期末真题百练通关（98题31大常考题型）-2025-2026学年数学七年级下册人教版期末复习

**基本信息** 聚焦初中数学期末31大常考题型，98道真题覆盖几何基础、代数运算及统计应用，以题载知，构建从概念理解到综合应用的逻辑体系，培养运算能力、空间观念与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何基础|题型1-4、23-25|概念辨析、性质应用、平移计算|从相交线/平行线定义到性质判定，结合平移实际应用，形成空间观念| |代数运算|题型5-16、19-22、26-30|概念理解、方程(组)解法、不等式应用|从平方根/立方根概念到实数运算，衔接方程与不等式的实际建模，强化运算能力| |统计应用|题型17-18、31|调查方法、图表分析|从统计调查方法到统计图解读，培养数据意识与应用能力|

期末真题百练通关（98题31大常考题型） 选填题 题型1相交线 题型10二元一次方程组的概念 题型2平行线 题型11解二元一次方程组 题型3定义、命题、定理 题型12实际问题与二元一次方程组 题型4平移的认识 题型13解三元一次方程组 题型5平方根的认识 题型14不等式的认识 题型6立方根的认识 题型15一元一次不等式的认识 题型7实数及其简便 运算 题型16一元一次不等式组的认识 题型8用坐标描述平面内点的位置 题型17统计调查的方法 题型9坐标方法的简单应用 题型18统计图的认识 解答压轴题（计算+解答） 题型19解一元一次不等式计算 题型26平方根的实际应用 题型20解一元一次不等式组的计算 题型27立方根的实际应用 题型21解二元一次方程组 题型28平面直角坐标系解决坐标问题 题型22解三元一次方程组 题型29用二元一次方程组解决问题 题型23相交线的实际问题 题型30用一元一次不等式解决问题 题型24平行线在实际问题中的应用 题型31统计图的认识积实际应用 题型25平移的实际应用 题型1相交线 1．如图，，，，是线段上的动点，则，两点之间的距离可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】点是线段上的动点，根据垂线段最短以及的长，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，，，点是线段上的动点， ∴， ． 从选项可知，只有B符合题意． 2．新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据定义，分类画图求解即可； 【详解】解：如图，根据题意，得， ， ， ； 如图，根据题意，得， ， ， ； 故的度数为或； 3．如图，直线相交于一点，，则______度． 【答案】70 【分析】根据，可求出的度数，根据对顶角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是对顶角，故原说法正确； ②与是同旁内角，故原说法正确； ③与是邻补角，不是内错角，故原说法错误； ④与是同位角，故原说法正确； ⑤与不是同旁内角，故原说法错误． 故正确的是①②④． 题型2平行线 5．如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又由题意可知，， ∴． 6．如图，下列条件：①；②；③中，能判断直线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可． 【详解】解： 与 是直线 、 被第三条直线所截形成的内错角， 若 ，则 ，故①符合题意； 与 分别是直线 、 被两条不同的直线所截形成的角，无法判断 ，故②不符合题意； ③ 与 是直线 、 被第三条直线所截形成的同位角， 若 ，则 ，故③符合题意； 综上所述，能判断 的有①③，共2个． 7．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有_________（填序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：①， ． ②， ． ③， ． ④， ． 综上，能判定的条件有①③④． 8．如图，已知，，则________． 【答案】/度 【分析】根据 利用平行线的判定定理得出 ，再利用平行线的性质定理得出，代入数据计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 题型3定义、命题、定理 9．下列命题中，正确的命题有（     ）个． ①相等的角是对顶角；②若，，则；③ 同位角相等；④邻补角的平分线互相垂直 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据对顶角定义、平行线的相关性质、邻补角的性质，逐一判断每个命题的真假，统计正确命题的个数即可． 【详解】解：① 相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角，故①错误； ② ∵在同一平面内，当，时，，并非，故②错误； ③ ∵只有两直线平行时，同位角才相等，缺少平行的前提条件，同位角不一定相等，故③错误； ④ 设两个邻补角为和，则，∵平分线将两个角各分为一半，∴两个平分线的夹角为，∴邻补角的平分线互相垂直，故④正确； 综上，正确的命题只有1个． 10．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断假命题，反例需满足命题的条件，且不满足命题的结论，据此逐一判断选项即可； 【详解】解：反例需满足命题条件，不满足命题结论， 选项A中，不满足条件，不符合要求； 选项B中，满足，且，满足结论，不符合要求； 选项C中，满足，且，满足结论，不符合要求； 选项D中，满足，且，不满足结论，符合反例要求， ∴反例中的可以为． 11．小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你举出一个反例说明小红同学的观点是错误的：___________． 【答案】对顶角相等（答案不唯一） 【分析】要说明小红的观点错误，只需举出一个原命题为真，交换题设与结论后得到的新命题为假的例子即可． 【详解】解：“对顶角相等”是真命题，该命题的题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”， 交换题设与结论后得到新命题“相等的角是对顶角”，该命题是假命题， 例如不同三角板的直角都为，二者相等但不是对顶角， 因此该例子可以说明小红同学的观点是错误的. 故答案为对顶角相等（答案不唯一）. 12．下列6个命题中， （1）相等的角是对顶角 （2）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （4）有一条公共边且互补的两个角互为邻补角 （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等 （6）如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行．为真命题的是_____．（写序号） 【答案】（3） 【分析】根据对顶角、平行公理、邻补角、平行线的性质等相关初中数学知识点，逐一判断每个命题的真假即可． 【详解】解：（1）相等的角不一定是对顶角，因此（1）是假命题； （2）该命题未限定“在同一平面内”，因此（2）是假命题； （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行公理，因此（3）是真命题； （4）邻补角需要满足两个角有公共边，且另一边互为反向延长线，仅满足有一条公共边且互补的两个角不一定是邻补角，因此（4）是假命题； （5）只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，因此（5）是假命题； （6）同一平面内，两条直线不垂直，也可能相交不平行，因此（6）是假命题． 题型4平移的认识 13．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质求解即可． 【详解】解：由平移的性质，可得，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 14．如图，平移得到，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质：平移前后的图形全等，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点连线平行（或共线）且相等，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵平移得到， ∴，，， 无法判断． 15．如图，在三角形中，，将周长为12的三角形沿方向平移2个单位得到三角形，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是18；④，其中正确的有______（填序号） 【答案】 ①②④ 【分析】根据平移的性质：平移前后的图形对应线段平行且相等，对应点所连的线段平行且相等，利用这些性质结合已知条件和三角形周长数据，对四个结论逐一进行判定即可； 【详解】解：∵平移得到， 对于①，与是对应边，根据平移性质可得，，故①正确； 对于②，与是对应边，根据平移性质可得， ，即， ，故②正确； 对于③，平移距离为2，即， 四边形的周长 ， 的周长为12，即， 四边形的周长，故③错误； 对于④，由平移性质得， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④． 16．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_____． 【答案】29 【分析】根据平移的性质得到，，再根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∵的周长为， ∴， ∴ ∴四边形的周长． 题型5平方根的认识 17．关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性，分析代数式的取值变化，判断其最值对应的值即可． 【详解】解：∵算术平方根的值为非负数， ∴， ∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大， ∴当取最小值时，代数式取得最大值，令， 解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值， 故时，代数式的值最大． 18．已知是实数，且与互为相反数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】平方数与算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，由此求出和的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ， ∴. 19．若与互为相反数，则________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a，b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ， ，且， ， ． 20．若，则的算术平方根为________． 【答案】4 【分析】根据算术平方根的被开方数和完全平方式的非负性，求出、的值，进而求出值，从而得到其算术平方根． 【详解】解：，， ，， 解得，， ， 的算术平方根为4． 题型6立方根的认识 21．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； ∵实数的立方根是， ∴， ∴． 22．小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：输入的值是27时，取立方根为，为有理数， 则取算术平方根为，为无理数， 则输出的值是． 23．观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 【答案】2.872 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：， ． 24．小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 题型7实数及其简便 运算 25．如图，将直径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴滚动一周，点A到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】题目未指定滚动方向，需分向左滚动和向右滚动两种情况讨论，分别求出点表示的数，再利用中点公式求解． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴圆的周长为， ∵点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴滚动一周到达点， ∴需分两种情况讨论： ①当圆向右滚动时，点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为； ②当圆向左滚动时，点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为． 综上所述，线段的中点表示的数是或． 故选：B． 26．观察下面表格，结论不正确的是（     ） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 【答案】C 【详解】解：A、 由表格可得，2.1的平方为4.41，结论正确； B 、由表格得， ∵， ∴，结论正确； C 、∵， ∴的平方根是，原结论错误； D、 观察表格可知，当时，随着x增大，的值也增大，结论正确． 27．已知有理数a，b满足，则_____． 【答案】 【分析】先将该等式整理，按照有理数和无理数进行分组得到，根据有理数和无理数的和为无理数，得出是有理数，即可解答． 【详解】解：， ， ， ∵a，b都是有理数， ∴，解得：， ∴． 28．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 【答案】3 【分析】先把三角形的三边长分别为2，4，4代入求得，再估算S的取值范围即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，4，4， ∴设， ∴； ∵，， ∴n为的整数部分，即． 题型8用坐标描述平面内点的位置 29．在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】两点纵坐标相等时，线段平行于x轴，线段长度为横坐标差的绝对值． 【详解】解：∵点，点的纵坐标相等， ∴线段平行于x轴， ∴． 30．如图，将5个边长均为3的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形可得轴，，轴，可求正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵顶点M、N的坐标分别为、， ∴轴，，轴， ∴正方形的边长为3， ∴， ∴， ∵ ， ∴轴， ∴． 故选：A． 31．一个长方形在平面直角坐标系中，它的三个顶点的坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标为__． 【答案】 【分析】根据长方形对边平行于坐标轴的坐标特征，分析已知三个顶点的坐标关系，即可确定第四个顶点的横纵坐标． 【详解】解：设第四个顶点的坐标为，已知三个顶点坐标分别为，，，观察可得点与点的纵坐标相等，两点连线平行于轴， 点与点的横坐标相等，两点连线平行于轴， 根据长方形的性质，第四个顶点的横坐标与的横坐标相等，纵坐标与的纵坐标相等， 因此得，， 即第四个顶点的坐标为． 32．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析．根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得，得出点C的坐标． 【详解】解：根据题意可知三角形AOB面积×OB， 当点C在x轴上时， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为或． 综上所述，点C的坐标为． 故答案为：． 题型9坐标方法的简单应用 33．三个顶点的坐标分别为，，，将平移到了，其中，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据A点平移前后的坐标确定整个三角形的平移规律，再计算点的坐标即可求解． 【详解】解：∵平移前坐标为，平移后坐标为， ∴平移规律为先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∵点坐标为， ∴点的坐标为，即． 34．小王同学参观“探秘中轴线”展览助力“北京中轴线申遗”，为更详细地了解所生活的北京城的历史，她查阅资料发现了如图．若按图所示建立平面直角坐标系，表示永定门的点的坐标为，表示西直门的点的坐标为，则表示下列地点的点的大致坐标正确的是（     ） A．健德门 B．东直门 C．会城门 D．宣武门 【答案】B 【分析】根据已知点永定门的坐标为和西直门的坐标为，确定平面直角坐标系的原点及单位长度，结合图形中各点的位置进行判断即可． 【详解】解：∵永定门的坐标为，西直门的坐标为， ∴ 图中网格小正方形的边长为1个单位长度，且轴为中轴线，轴为过永定门的水平线． 观察图象，结合平面直角坐标系的原点及单位长度，则： 健德门的大致坐标，A选项错误； 东直门的大致坐标，B选项正确； 会城门的大致坐标，C选项错误； 宣武门的大致坐标，D选项错误． 35．如图，是一局象棋残局，若表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，，则表示棋子“马”的点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据“炮”和“車”的点的坐标建立直角坐标系，然后根据直角坐标系写出棋子“马”的点的坐标即可． 【详解】解：根据“炮”和“車”的点的坐标建立直角坐标系如下： 则表示棋子“马”的点的坐标为． 36．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断移动，每次移动1个单位长度，如图所示．则连续移动2026次后，到达的点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平移规律，总结出点的坐标为，由此先求出点的坐标，再根据规律推导出点的坐标． 【详解】解：由图可知，，，…都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ． 题型10二元一次方程组的概念 37．下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①方程组共含有两个未知数；②每个未知数的最高次数为1次；③方程组中的方程都是整式方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的定义逐个判断： ∵①中含有三个未知数， ∴①不属于二元一次方程组； ∵②中共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴②属于二元一次方程组； ∵③共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴③属于二元一次方程组； ∵④中未知数的最高次数为2， ∴④不属于二元一次方程组； 综上，属于二元一次方程组的共个． 38．若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将代入，得：，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， ∴， 39．已知方程是关于，的二元一次方程，则________． 【答案】/ 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，且 由解得或， 即或 又∵， ∴，故， 由解得， ∴． 40．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 【答案】 5 1 【分析】将已知代入方程，先求出即的值，再将与求得的代入，即可求出的值． 【详解】解：由题意，将代入，得， 解得，即表示的数为， 将，代入，得， 即表示的数为． 题型11解二元一次方程组 41．已知是方程组的解，则的值为（） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】将已知的方程组的解代入原方程组，得到关于和的二元一次方程组，利用加减消元法即可直接求出的值，不需要分别解出和的具体值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴把代入方程组，得 由，得 化简得． 42．已知关于，的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2026 D．1 【答案】D 【详解】解：∵关于，的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组， 解得， 代入，得， 解得：， ∴． 43．已知方程，用含x的代数式表示y为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的变形，解题思路为利用等式的基本性质对原方程移项，将单独放在等式左侧，即可得到用含的代数式表示的结果. 【详解】已知原方程为根据等式的基本性质，等式两边同时减去，得 故答案为 44．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是______． 【答案】 【分析】先推导出，解得，继而推导出，解得，则，即可解答． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴联立，解得， 将代入，得 ， 解得， ∴． 题型12实际问题与二元一次方程组 45．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，则可以列出的方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需根据两种分银子的情况找到对应等量关系，即可列出方程组 【详解】解：设客人为人，银子为两， ∵ 每人分7两，还剩4两，即分出去的银子等于总银子减去剩余的银子， ∴ ， ∵ 每人分9两，还差8两，即需要的总银子等于现有银子加上还差的银子， ∴ ， 因此可得方程组 46．甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用顺流速度，逆流速度与静水速度，水流速度的关系，结合路程公式列方程组求解即可． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， 由题意可得：， 解得：， ∴这艘轮船在静水中的速度为． 47．某公司用元购进甲、乙两种货物，货物卖出后，甲种货物的利润是，乙种货物的利润是，共获得利润元．设购进甲、乙两种货物分别花费了元，元，根据题意列方程组为_______． 【答案】 【分析】根据两个等量关系：总购进花费共元，总利润共元，即可列出方程组． 【详解】解：根据“总购进花费为甲的花费与乙的花费的和”，可得方程， 根据“总利润为甲的利润与乙的利润的和”，甲的利润为，乙的利润为，总利润为元，可得方程， 列方程组为． 48．甲从某一地点出发，前往某地，途中经过下坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走3千米，下坡每小时走5千米，平路每小时走4千米．去时走了80分钟，回程走了90分钟．设去时下坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 【答案】 【分析】先统一时间单位，将分钟换算为小时，根据总时间等于各段路程所用时间之和，结合原路返回时去时的下坡路变为回程的上坡路，平路长度和速度不变，分别根据去程和回程的总时间列方程即可． 【详解】解：速度单位为千米/小时，需统一单位，80分钟小时，90分钟小时， 去时：下坡路程为，速度为，用时，平路用时为，总时间为， 回程：上坡路程为，速度为，用时，平路路程为，速度为，用时，总时间为， ∴可列方程组． 题型13解三元一次方程组 49．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（    ） A．65 B．68 C．70 D．75 【答案】C 【分析】根据图示得出，两式相加，消去a，b，即可求出的值． 【详解】解：由图可得， ，得， 即， 解得． 50．小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表．现各买一杯，需要花费的钱数是（   ） 口味 次数 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 A．41元 B．31元 C．40元 D．30元 【答案】A 【分析】设小明购买茉莉口味奶茶一杯需要花费x元，购买桂花口味奶茶一杯需要花费y元，购买蜜桃口味奶茶一杯需要花费z元，根据两次购买情况列方程组，把两式相加，整理可得答案． 【详解】解：设小明购买茉莉口味奶茶一杯需要花费x元，购买桂花口味奶茶一杯需要花费y元，购买蜜桃口味奶茶一杯需要花费z元， 由题意得：， ，得， ∴， ∴现各买一杯，需要花费41元． 51．小丽、小红去文具店买学习用具，小丽买了3支笔、7支改正液、1个文件袋花了64元，小红买了4支笔、10支改正液、1个文件袋花了79元，小明看到后表示自己也准备三种学习用具各买1个，则他共需___________元． 【答案】 【分析】设三种学习用具的单价，根据两人的花费列出方程组，通过对方程组变形，整体计算得到三种学习用具各买一件的总费用． 【详解】设1支笔的价格为元，1支改正液的价格为元，1个文件袋的价格为元. 根据题意列方程组得： 将得： ， 将得： ， 得： ， ∴他共需元． 52．方程组的解是____________． 【答案】 【详解】解：， 由，得， 解得 ， 把代入，得， 解得 ， 把，代入，得， 解得 ， 故原方程组的解为． 题型14不等式的认识 53．下列说法一定正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】解：A、反例，满足，但，故A错误； B、∵，又∵， 根据不等式性质，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，可得， 同理，，可得， ∴，故B正确； C、取反例，满足，但，故C错误； D、取反例，满足，但，故D错误． 54．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 55．不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件：______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意写出的范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵不超过的最大整数是， ∴， 故答案为：． 56．若的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向会改变。我们需要根据解集反推出系数的符号，从而求出的取值范围． 【详解】解：已知的解集为． 根据不等式的基本性质：当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变． 由此可得，系数， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是牢记“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，并能根据解集的变化反推系数的符号． 题型15一元一次不等式的认识 57．在使不等式成立的x的值中，最大整数解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 因为小于的最大整数是， 所以不等式的最大整数解是． 58．按如图所示的程序运算，若开始输入的值为正数，经过一次运算后，最后输出的结果大于31，则满足条件的的值为（    ） A．大于5的数 B．大于6的数 C．小于4的数 D．小于6的数 【答案】B 【分析】根据题意列出关于的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故满足条件的的值为大于6的数． 59．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】先根据第一个不等式的解集求出，，，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 关于x的不等式的解集是， ，， ，， ∵， ∴，而， ∴， 关于x的不等式的解集为． 60．如果不等式只有个正整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解不等式得到的取值范围，再确定个正整数解的具体值，据此得到的取值范围． 【详解】解：， 移项，得， ∵该不等式只有个正整数解， ∴正整数解为，，， ∴的取值范围为． 题型16一元一次不等式组的认识 61．现用载重分别为5吨和8吨的货车运货，总货物共47吨，两种货车均不少于1辆，要一次性运完，则安排方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】设安排载重5吨的货车辆，载重8吨的货车辆，根据总货物共47吨可知总载重量，由两种货车均不少于1辆，可知5吨货车均不少于1辆，即总载重量，将y看做已知量求出x的取值范围，进而枚举验证即可，得到符合要求的方案数． 【详解】解：设安排载重5吨的货车辆，载重8吨的货车辆， ∵总货物共47吨，两种货车均不少于1辆， ∴且，，， 解得， 解得， 即， 当时，，可取8，符合； 当时，，可取7，符合； 当时，，可取5，符合； 当时，，可取3，符合； 当时，，可取2，符合； 当时，，无正整数解，不符合； 可知当时，无正整数解，不符合； 综上所述，安排方案共有5种． 62．如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为55公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为公斤，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“小丽进入电梯后不超重，小欧进入电梯后超重”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 63．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为_____． 【答案】28 【分析】先求解方程得到用表示的，根据解为整数判断的性质，再解不等式组得到解集，根据不等式组仅有3个整数解确定的取值范围，结合条件找出所有符合的整数，求和即可． 【详解】解：解方程，得： ． ∵方程的解是整数， ∴为偶数，可得a为奇数． 解不等式组 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得． ∵a为整数，且a为奇数， ∴符合条件的整数a为13，15， ∴满足条件的所有整数a的和为． 64．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人可以分到书本但不足3本，这些书有__________本． 【答案】21 【分析】设有名同学，则这些书有本，然后根据题意可得不等式组，进而问题可求解． 【详解】解：设有名同学，则这些书有本，由题意得： ， 解得：， ∵取正整数， ∴， ∴这些书有本． 题型17统计调查的方法 65．要调查某校学生作业负担是否过重，选用下列哪种方法最恰当（  ） A．查阅文献资料 B．上网查询 C．对老师问卷调查 D．对学生问卷调查 【答案】D 【分析】本题考查了调查特点，关键是在选取样本时，选取的样本要全面，具有代表性，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据所要调查问题的特点，结合选项，进行逐项判定，即可求解． 【详解】解：A、要了解某校学生的作业负担情况，查阅文献资料，这种方式太片面，不合理； B、要了解某校学生的作业负担情况，上网查询，这种方式不具有代表性，不合理； C、要了解某校学生的作业负担情况，对老师进行问卷调查，这种方式太片面，不具代表性，不合理； D、要了解某校学生的作业负担情况，对学生进行问卷调查，比较合理； 故选：D． 66．2026马年中央广播电视总台春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，传递奋进向上的文化内涵．为了解本校全体学生对“骐骥”文化寓意的了解程度，校学生会计划开展抽样调查，下列抽样方案中最具代表性与广泛性的是（    ） A．分别从各年级各班中按的比例随机抽取学生 B．从七、八、九年级各抽取成绩前50名的学生 C．在校园随机抽取课间休息的60名学生 D．在学校公众号发布问卷，收集自愿提交的有效答卷 【答案】A 【分析】抽样调查的样本需要具有代表性与广泛性，能反映总体的特征，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．选项从各年级各班按比例随机抽取学生，覆盖了全校不同年级不同班级的学生，抽样随机，样本最具代表性与广泛性； B．选项只抽取成绩靠前的学生，样本局限于特定群体，不具有代表性； C．选项只抽取课间休息的学生，样本范围窄，不具有广泛性； D．选项收集自愿提交的答卷，样本偏向主动参与的人群，不具有代表性． 67．某区养羊专业户为了估计农场中羊群的总数，他先从农场羊群中赶出100只羊，将每只羊作好记号后放回农场羊群中，当它们完全混合于羊群后，再从农场羊群中赶出30只羊，发现其中带记号的羊有5只，估计该农场里约有____只羊． 【答案】600 【分析】本题考查了用样本估计总体，理解样本与总体的关系，并掌握由样本求总体的关系式是解题的关键．由题意可知，赶出30只羊，其中带记号的羊有5只，可得出在样本中带记号的羊占的比例为，而在总体中带记号的羊共有100只，根据比例即可解答． 【详解】解：估计该农场里羊群的总数约为：（只）， 估计该农场里约有600只羊． 故答案为：600． 68．某校为了解学生每周参加劳动实践的情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图，若该校有1500名学生，根据图中信息，请估计该校每周参加劳动实践的时间达到及以上的学生有________人． 【答案】660 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 由每周参加劳动实践的时间为的人数及其百分比可得调查的总人数，用总人数乘样本中每周参加劳动实践的时间达到及以上的学生人数所占百分比即可得出答案． 【详解】解：调查的总人数为：（人）， 所以估计该校每周参加劳动实践的时间达到及以上的学生有(人)， 故答案为：660． 题型18统计图的认识 69．超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日经过高速公路某测速点的汽车的速度（速度取整数），得到如图频数分布直方图，若该路段汽车限速，则该时段经过此测速点超速行驶的汽车大约有（     ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】C 【分析】超速即速度大于，对应直方图，两组，把两组频数相加求和即可． 【详解】解：据图可知，速度在以上的车辆有（辆）． 70．小周是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）的每日行走步数（单位：千步），并绘制成如图统计图．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（     ） A．每日行走步数为千步的天数占这个月总天数的 B．每日行走步数为千步的扇形圆心角是 C．小周这个月超过一半的天数每日行走步数不低于12000步 D．小周这个月行走千步的天数最少 【答案】D 【详解】解：A. 每日行走步数为千步的天数占这个月总天数的，故该选项合理，不符合题意； B. 每日行走步数为千步的扇形圆心角是，故该选项合理，不符合题意； C. 小周这个月超过一半的天数每日行走步数不低于12000步，故该选项合理，不符合题意； D. 小周这个月行走千步的天数最少，故该选项不合理，符合题意． 71．某种预防病虫害的农药需在3月1日～3月15日喷洒，且连续三天完成．又知当最低温度不低于0℃，且昼夜温差不大于10℃时药物效果最佳，为此工作人员查看了3月1日～3月15日的天气预报情况（如图）．由图可知，药物喷洒可以安排在____________日开始进行． 【答案】3或12 【分析】本题考查折线统计图，解题关键是正确理解与分析统计图，得出结论或推断发展趋势． 根据“最低温度不低于摄氏度，昼夜温差不大于摄氏度，需要连续三天完成”对应每天进行分析即可得到结论． 【详解】解：根据图象知：日、日、日、日最低温度低于摄氏度， 日、日、日昼夜温差大于摄氏度， 连续三天符合以上两条的有日、日、日和日、日、日， 故药剂喷洒可以安排在日或日开始进行， 故答案为：或． 72．依据某中学2021年、2022年招收七年级新生的人数统计表，制成两幅统计图（如图所示），你认为________（填“①”或“②”）统计图可能给人以误导． 【答案】② 【分析】本题考查了统计图的合理使用（避免误导性呈现），解题的关键是识别统计图纵轴刻度设置对数据呈现的影响． 对比两幅统计图的纵轴刻度，分析②的刻度（非从0开始、间隔设置）如何放大数据差异，从而判断其具有误导性． 【详解】解：统计图②的纵轴刻度不是从0开始，且刻度间隔设置放大了2022年与2021年的人数差异（实际2021年约600人、2022年约700人，差距约100人），但从图形高度看，2022年的柱形高度是2021年的数倍，易让人误以为人数增长幅度远大于实际情况，因此②统计图可能给人以误导． 故答案为②． 题型19解一元一次不等式计算 73．解不等式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】（1）对于一元一次不等式，首先通过去括号、移项将含未知数的项和常数项分别整理到不等式两侧，合并同类项后将未知数系数化为1，得到解集。 （2）对于含分母的一元一次不等式，因为两边同乘正数不等号方向不变，所以先找到分母的最小公倍数，两边同乘该数去掉分母，后续按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解。 【详解】（1）去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：； （2）去分母：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 系数化为1：． 74．求不等式的负整数解． 【答案】 【分析】先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求出不等式的解集，再找出解集中的所有负整数即可． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项及合并同类项，得 系数化为1，得； 所以，不等式的负整数解为． 题型20解一元一次不等式组的计算 75．求不等式组的整数解． 【答案】 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 76．解不等式组，并求出这个不等式组的所有整数解． 【答案】解集为，所有整数解为，， 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴所有整数解为，，． 题型21解二元一次方程组 77．解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） ． 【详解】（1）解：， 得，解得， 把代入得，解得， ∴这个方程组的解为； （2）解：， 得， 得，解得， 把代入得，解得， ∴这个方程组的解为． 78．解方程组： （1）用代入消元法解二元一次方程组： （2）用加减消元法解二元一次方程组： 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解：， 由②得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 题型22解三元一次方程组 79．解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1），， （2），， 【分析】（1）三个方程左右分别相加，先求出的值，再分别减去原式逐个求未知数； （2）利用等比设参法，令，用表示、、后代入第二个方程求解． 【详解】（1）解：， ①+②+③得： ， ④， ④-①：， ④-②：， ④-③：． （2）解：设，则，，， 代入： ， ， ， ，，， ． 80．解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用加减消元法或代入消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可． （2）利用加减消元法或代入消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可 【详解】（1）解： ①得，， ②得，， 得， 解得 将代入①中，解得 ∴原方程组的解为． （2）解： 得，，解得 将③代入①得 将代入④得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，解题关键是利用消元法把方程组转化成一元一次方程． 题型23相交线的实际问题 81．如图，与互为邻补角，平分，平分． