精品解析：甘肃兰州市学府致远学校2025-2026学年八年级下学期阶段测试数学试卷（6月）

兰州市学府致远学校2025-2026学年第二学期 八年级月考试卷数学 （本试卷满分 120分 ，时间120分钟） 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1. 在日常生活中，有的汉字是轴对称图形．下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 2. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 4. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察函数图象，写出直线在上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由题意得：不等式表示函数的图象在函数图象上方的部分， 由图可知：该不等式的解集为：． 5. 某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，恰好互相垂直， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：A． 6. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2）， 可得方程180°（n﹣2）=1080°， 解得：n=8． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据题意列出一元一次方程． 7. 小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱兰州 B. 爱兰州 C. 我爱数学 D. 兰州数学 【答案】A 【解析】 【分析】先对多项式提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解，根据各因式对应密码得到最终信息，选出正确选项，正确分解因式是解题关键. 【详解】解：∵， 又∵ ∴ 根据题意，对应关系为：我，爱，州，兰， 因此结果呈现的密码信息可能为我爱兰州. 8. 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可． 【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得： ， 故选：C． 9. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（　　） A. 20° B. 15° C. 12.5° D. 10° 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形、等边三角形和三角形内角和定理可以得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，AD＝DC， ∵△CDE是等边三角形， ∴DE＝DC，∠EDC＝60°， ∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形、等边三角形和三角形内角和定理的综合应用，灵活运用有关性质求解是解题关键． 10. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解以及解不等式，先求得方程的解，再把转化成关于的不等式，求得的取值范围，注意． 【详解】方程两边都乘以，得：， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：D． 11. 如图，在中，是的中线，与相交于点O，点F、G分别是的中点，连接．若，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理，即可得出结果. 【详解】解：由题意，为的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴四边形的周长. 二．填空题（共4小题，每小题3分） 12. 分解因式：=__________________． 【答案】x（y+5）（y﹣5）． 【解析】 【详解】试题分析：提取公因式后，利用平方差公式分解即可．原式=x（y2﹣25）=x（y+5）（y﹣5）． 故答案是x（y+5）（y﹣5）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 13. 若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，先确定分式方程的增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘最简公分母，得， 因为分式方程有增根，所以最简公分母，即增根为， 将代入整式方程，得， 即， 解得． 故答案为：2． 14. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在边上，且，若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可以求出，根据三角形内角和定理和等腰三角形的 性质可以求出，根据三角形外角的性质可以求出． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，在中，，，，P为边上任一点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先证明四边形是矩形，得到，根据垂线段最短，可得当时，最小，再结合，即可求得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小， 即当时，最小． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 三．解答题（共11小题） 16. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的应用，熟练掌握不等式组解集的求法是解题关键． 先分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”，求出两个解集的公共部分即可． 【详解】解： 由不等式①解得 由不等式②解得 所以不等式组的解集是：． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，在方程两边同乘以化为整式方程，求解后再进行检验即可．掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：， 在方程两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 19. 如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】由，得，由得，可证，可得，即可证明． 【详解】略 20. 如图，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD． （1）求证：OE＝OF； （2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点， ∴AO=CO，AD∥BC， ∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE=OF； （2）9 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AO=CO，AD∥BC，则∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，即可证明△AOE≌△COF得到OE=OF； （2）由（1）得OE=OF=3.5，得到EF=7，再由AD∥BC，EF⊥AD，得到EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，即可利用平行四边形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得OE=OF=3.5， ∴EF=7， ∵AD∥BC，EF⊥AD， ∴EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高， ∵四边形ABCD的面积为63， ∴， ∴AD=9． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 21. 为了加深对矩形的判定方法的掌握，某兴趣小组研究了下面的命题，请完成以下作图和填空： （1）尺规作图：在上取一点D，使得，连接，作的角平分线分别与相交于点E，F；（不写作图，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，已知，若F为中点，求证：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵F是中点 ∴①______ ∵ ∴ 在与中 ， ∴ ∴ ∵且平分 ∴， ∴ 又∵ ∴四边形是③______， 又∵ ∴四边形是矩形． 【答案】（1） （2）①，②，③平行四边形 【解析】 【分析】（1）以为圆心，为半径，作弧与交于，连接，，再由角平分线的作法作图即可； （2）先利用中点性质和两直线平行的内错角相等，证明，再依据等腰三角形的三线合一性质得到，进而推出四边形是平行四边形，最后证得四边形是矩形． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 22. 如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个如图②所示的长方形． （1）上述操作能验证的等式是__________；（填序号） ①；②；③． （2）根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】（1）② （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意，将前后两个图形的面积表示出来即可 ； （2）根据平方差公式即可求出答案 ． 【小问1详解】 解：图①中，边长为的正方形的面积为：， 边长为的正方形的面积为：， 图①的阴影部分为面积为：， 图②中长方形的长为：， 长方形的宽为：， 图 2 长方形的面积为：， ∴验证的等式是， 故答案为：②； 【小问2详解】 解：①根据（1）中等式得： ， ， ； ②原式 ． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景， 掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 23. 机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 【答案】（1）A型每小时搬运，B型每小时搬运 （2）至少购进A型机器人14台 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验． （1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运，根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等”列分式方程，即可求解； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时． 答：A型每小时搬运，B型每小时搬运； 【小问2详解】 解：设购进A型a台，B型台，由题意得： ， 解得，， ∵a为整数， ∴a的最小值为14， 答：至少购进14台A型机器人． 24. 如图，在中，，过点作的平行线与的延长线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证明四边形是平行四边形，进而证明，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）设与交于点，根据平行四边形的性质求出，根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，设与交于点， 四边形是平行四边形， ， ∵四边形是菱形， ，，， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键． 25. 如果两个分式和满足（为整数），则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，，满足，则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”． （1）已知分式，，判断，是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． （2）已知“兄弟分式”，，分式为分式的“信度值”是，求（用含的代数式表示）； （3）已知，均为非零实数，分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为，求分式的值． 【答案】（1），是“兄弟分式”，信度值 （2） （3）或 【解析】 【分析】根据题目中定义的“兄弟分式”和“信度值”列式进行求解， （1）计算，观察结果是否为整数即可判断，是否为“兄弟分式”，求解的值； （2）列式，即可解得； （3）列式或，分别解得与的关系式，代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴，是“兄弟分式”，信度值； 【小问2详解】 解：∵分式为分式的“信度值”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为， ∴，或， ∴由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入中， 则有； 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入中， 则有． 26. 综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． （1）【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； （3）【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校2025-2026学年第二学期 八年级月考试卷数学 （本试卷满分 120分 ，时间120分钟） 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1. 在日常生活中，有的汉字是轴对称图形．下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 4. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱兰州 B. 爱兰州 C. 我爱数学 D. 兰州数学 8. 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（　　） A. 20° B. 15° C. 12.5° D. 10° 10. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 11. 如图，在中，是的中线，与相交于点O，点F、G分别是的中点，连接．若，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共4小题，每小题3分） 12. 分解因式：=__________________． 13. 若关于x的分式方程有增根，则________． 14. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在边上，且，若，则的度数为_________． 15. 如图，在中，，，，P为边上任一点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为______． 三．解答题（共11小题） 16. 解不等式组 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．求证：． 20. 如图，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD． （1）求证：OE＝OF； （2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长． 21. 为了加深对矩形的判定方法的掌握，某兴趣小组研究了下面的命题，请完成以下作图和填空： （1）尺规作图：在上取一点D，使得，连接，作的角平分线分别与相交于点E，F；（不写作图，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，已知，若F为中点，求证：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵F是中点 ∴①______ ∵ ∴ 在与中 ， ∴ ∴ ∵且平分 ∴， ∴ 又∵ ∴四边形是③______， 又∵ ∴四边形是矩形． 22. 如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个如图②所示的长方形． （1）上述操作能验证的等式是__________；（填序号） ①；②；③． （2）根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 23. 机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 24. 如图，在中，，过点作的平行线与的延长线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 25. 如果两个分式和满足（为整数），则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，，满足，则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”． （1）已知分式，，判断，是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． （2）已知“兄弟分式”，，分式为分式的“信度值”是，求（用含的代数式表示）； （3）已知，均为非零实数，分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为，求分式的值． 26. 综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． （1）【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； （3）【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $