精品解析：甘肃省兰州市学府致远学校2024-2025学年八年级下学期阶段性考试数学试卷（一）

兰州市学府致远学校 2024—2025学年度第二学期阶段性考试（一） 八年级数学试卷 （本试卷满分120分，时间120分钟） 一、单选题（每小题3分，共33分） 1. 下列各组图形的变化中，属于平移的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式是一元一次不等式组的是（ ） A. B. C. D. 3. 某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 在平面直角坐标系中，已知点，则将点向右平移4个单位后，它的坐标变为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A B. C. D. 6. 若，则下列不等式成立是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线MN交AB于点D，连结．若，，则的周长为（　　） A. B. C. D. 8. “双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共个，购买资金不超过元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球元，每个排球元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图：，，，若，则DF等于（ ） A. 10 B. 8 C. 12 D. 6 10. 若不等式组的解集为，则的值为（ ） A B. 0 C. 1 D. 2025 11. 如图，中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点E，F，点D是边的中点，点M是线段上一动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（每小题3分，共12分） 12. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 13. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米． 14. 若不等式组无解，则m的取值范围是 ________． 15. 如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为(3a，a＋10)，则a＝________． 三、解答题（共75分） 16. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示． 17. 解不等式组：，将解集在数轴上表示，并求出所有整数解的和． 18. 将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，求点的坐标． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）再将向下平移3个单位长度得到，请画出，并求出由一次性平移到的距离． 20. 某学校八年级共甲、乙两个班，为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额． （1）求每个足球和篮球的价格； （2）若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不超过460元，该校八年级最多购买了多少个足球？ 21. 如图，在中，，平分，交于点D，过点D作于点E． （1）求证：； （2）若E是的中点，，求的长． 22. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 23. 甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为x元，其中． （1）当x取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？ （2）五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 24. 数学课上，老师出示了如下框中的题目． 如图1，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： 【特殊情况，归纳猜想】 (1)当点为中点时，如图．确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： (填“”，“”或“”)． 【特例启发，推理证明】 (2)如图3，当点为边上任意一点时，小敏和小聪认为中的结论仍然成立，所以他们尝试过点作，交于点．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪书写完整证明过程． 25. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为因为，所以，方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是 ；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可） （3）若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m得取值范围． 26. 从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 　　　　　　　　　　 　　　 【模型应用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点逆时针旋转得线段，求点C的坐标． （2）如图3，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A、B． ①过点B在y轴右侧作，且，连接，则的面积为 ； ②当a的取值变化时，点A随之在x轴上运动．如图4，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值是 ． 【模型拓展】 （3）如图5，在中，，，分别以、为直角边，点为直角顶点，在两侧作等腰直角和等腰直角，连接，交的延长线于点，则的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 兰州市学府致远学校 2024—2025学年度第二学期阶段性考试（一） 八年级数学试卷 （本试卷满分120分，时间120分钟） 一、单选题（每小题3分，共33分） 1. 下列各组图形的变化中，属于平移的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质，结合图形，选出正确答案． 【详解】解：各组图形中，选项A中的图形是一个图形经过平移能得到另一个图形， 故选：A． 2. 下列各式是一元一次不等式组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键. 根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可 【详解】解：A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、 是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、 不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根据数轴即可求解，掌握不等式组的解集为各不等式解集的公共部分是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，该不等式组的解集为， 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，已知点，则将点向右平移4个单位后，它的坐标变为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规律回答即可． 【详解】解：将点向右平移4个单位，则点的横坐标增加4， ， 点的坐标变为， 故选：B. 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，掌握点的平移规律是解题的关键． 5. 如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是直角三角形的全等的判定，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）． 直接根据直角三角形的全等的判定方法可得答案． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：B． 