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据邻补角的定义求出，根据角平分线的定义得到，，即可求出的度数； （2）根据角平分线的定义得到，根据邻补角的定义求出，根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：与互为邻补角， ， 平分，平分， ，， ； （2）解：平分，， ， 与互为邻补角， ， 平分， ． 82．如图，直线，相交于点，，分别在，的内部，且平分． （1）若，，求的度数； （2）若，与垂直吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）．理由见解析 【分析】（1）根据角平分线得出，然后结合图形求解即可； （2）根据角平分线得出，然后结合图形确定，得出，即可证明． 【详解】（1）解：平分，， ，      点O在直线上， ，      ． （2）． 理由：平分，， ，      ， ， 即，      ， ，      ． 题型24平行线在实际问题中的应用 83．如图，在三角形中，点在边上，点E在边上，过点作交边于点，与的延长线交于点，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）．理由见解析 （2） 【分析】（1）由平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． （2）由平行线的性质得出，，由角的和差关系得出，由平行线的性质得出，进而可得出． 【详解】（1）解：． 理由：， ， ， ， ． （2）解：， ，， ，， ， 解得， ， ， ． 84．类比内错角的定义，我们定义外错角．如图1，直线，被直线所截，与在直线的外部，并且分别在直线的两侧，具有与这种位置关系的角我们称之为外错角． （1）请在图1中找出另一对外错角； （2）如图2，若，，求的度数； （3）如图2，若，求证：，并归纳出一个真命题（用文字叙述）． 【答案】（1）与 （2） （3）证明见解析；外错角相等，两直线平行． 【分析】（1）根据外错角的定义写出答案即可； （2）根据平行线的性质得到，再利用对顶角相等即可得到答案； （3）根据已知条件和对顶角相等得到，再根据平行线的判定即可得到结论，再写出真命题即可． 【详解】（1）解：由外错角的定义得到与是外错角， 故答案为：与 （2）解：∵， ∴， ∴ （3）证明：∵， ∴， ∴ 真命题为：外错角相等，两直线平行． 题型25平移的实际应用 85．如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． （1）平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） （2）若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 【答案】（1）见解析 （2）相等； 两直线平行，内错角相等 【分析】本题主要考查了平移变换，平行线的性质等知识点，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平行线的性质得出与的大小关系； 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴与的大小关系是相等，依据是两直线平行，内错角相等． 86．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．A、B、C三点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），顺次连接这三点，得到三角形，且三角形周长为a，把三角形沿方向向右平移个单位长度，得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）连接．若，求的度数； （3）直接写出四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）四边形的周长为 【分析】（1）根据平移先作出点A、B、C的对应点，然后再顺次连接即可； （2）根据平移的性质，结合平行线的性质，求解即可； （3）根据平移可得，，再根据四边形周长求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：根据平移可得：，， ∴， ∵， ∴． （3）解：根据平移可得：，， 三角形周长为a， ∴， ∴四边形的周长为： ． 题型26平方根的实际应用 87．小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” （1）求原正方形纸片的边长； （2）你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 【答案】（1）原正方形纸片的边长为． （2）不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． 【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式建立方程求出长方形的长，再与正方形的边长比较即可得到结论． 【详解】（1）解：， ∴正方形纸片的边长为； （2）解：设长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴长方形的长大于正方形的边长， ∴不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． 88．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． （1）求绣布的长和宽； （2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】（1）长为，宽为 （2）不能裁出来，理由见解析 【分析】（1）设绣布的长为，宽为，根据面积列方程求解； （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆面积公式列式，进行计算得，然后判断出，即可作答． 【详解】（1）解：∵长、宽之比为 ∴设绣布的长为，宽为， 根据题意，得 ∴ ∴绣布的长为，宽为； （2）解：不能裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为 根据题意得，， ∴ 解得（负值已舍去） 则， ∴， 由（1）得绣布的长为，宽为， ∴不能裁出来． 题型27立方根的实际应用 89．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． （1）求长方体水池的长、宽、高． （2）把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】（1）长、宽、高分别为，， （2） 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 90．如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． （1）求该正方体铁块的棱长； （2）现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】（1）正方体铁块的棱长为厘米 （2）长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米 【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用： （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为厘米； 答：正方体铁块的棱长为厘米； （2）由题意，长方体的体积为：立方厘米， ∴长方体的底面面积为：平分厘米， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 题型28平面直角坐标系解决坐标问题 91．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且），例如，点的“2级关联点”为，即． （1）若点P的坐标为，则它的“1级关联点”的坐标为______； （2）若点的“3级关联点”的坐标为，求的值； （3）若点Q是点的“级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【分析】（1）根据“级关联点”的定义即可求解； （2）根据“级关联点”的定义列出方程，解出，，即可求解； （3）先表示出点的“级关联点”，再分在轴、轴两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：点P的坐标为，则它的“1级关联点”的坐标为，即． （2）解：由题意得，， 解得，， 所以； （3）解：因为点的“级关联点”为Q， ， ∴， ①当点Q位于x轴上时，， 解得； ②当点Q位于y轴上时，， 解得． 综上，m的值为或． 92．中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结晶．某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域．如图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如下描述：小珂；“活字工坊的坐标是”．妈妈：“匠心体验的坐标为”． （1）根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系； （2）请写出典籍之光和节气食肆的坐标； （3）已知该景区的汉服体验中心的坐标为，请在图中标出汉服体验中心的位置． 【答案】（1）见解析； （2）典籍之光的坐标为，节气食肆的坐标为； （3）见解析． 【分析】（1）活字工坊和匠心体验的坐标可建立平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系可得出答案； （3）汉服体验中心的坐标为，可得出其位置． 【详解】（1）解：根据活字工坊的坐标是和匠心体验的坐标为建立平面直角坐标系，如图： （2）解：由平面直角坐标系可知， 典籍之光的坐标为，节气食肆的坐标为； （3）解：汉服体验中心的坐标为，则汉服体验中心的位置如图： 题型29用二元一次方程组解决问题 93．箱子里装有若干个红球和白球，小明、小丽分别按固定方式不放回取球：小明每次取4个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩6个红球；小丽每次取6个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩9个白球． （1）设小明取了x次，则原有红球个数为 ，白球个数为 ．