正方形的面积？ a2：红框正方形面积 b2：绿框正方形面积 c2：蓝框正方形面积 转化思想 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 22 问题探究 根据活动1的经验，如何通过出入相补，用红框和绿框正方形部分填满蓝框正方形部分？ 红框正方形 绿框正方形 黄色部分 未在蓝框正方形中部分 已在蓝框正方形中部分 紫色部分 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 23 问题探究 在图形旋转的过程中，有3对全等三角形. 能否将紫色部分的直角三角形通过平移、旋转、翻折等方式，填入蓝框正方形中？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 24 问题探究 为了方便证明，先对图形标上字母. 可以证明这三对直角三角形全等吗？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 25 问题探究 分析： 其余两对三角形全等通过类似方法可以得到，请同学们课后进行证明. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 26 反思小结 李善兰的方法和前面两种方法完全不同吗? 李善兰的方法和前面两种方法是什么关系? 从弦图出发，运用出入相补原理证明结论. 我认为不是. 李善兰的方法结合了前两种方法. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 27 智慧结晶 在李善兰的证明方法中蕴藏着怎样的中国智慧？ 李善兰用符号化释放了几何的代数潜能，用全等结构为经验披上逻辑铠甲，更用融合视角打破了“中西古今”的二元对立. 主动引入字母表示线段，将几何关系直接转化为代数恒等式，代数意识更加明显； 引入全等三角形作为中介，明确构造辅助线，通过“边角边”“角角边”等判定定理，将面积关系转化为三角形对应边关系； 整合中国传统“割补思想”与西方“全等三角形”方法，体现中国传统方法可通过现代逻辑焕发新生. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 28 归纳小结 刘徽的证明方法 出入相补 赵爽弦图证明法 等面积法 李善兰的证明方法 弦图+出入相补 三个活动的证明方法本质相同，都是通过对平面图形先分再合，拼出新图形，利用面积相等证明勾股定理. 这种数形结合的思想区别于欧几里得公理体系，是中国古代数学文献中的“出入相补”，展现了中国智慧. 29 收获分享 学习了本节课后，你有什么收获想要分享？ 我体会到“出入相补”的图形智慧，把抽象公式化为可视拼接，惊叹古人用面积守恒破解真理，激发我继续探索数形结合之美. 动手间见千年智慧：分割、平移、重组，勾股定理在面积守恒中悄然成立.我悟到，中国先贤以形写数，化繁为简，激励我继续用创造的眼光探索数学. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 30 问题拓展 还有没有其他“出入相补”的证明方式？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 31 结束语 中国古代数学的研究方法是从研究具体问题入手，从简明的事实得出深刻的结论，总结成简洁的原理和一般的方法．这种寓理于算、不证自明的方法完全是构造性和机械化的，可以据此编成程序在计算机上实现．正是这些简单明了而应用广泛的原理形成了中国古代数学的独特风格． —— 吴文俊（数学家） 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 32 Audio generated by ttsmaker.cn null 3024.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 4800.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 2304.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 6960.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 2664.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 3744.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 3672.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 3168.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 8208.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 5232.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 5688.0 同理，中间白色四边形四角均为直角，并且边长均等于，所以白色四边形为正方形. Audio generated by ttsmaker.cn null 35040.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 28008.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 2448.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 5136.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 5712.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 12240.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 5328.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 3744.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 20304.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 22464.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 4848.0 求证：、、. 求证：、、. Audio generated by ttsmaker.cn null 4680.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 4848.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 10416.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 11160.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 8208.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 10872.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 16752.0 $