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式性质，不等式两边加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、若，则，故选项不成立，不符合题意； B、若，则，故选项不成立，不符合题意； C、若，则，故选项不成立，不符合题意； D、若，则，故选项成立，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线MN交AB于点D，连结．若，，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，三角形的周长，根据作图过程可知，是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的作法及性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图过程可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 故选：． 8. “双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共个，购买资金不超过元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球元，每个排球元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式组的实际应用，解题关键是理解不超过为小于等于，不少于为大于等于． 设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过元，可得， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可得， 则可列不等式组为． 故选：． 9. 如图：，，，若，则DF等于（ ） A. 10 B. 8 C. 12 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过D作DM⊥AC，根据直角三角形的性质可得DMDE，再由DE∥AB可得∠BAD＝∠ADE＝15°，进而可得AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质可得DF＝DM，进而可得答案． 【详解】解：过D作DM⊥AC， ∵∠DAE＝∠ADE＝15°， ∴∠DEC＝30°，AE＝DE， ∵AE＝12， ∴DE＝12， ∴DM＝6， ∵DE∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE＝15°， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF＝DM＝6． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 10. 若不等式组的解集为，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由不等式组的解集求参数，已知字母的值求代数式的值，先分别化简得，，再结合不等式组的解集为，求出，，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：由，得 由，得， 由不等式组的解集为， ∵， ∴，， 解得， ∴ 故选：C． 11. 如图，中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点E，F，点D是边的中点，点M是线段上一动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】连接， ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点M在线段上时，的值最小， ∴的最小值为． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共12分） 12. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 13. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米． 【答案】50 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BD于点D，根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BD于点D， 根据题意得：∠B=30°， ∵AD⊥BD，， ∴米， 即这名滑雪运动员的高度下降了50米． 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 14. 若不等式组无解，则m的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的解集，熟记解集的口诀“大大限较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小，无处找”是解题的关键． 根据“大大小小，无处找”即可作答． 【详解】解：∵不等式组无解， ． 故答案为：． 15. 如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为(3a，a＋10)，则a＝________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据作图方法可知点C在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点C到x轴和y轴的距离相等，结合点C在第一象限，可得关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点C， ∴点C在∠BOA的角平分线上， ∴点C到x轴和y轴的距离相等， 又∵点C在第一象限，点C坐标为（3a，a+10）， ∴3a=a+10， ∴a=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示． 【答案】，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得． 解不等式，得， 所以原不等式组解集为． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ． 17. 解不等式组：，将解集在数轴上表示，并求出所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为；数轴表示见解析； 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集以及求整数解之和，解题的关键是正确求解每个不等式并确定不等式组的解集． 先分别求解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，然后在数轴上表示解集，最后找出整数解并求其和． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为， 数轴表示为： 不等式组的所有整数解为， 所有整数解之和为． 18. 将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，求点的坐标． 【答案】点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移变换，解题的关键是掌握点在平移过程中横、纵坐标的变化规律（右移横坐标加，下移纵坐标减）． 根据平移规律，写出点P平移后得到的的坐标表达式；通过对应坐标相等列出关于m和n的方程，求解得到m和n的值，进而确定点Q的坐标． 【详解】解：∵点向右平移1个单位长度，横坐标变为；再向下平移3个单位长度，纵坐标变为 ∴平移后得到的点的坐标为，． 又∵平移后得到点 ∴且． 由解得． ∴点的坐标为． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）再将向下平移3个单位长度得到，请画出，并求出由一次性平移到的距离． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，5 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据平移的性质画出图形，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 由一次性平移到的距离． 20. 某学校八年级共甲、乙两个班，为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额． （1）求每个足球和篮球的价格； （2）若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不超过460元，该校八年级最多购买了多少个足球？ 【答案】（1）每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元； （2）该校八年级最多购买了6个足球． 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设每个足球和篮球的价格分别为元，元，根据图形提供的等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设八年级购买了个足球，则购买了个篮球，根据消费金额不超过460元列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每个足球和篮球的价格分别为元，元， 由题意得，， 解得， 答：每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元； 【小问2详解】 解：设八年级购买了个足球，则购买了个篮球． 由题意得，， 解得， 的最大值为6， 答：该校八年级最多购买了6个足球． 21. 如图，在中，，平分，交于点D，过点D作于点E． （1）求证：； （2）若E是的中点，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）8 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，含有角的直角三角形的性质，理解角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． （1）证明和全等即可得出结论； （2）证明是的垂直平分线得，则，再根据得，然后在中，根据可得出的长，进而可得的长． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴设， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点E是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 22. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； 【小问2详解】 解：在中，令，得， ∴． 在中，令，得， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 23. 甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为x元，其中． （1）当x取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？ （2）五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 【答案】（1）当时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同 （2）当时，选择甲商场更省钱；当时，选择乙商场更省钱 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程与不等式在实际购物优惠问题中的应用，解题的关键是根据甲、乙两商场的收费规则分别列出实际花费的表达式，再通过方程求解花费相同的情况，通过不等式分析更省钱的选择． （1）根据甲、乙商场的收费方式列出实际花费的表达式，令两者相等建立方程，求解方程得到x的值； （2）分别比较当甲商场花费小于、大于乙商场花费时x的取值范围，从而确定不同情况下的最优选择． 小问1详解】 解：根据题意，甲商场的实际花费为元；乙商场的实际花费为元． 令甲、乙两商场的实际花费相同，则： 展开右边式子： 化简得： 即： 解得： 答：当时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同； 【小问2详解】 解：当甲商场花费更少时， 化简得：即解得 当乙商场花费更少时， 化简得：解得 当时，选择甲商场更省钱；当时，选择乙商场更省钱． 24. 数学课上，老师出示了如下框中的题目． 如图1，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： 【特殊情况，归纳猜想】 (1)当点为的中点时，如图．确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： (填“”，“”或“”)． 【特例启发，推理证明】 (2)如图3，当点为边上任意一点时，小敏和小聪认为中的结论仍然成立，所以他们尝试过点作，交于点．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪书写完整证明过程． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识， （1）先由等边三角形的性质得到，，再证出，即可得出结论； （2）作交于．证明，推出，即可得出． 【详解】解：（1）是等边三角形，点为的中点， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）与的大小关系是：，理由如下： 如图2，过点作，交于点． 则，，， ，， 等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 25. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为因为，所以，方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是 ；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可） （3）若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m得取值范围． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查新定义，解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力． （1）分别解不等式组和解一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断； （2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得； （3）解不等式组得出，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【小问1详解】 解：解不等式组得：， 方程①的解为；方程②的解为；方程③的解为， 不等式组的关联方程是①， 故答案为：①； 【小问2详解】 解：解不等式组得：， 所以不等式组的整数解为， 则该不等式组的关联方程为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为． 方程的解为， 方程的解为， 所以的取值范围是． 26. 从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 　　　　　　　　　　 　　　 【模型应用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点逆时针旋转得线段，求点C的坐标． （2）如图3，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A、B． ①过点B在y轴右侧作，且，连接，则的面积为 ； ②当a的取值变化时，点A随之在x轴上运动．如图4，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值是 ． 【模型拓展】 （3）如图5，在中，，，分别以、为直角边，点为直角顶点，在两侧作等腰直角和等腰直角，连接，交的延长线于点，则的长为 ． 【答案】（1）点C的坐标为 （2）①2；②2 （3）3 【解析】 【分析】（1）过点作于，则，由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）①过点作于，则．由全等三角形的性质得，即可求解； ②由三角形的三边关系得，则当、、共线时，，的长最小，根据等腰直角三角形的性质即可求解； （3）过点作于，同理得．由全等三角形的性质得，，再证．即可得． 【详解】解：（1）过点作于， ， 将线段绕点逆时针旋转得线段， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）①如图3，过点作于， 一次函数的图象与坐标轴分别交于点、， ， ， 同（1）得， ， ， 故答案为：2； ②如图4，连接， ， 当、、共线时，，的长最小，如图， ，， ， 长的最小值是 2． 故答案为：2； （3）如图5，过点作于， 是等腰直角三角形， ， 同理得， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$