（请用含x 的代数式表示）； （2）求小明和小丽各取了多少次？ （3）求箱子里红球、白球各自的数量． 【答案】（1）； （2）小明取了12次，小丽取了9次 （3）红球有54个，白球36个 【分析】（1）根据每次取球数量与剩余球数，用取球次数x直接列代数式表示红、白球总数． （2）设小丽取y次，依托红、白球总数不变列二元一次方程组，解方程组得到两人取球次数． （3）把求得的x或y代入对应代数式，算出红、白球实际数量． 【详解】（1） 小明每次取个红球，取次后剩个红球， 原有红球：． 每次取个白球，白球全部取完， 原有白球：． （2）解：设小明取了x次，小丽取y次，根据题意，得 解得 答：小明取了12次，小丽取了9次． （3）解：根据题意得： 红球数量： 白球数量：（个） 答：红球有54个，白球36个． 94．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． （1）如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． （2）计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． （3）如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2），千米． （3）小明的这个想法不能实现，理由见解析 【分析】（1）设交换前行驶了，交换后又行驶了．根据题意列出方程组即可； （2）方程组变形后求出方程组的解即可； （3）设交换前行驶了千米，求出前轮磨损和后轮磨损即可作出判断． 【详解】（1）解：设交换前行驶了，交换后又行驶了．则； （2）解； 整理得到 解得 ∴， 即这辆自行车最多可以行驶千米． （3）小明的这个想法不能实现，理由如下： 设交换前行驶了千米，则前轮磨损为，后轮磨损为， ∵， ∴在行驶到千米之前，后轮轮胎就已经报废，所以小明无法在行驶千米时交换轮胎， ∴小明的这个想法不能实现． 题型30用一元一次不等式解决问题 95．刚刚过去的端午假期期间，河南博物院除“泱泱华夏择中建郡”等常设展览之外，还全新推出了“雨林秘境——墨西哥玛雅文明大展”“金色童真——汉晋窖藏小型鎏金文物特展”等多个大型主题展览，共接待观众4万余人次，明明参观完博物院准备购买妇好鸮尊冰箱贴和莲鹤方壶立体拼图两款文创产品．已知购买2个妇好鸮尊冰箱贴比购买1个莲鹤方壶立体拼图多花费100元，购买3个妇好鸮尊冰箱贴和2个莲鹤方壶立体拼图共花费395元． （1）求妇好鸮尊冰箱贴和莲鹤方壶立体拼图的单价分别为多少元； （2）明明准备用不超过550元购买妇好鸮尊冰箱贴和莲鹤方壶立体拼图共7个送给朋友，则他最多可以购买妇好鸮尊冰箱贴多少个？ 【答案】（1）冰箱贴的单价为85元，拼图的单价为70元； （2）4个 【分析】（1）设冰箱贴的单价为元，拼图的单价为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买个冰箱贴，则购买个拼图，根据题意列不等式求解出的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设冰箱贴的单价为元，拼图的单价为元，由题意得： ， 解得， 答：冰箱贴的单价为85元，拼图的单价为70元； （2）解：设购买个冰箱贴，则购买个拼图， ， 解得， 答：他最多可以购买4个冰箱贴． 96．根据如表所示素材，探索完成任务． 东营作为黄河三角洲中心城市，近年大力推进绿色照明工程，城区主干道、小区、学校已全面普及节能灯 素材一 为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯． 采购批次 甲型节能灯（盏） 乙型节能灯（盏） 采购总费用（元） 第一次 4 5 64 第二次 6 2 52 素材二 两种型号的节能灯共50盏 素材三 总费用不超过360元 问题解决 （1）任务一：求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； （2）任务二：该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯． 【答案】（1）1盏甲型节能灯的售价是6元，1盏乙型节能灯的售价是8元 （2）该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯 【分析】（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设购买m盏甲型节能灯，根据题意，列出不等式，进行求解即可. 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：1盏甲型节能灯的售价是6元，1盏乙型节能灯的售价是8元； （2）解：设购买m盏甲型节能灯，则购买盏乙型节能灯， 根据题意得：， 解得， ∴m的最小值为20． 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 题型31统计图的认识积实际应用 97．某校开展“青赴绿意，大美湖湘”环保实践活动，聆听圭塘河从“龙须沟”到“幸福河”的蜕变历程．活动结束后，在初三年级随机抽取了部分学生，就“对圭塘河治理情况的了解程度”进行问卷调查，问卷有以下四个选项：A．非常了解；B．比较了解；C．了解较少；D．不太了解（每名被调查的学生必选且只能选择一项）现将调查的结果绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）被抽取的学生共有多少人？图中p的值是多少？ （2）请补全条形图； （3）扇形图中的选项“D．不太了解”部分所占扇形的圆心角的大小为多少？ （4）若该校初三年级共有1200名学生，请你根据上述调查结果，估计该校初三年级学生对圭塘河治理情况“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名？ 【答案】（1）人， （2）见解析 （3） （4）名 【分析】（1）通过条形图和扇形图“比较了解”的情况，求抽查学生数，进而用A的人数除以总数乘以可求p的值； （2）先计算了解较少的学生数，再补全条形统计图； （3）用乘以选项D对应的百分比即可得出答案； （4）用总人数乘以“非常了解”和“比较了解”的学生所占比例即可． 【详解】（1）解：从条形图知“比较了解”的有40名，从扇形图知“比较了解”占， 所以抽查的学生数为：（人）； ∵， ∴； （2）解：（名）； 补全条形图如下： （3）解：扇形图中的选项“D．不太了解”部分所占扇形的圆心角的大小为； （4）解：“非常了解”和“比较了解”的学生占抽查学生数的百分比为：， ∴该校初三年级学生对圭塘河治理情况“非常了解”和“比较了解”的学生共有（名）． 98．为了解人们平时最喜欢哪种支付方式，某公司每年都随机调查本公司固定数量的员工，统计他们平时最喜欢使用的支付方式（每人选择一项）．下面是相关的统计情况，请仔细观察下面两个统计图并回答问题． （1）公司2023年调查的总人数是________人； （2）观察上面的折线统计图，可以看出该公司员工最喜欢使用微信平台支付的人数呈______趋势； （3）2023年最喜欢使用微信平台支付的人数比最喜欢使用支付宝平台支付的人数多百分之几？ 【答案】（1）300 （2）上升 （3） 【分析】本题考查了折线统计图和扇形统计图，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用2023年最喜欢微信支付的人数除以其所占的百分比即可得； （2）观察折线统计图即可得； （3）先根据扇形统计图求出2023年最喜欢使用支付宝平台支付的人数，再利用2023年最喜欢使用微信平台支付的人数减去最喜欢使用支付宝平台支付的人数，然后除以最喜欢使用支付宝平台支付的人数即可得． 【详解】（1）解：（人）， 即公司2023年调查的总人数是300人， 故答案为：300． （2）解：观察上面的折线统计图，可以看出该公司员工最喜欢使用微信平台支付的人数呈上升趋势． 故答案为：上升． （3）解：（人）， ， 答：2023年最喜欢使用微信平台支付的人数比最喜欢使用支付宝平台支付的人数多． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题百练通关（98题31大常考题型） 选填题 题型1相交线 题型10二元一次方程组的概念 题型2平行线 题型11解二元一次方程组 题型3定义、命题、定理 题型12实际问题与二元一次方程组 题型4平移的认识 题型13解三元一次方程组 题型5平方根的认识 题型14不等式的认识 题型6立方根的认识 题型15一元一次不等式的认识 题型7实数及其简便 运算 题型16一元一次不等式组的认识 题型8用坐标描述平面内点的位置 题型17统计调查的方法 题型9坐标方法的简单应用 题型18统计图的认识 解答压轴题（计算+解答） 题型19解一元一次不等式计算 题型26平方根的实际应用 题型20解一元一次不等式组的计算 题型27立方根的实际应用 题型21解二元一次方程组 题型28平面直角坐标系解决坐标问题 题型22解三元一次方程组 题型29用二元一次方程组解决问题 题型23相交线的实际问题 题型30用一元一次不等式解决问题 题型24平行线在实际问题中的应用 题型31统计图的认识积实际应用 题型25平移的实际应用 题型1相交线 1．如图，，，，是线段上的动点，则，两点之间的距离可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，直线相交于一点，，则______度． 4．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 题型2平行线 5．如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，下列条件：①；②；③中，能判断直线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有_________（填序号）． 8．如图，已知，，则________． 题型3定义、命题、定理 9．下列命题中，正确的命题有（     ）个． ①相等的角是对顶角；②若，，则；③ 同位角相等；④邻补角的平分线互相垂直 A．1 B．2 C．3 D．4 10．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．2 B．0 C． D． 11．小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你举出一个反例说明小红同学的观点是错误的：___________． 12．下列6个命题中， （1）相等的角是对顶角 （2）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （4）有一条公共边且互补的两个角互为邻补角 （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等 （6）如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行．为真命题的是_____．（写序号） 题型4平移的认识 13．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 14．如图，平移得到，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在三角形中，，将周长为12的三角形沿方向平移2个单位得到三角形，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是18；④，其中正确的有______（填序号） 16．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_____． 题型5平方根的认识 17．关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 18．已知是实数，且与互为相反数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 19．若与互为相反数，则________． 20．若，则的算术平方根为________． 题型6立方根的认识 21．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 22．小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 23．观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 24．小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 题型7实数及其简便 运算 25．如图，将直径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴滚动一周，点A到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 26．观察下面表格，结论不正确的是（     ） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 27．已知有理数a，b满足，则_____． 28．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 题型8用坐标描述平面内点的位置 29．在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 30．如图，将5个边长均为3的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．一个长方形在平面直角坐标系中，它的三个顶点的坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标为__． 32．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为________． 题型9坐标方法的简单应用 33．三个顶点的坐标分别为，，，将平移到了，其中，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 34．小王同学参观“探秘中轴线”展览助力“北京中轴线申遗”，为更详细地了解所生活的北京城的历史，她查阅资料发现了如图．若按图所示建立平面直角坐标系，表示永定门的点的坐标为，表示西直门的点的坐标为，则表示下列地点的点的大致坐标正确的是（     ） A．健德门 B．东直门 C．会城门 D．宣武门 35．如图，是一局象棋残局，若表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，，则表示棋子“马”的点的坐标为________． 36．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断移动，每次移动1个单位长度，如图所示．则连续移动2026次后，到达的点的坐标为______． 题型10二元一次方程组的概念 37．下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．已知方程是关于，的二元一次方程，则________． 40．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 题型11解二元一次方程组 41．已知是方程组的解，则的值为（） A． B．1 C．2 D．3 42．已知关于，的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2026 D．1 43．已知方程，用含x的代数式表示y为______． 44．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是______． 题型12实际问题与二元一次方程组 45．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，则可以列出的方程组为（     ） A． B． C． D． 46．甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（    ） A． B． C． D． 47．某公司用元购进甲、乙两种货物，货物卖出后，甲种货物的利润是，乙种货物的利润是，共获得利润元．设购进甲、乙两种货物分别花费了元，元，根据题意列方程组为_______． 48．甲从某一地点出发，前往某地，途中经过下坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走3千米，下坡每小时走5千米，平路每小时走4千米．去时走了80分钟，回程走了90分钟．设去时下坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 题型13解三元一次方程组 49．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（    ） A．65 B．68 C．70 D．75 50．小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表．现各买一杯，需要花费的钱数是（   ） 口味 次数 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 A．41元 B．31元 C．40元 D．30元 51．小丽、小红去文具店买学习用具，小丽买了3支笔、7支改正液、1个文件袋花了64元，小红买了4支笔、10支改正液、1个文件袋花了79元，小明看到后表示自己也准备三种学习用具各买1个，则他共需___________元． 52．方程组的解是____________． 题型14不等式的认识 53．下列说法一定正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果那么 D．如果，那么 54．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 55．不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件：______． 56．若的解集为，则的取值范围是________． 题型15一元一次不等式的认识 57．在使不等式成立的x的值中，最大整数解是（    ） A． B． C． D． 58．按如图所示的程序运算，若开始输入的值为正数，经过一次运算后，最后输出的结果大于31，则满足条件的的值为（    ） A．大于5的数 B．大于6的数 C．小于4的数 D．小于6的数 59．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______． 60．如果不等式只有个正整数解，则的取值范围是________． 题型16一元一次不等式组的认识 61．现用载重分别为5吨和8吨的货车运货，总货物共47吨，两种货车均不少于1辆，要一次性运完，则安排方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 62．如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为55公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为公斤，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 63．关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为_____． 64．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人可以分到书本但不足3本，这些书有__________本． 题型17统计调查的方法 65．要调查某校学生作业负担是否过重，选用下列哪种方法最恰当（  ） A．查阅文献资料 B．上网查询 C．对老师问卷调查 D．对学生问卷调查 66．2026马年中央广播电视总台春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，传递奋进向上的文化内涵．为了解本校全体学生对“骐骥”文化寓意的了解程度，校学生会计划开展抽样调查，下列抽样方案中最具代表性与广泛性的是（    ） A．分别从各年级各班中按的比例随机抽取学生 B．从七、八、九年级各抽取成绩前50名的学生 C．在校园随机抽取课间休息的60名学生 D．在学校公众号发布问卷，收集自愿提交的有效答卷 67．某区养羊专业户为了估计农场中羊群的总数，他先从农场羊群中赶出100只羊，将每只羊作好记号后放回农场羊群中，当它们完全混合于羊群后，再从农场羊群中赶出30只羊，发现其中带记号的羊有5只，估计该农场里约有____只羊． 68．某校为了解学生每周参加劳动实践的情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图，若该校有1500名学生，根据图中信息，请估计该校每周参加劳动实践的时间达到及以上的学生有________人． 题型18统计图的认识 69．超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日经过高速公路某测速点的汽车的速度（速度取整数），得到如图频数分布直方图，若该路段汽车限速，则该时段经过此测速点超速行驶的汽车大约有（     ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 70．小周是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）的每日行走步数（单位：千步），并绘制成如图统计图．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（     ） A．每日行走步数为千步的天数占这个月总天数的 B．每日行走步数为千步的扇形圆心角是 C．小周这个月超过一半的天数每日行走步数不低于12000步 D．小周这个月行走千步的天数最少 71．某种预防病虫害的农药需在3月1日～3月15日喷洒，且连续三天完成．又知当最低温度不低于0℃，且昼夜温差不大于10℃时药物效果最佳，为此工作人员查看了3月1日～3月15日的天气预报情况（如图）．由图可知，药物喷洒可以安排在____________日开始进行． 72．依据某中学2021年、2022年招收七年级新生的人数统计表，制成两幅统计图（如图所示），你认为________（填“①”或“②”）统计图可能给人以误导． 题型19解一元一次不等式计算 73．解不等式 （1） （2） 74．求不等式的负整数解． 题型20解一元一次不等式组的计算 75．求不等式组的整数解． 76．解不等式组，并求出这个不等式组的所有整数解． 题型21解二元一次方程组 77．解下列方程组： （1）； （2）． 78．解方程组： （1）用代入消元法解二元一次方程组： （2）用加减消元法解二元一次方程组： 题型22解三元一次方程组 79．解下列方程组： （1） （2） 80．解下列方程组： （1） （2） 题型23相交线的实际问题 81．如图，与互为邻补角，平分，平分． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 82．如图，直线，相交于点，，分别在，的内部，且平分． （1）若，，求的度数； （2）若，与垂直吗？请说明理由． 题型24平行线在实际问题中的应用 83．如图，在三角形中，点在边上，点E在边上，过点作交边于点，与的延长线交于点，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，，求的度数． 84．类比内错角的定义，我们定义外错角．如图1，直线，被直线所截，与在直线的外部，并且分别在直线的两侧，具有与这种位置关系的角我们称之为外错角． （1）请在图1中找出另一对外错角； （2）如图2，若，，求的度数； （3）如图2，若，求证：，并归纳出一个真命题（用文字叙述）． 题型25平移的实际应用 85．如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． （1）平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） （2）若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 86．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．A、B、C三点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），顺次连接这三点，得到三角形，且三角形周长为a，把三角形沿方向向右平移个单位长度，得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）连接．若，求的度数； （3）直接写出四边形的周长． 题型26平方根的实际应用 87．小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” （1）求原正方形纸片的边长； （2）你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 88．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． （1）求绣布的长和宽； （2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 题型27立方根的实际应用 89．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． （1）求长方体水池的长、宽、高． （2）把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 90．如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． （1）求该正方体铁块的棱长； （2）现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 题型28平面直角坐标系解决坐标问题 91．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且），例如，点的“2级关联点”为，即． （1）若点P的坐标为，则它的“1级关联点”的坐标为______； （2）若点的“3级关联点”的坐标为，求的值； （3）若点Q是点的“级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值． 92．中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结晶．某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域．如图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如下描述：小珂；“活字工坊的坐标是”．妈妈：“匠心体验的坐标为”． （1）根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系； （2）请写出典籍之光和节气食肆的坐标； （3）已知该景区的汉服体验中心的坐标为，请在图中标出汉服体验中心的位置． 题型29用二元一次方程组解决问题 93．箱子里装有若干个红球和白球，小明、小丽分别按固定方式不放回取球：小明每次取4个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩6个红球；小丽每次取6个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩9个白球． （1）设小明取了x次，则原有红球个数为 ，白球个数为 ．（请用含x 的代数式表示）； （2）求小明和小丽各取了多少次？ （3）求箱子里红球、白球各自的数量． 94．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． （1）如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． （2）计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． （3）如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 题型30用一元一次不等式解决问题 95．刚刚过去的端午假期期间，河南博物院除“泱泱华夏择中建郡”等常设展览之外，还全新推出了“雨林秘境——墨西哥玛雅文明大展”“金色童真——汉晋窖藏小型鎏金文物特展”等多个大型主题展览，共接待观众4万余人次，明明参观完博物院准备购买妇好鸮尊冰箱贴和莲鹤方壶立体拼图两款文创产品．已知购买2个妇好鸮尊冰箱贴比购买1个莲鹤方壶立体拼图多花费100元，购买3个妇好鸮尊冰箱贴和2个莲鹤方壶立体拼图共花费395元． （1）求妇好鸮尊冰箱贴和莲鹤方壶立体拼图的单价分别为多少元； （2）明明准备用不超过550元购买妇好鸮尊冰箱贴和莲鹤方壶立体拼图共7个送给朋友，则他最多可以购买妇好鸮尊冰箱贴多少个？ 96．根据如表所示素材，探索完成任务． 东营作为黄河三角洲中心城市，近年大力推进绿色照明工程，城区主干道、小区、学校已全面普及节能灯 素材一 为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯． 采购批次 甲型节能灯（盏） 乙型节能灯（盏） 采购总费用（元） 第一次 4 5 64 第二次 6 2 52 素材二 两种型号的节能灯共50盏 素材三 总费用不超过360元 问题解决 （1）任务一：求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； （2）任务二：该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯． 题型31统计图的认识积实际应用 97．某校开展“青赴绿意，大美湖湘”环保实践活动，聆听圭塘河从“龙须沟”到“幸福河”的蜕变历程．活动结束后，在初三年级随机抽取了部分学生，就“对圭塘河治理情况的了解程度”进行问卷调查，问卷有以下四个选项：A．非常了解；B．比较了解；C．了解较少；D．不太了解（每名被调查的学生必选且只能选择一项）现将调查的结果绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）被抽取的学生共有多少人？图中p的值是多少？ （2）请补全条形图； （3）扇形图中的选项“D．不太了解”部分所占扇形的圆心角的大小为多少？ （4）若该校初三年级共有1200名学生，请你根据上述调查结果，估计该校初三年级学生对圭塘河治理情况“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名？ 98．为了解人们平时最喜欢哪种支付方式，某公司每年都随机调查本公司固定数量的员工，统计他们平时最喜欢使用的支付方式（每人选择一项）．下面是相关的统计情况，请仔细观察下面两个统计图并回答问题． （1）公司2023年调查的总人数是________人； （2）观察上面的折线统计图，可以看出该公司员工最喜欢使用微信平台支付的人数呈______趋势； （3）2023年最喜欢使用微信平台支付的人数比最喜欢使用支付宝平台支付的人数多百分之几？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $