精品解析：2026年河南省南阳市名校协作 体中考考前模拟数学试题

2026年初中毕业班第三次调研测试 数学试题卷 注意事项： 1.本试卷共8页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2.答题前考生务必将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3.考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 一、选择题：（每小题3分，共30分．）（下列各小题只有一个答案是正确的．） 1. 氢氧化钠具有强碱性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（ ） 元素 钠 氧O 氢H 化合价 ▲ A. 0 B. C. D. 2. 白河的生态修复工程让南阳的母亲河重焕生机．如图是东西流向且两岸a、b互相平行的一段白河河道，在河岸a上有一建筑P，在河岸b上的小宛观测到建筑P在他的北偏西方向上，则小宛的位置可能是（ ） A. A B. B C. C D. D 3. 2026年3月5日上午9时，十四届全国人大四次会议在人民大会堂开幕．国务院总理李强作政府工作报告，回顾了2025年工作，实施学前一年免费教育政策、惠及万儿童、数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一个几何体的主视图和左视图如图所示，该几何体可以是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算结果等于的是（ ） A. （10个a） B. （10个a） C. （5个） D. 6. 如图，点，均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点，，连接，交线段于点．要求：点把线段分成的两部分．下列关于方案、的可行性判断正确的是（ ） A. 方案和均可行 B. 只有方案可行 C. 只有方案可行 D. 方案和均不可行 7. “河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为，运算规则为．例如：．则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 在一个不透明的盒子里有2个红球和1个黄球（除颜色外其他都相同），如图是小华同学根据自己的一次摸球试验画出的正确但不完整的树状图，关于这次摸球试验，有下列结论：①是有放回的摸球试验；②可能是同时摸出两个球；③可能是摸出一个球，不放回，再摸出一个球；④摸出一个红球和一个黄球的概率为，其中正确的是（　　） A. ①③ B. ③④ C. ①②③ D. ②③ 9. 如图，在中，，顶点，，点在轴的正半轴上，将向右平移得到，若经过点，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论正确的是（ ） A. 该长方体金属块的重力是 B. 该长方体金属块的高度是 C. 传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D. 当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的次数是____________． 12. 在结束了初中阶段数学内容的新课教学后，唐老师计划安排50课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制了如图所示的扇形统计图，则唐老师安排复习“统计与概率”内容的时间为________课时． 13. 定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“二元平方和数”．例如，因为，所以5是“二元平方和数”．将50写成的形式，则__________．（写出一种即可） 14. 在光的反射中，反射角等于入射角．如图，已知是半圆的直径，且，平面镜与半圆相切于点，从上的点发出一束光线，经平面镜反射后与半圆交于点．若，要使劣弧的长为，需调整________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是坐标轴的正半轴上的一点，若射线、、构成轴对称图形，则线段的长为______． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； （3）复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 18. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象与圆O的一个交点，若图中阴影部分的面积为． （1）求圆O的半径长； （2）求反比例函数的解析式． 19. 如图，菱形． （1）求作矩形，使得点，分别在，的延长线上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值． 20. 中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格·序》说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之．”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝时期．某商场花费4800元从厂家购买了A，B两种材质的中国象棋220件，每件中国象棋的批发价及零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 （1）商场购进两种材质的中国象棋各几件？ （2）若商场再次购进两种材质的中国象棋300件，其中A材质中国象棋的数量不多于B材质中国象棋数量的2倍，请设计一个方案：商场购进A材质中国象棋多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 21. 综合实践活动中，某数学课外活动小组用他们刚学过的锐角三角函数知识开展了测量“学校新建的图书馆楼顶上旗杆的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量旗杆的高度 测量方案 如图，代表旗杆的高度，在地面，处用两个高度相同的测角仪分别测得旗杆顶端的仰角，，并测得之间的距离，，均代表测角仪的高度． 说明：点，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一直线上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，之间的直线距离 测角仪的高度 参考数据 ，，． 任务一：根据多次测量取平均值的原理，表中___________，___________； 任务二：据建筑人员介绍图书馆楼高为，求旗杆高度． 22. 综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，的距离为6米，桥拱最高点到水面的距离为米． 数学建模：如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； 问题解决： （2）如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米． ①若在桥拱最高点处有一个星形灯饰（大小忽略不计），求灯饰与其水中倒影之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 23. 【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为______，k的值为______； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O、B的对应点分别为点E、F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 【延伸拓展】 （3）如图3，在菱形中，，对角线相交于点O，M是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转并放缩得到（点M、B的对应点分别为点E、F），使得点E落在上，点F落在上．若，，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业班第三次调研测试 数学试题卷 注意事项： 1.本试卷共8页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2.答题前考生务必将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3.考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 一、选择题：（每小题3分，共30分．）（下列各小题只有一个答案是正确的．） 1. 氢氧化钠具有强碱性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（ ） 元素 钠 氧O 氢H 化合价 ▲ A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据化合物化合价代数和为0的规则，先设未知数，再列方程求解，即可得到结果． 【详解】解：设氢元素的化合价为， ∵化合物中各元素正负化合价代数和为，且中钠、氧、氢各有个原子，钠元素化合价为，氧元素化合价为， ∴列方程得：， 解得：， 故氢元素化合价为， 2. 白河的生态修复工程让南阳的母亲河重焕生机．如图是东西流向且两岸a、b互相平行的一段白河河道，在河岸a上有一建筑P，在河岸b上的小宛观测到建筑P在他的北偏西方向上，则小宛的位置可能是（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意得： 若点为观测点，则在点的北偏东方向上，不符合题意； 若点为观测点，则在点的正北方向上，不符合题意； 若点、为观测点，则在点、的北偏西方向上，但是点观测的偏西角度远小于，只有点观测符合北偏西的描述． 因此，小宛的位置可能是点处． 3. 2026年3月5日上午9时，十四届全国人大四次会议在人民大会堂开幕．国务院总理李强作政府工作报告，回顾了2025年工作，实施学前一年免费教育政策、惠及万儿童、数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：． 4. 一个几何体的主视图和左视图如图所示，该几何体可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图可知，主视图可以看到左边有三层，右边有一层，根据左视图可得几何体有三层，由此解答即可． 【详解】解：根据主视图可知，主视图可以看到左边有三层，右边有一层，根据左视图可得几何体有三层， ∴四个选项中，只有A选项的几何体符合题意． 5. 下列计算结果等于的是（ ） A. （10个a） B. （10个a） C. （5个） D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，需根据整式的加减乘除性质逐一计算各选项，判断是否等于 ． 【详解】解：∵ 选项A：10个a相加，即 ， ∴ ，故A不符合． ∵ 选项B：10个a相乘，即 ， ∴ ，故B符合． ∵ 选项C：5个相加，即 ， ∴ ，故C不符合． ∵ 选项D：， ∴ ，故D不符合． 故选：B． 6. 如图，点，均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点，，连接，交线段于点．要求：点把线段分成的两部分．下列关于方案、的可行性判断正确的是（ ） A. 方案和均可行 B. 只有方案可行 C. 只有方案可行 D. 方案和均不可行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，关键是熟练掌握平行线分线段成比例的应用，以及相似三角形的判定定理与性质定理．根据平行线分线段成比例可判断方案；连接，，可知，，证得，根据相似三角形的对应边成比例可判断方案． 【详解】解：方案：由图可知， ，， ， 点把线段分成的两部分，即方案可行． 方案：如图，连接，， 观察图形可知， ，，， ， ， ， 点把线段分成的两部分，即方案可行． 综上，方案和均可行． 故选：A． 7. “河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为，运算规则为．例如：．则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据给定的“洛书积”运算规则列出关于的方程，整理为一元二次方程的一般形式，再通过根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 运算规则为，方程为， ∴ 将，代入运算规则得 ， 展开并整理得， ∴ ∵ ∴该方程有两个不相等的实数根． 8. 在一个不透明的盒子里有2个红球和1个黄球（除颜色外其他都相同），如图是小华同学根据自己的一次摸球试验画出的正确但不完整的树状图，关于这次摸球试验，有下列结论：①是有放回的摸球试验；②可能是同时摸出两个球；③可能是摸出一个球，不放回，再摸出一个球；④摸出一个红球和一个黄球的概率为，其中正确的是（　　） A. ①③ B. ③④ C. ①②③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，掌握不放回模型是解题的关键． 根据树状图判断该试验是不放回的摸球试验，补全树状图，即可求解． 【详解】解：由树状图可知，该试验是不放回的摸球试验，可能是同时摸出两个球，也可能是摸出一个球，不放回，再摸出一个球，故①不符合题意，②③符合题意， 补全树状图如图所示，可知摸出一个红球和一个黄球的结果有4种，故所求概率为，则④不符合题意． 9. 如图，在中，，顶点，，点在轴的正半轴上，将向右平移得到，若经过点，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数的表达式，平面直角坐标系里平移的性质，两点之间的距离公式等知识点． 利用待定系数法求直线的表达式，利用等腰三角形的性质和两点之间的距离公式得到，继而根据勾股定理得到，继而得到直线的表达式，令，得到点的坐标． 【详解】解：设直线的表达式为， 把，分别代入表达式，得，解得， 直线的表达式为， ， ，， ， ， ， ， 直线的表达式为， 令，解得， ． 10. 如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论正确的是（ ） A. 该长方体金属块的重力是 B. 该长方体金属块的高度是 C. 传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D. 当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为 【答案】D 【解析】 【分析】当时，F的值即为金属块的重力的值，据此可判断A；F的值开始不随深度的变化而变化时的值即为金属块的高度的值，据此可判断B；根据函数图象可判断C；利用待定系数法求出当时，F关于h的关系式，再求出时，F的值即可判断D． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，，则金属块浸入水中的深度为时，，故该长方体金属块的重力是，原说法错误，不符合题意； B、由函数图象可知，从开始，F不再随浸入深度的增大而变化，则从开始金属块完全浸没，故该长方体金属块的高度是，原说法错误，不符合题意； C、由函数图象可知，当时，传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小，当，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化，原说法错误，不符合题意； D、当时，设， 把代入得， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为，原说法正确，符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的次数是____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据单项式的次数是一个单项式中所有字母的指数的和即可得出答案． 【详解】解：单项式的次数是：4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了单项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中的所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 12. 在结束了初中阶段数学内容的新课教学后，唐老师计划安排50课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制了如图所示的扇形统计图，则唐老师安排复习“统计与概率”内容的时间为________课时． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图及相关计算，先计算出“统计与概率”内容所占的百分比，再乘以即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得，， 故答案为：． 13. 定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“二元平方和数”．例如，因为，所以5是“二元平方和数”．将50写成的形式，则__________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一，或） 【解析】 【详解】解：根据题意得： 14. 在光的反射中，反射角等于入射角．如图，已知是半圆的直径，且，平面镜与半圆相切于点，从上的点发出一束光线，经平面镜反射后与半圆交于点．若，要使劣弧的长为，需调整________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】先利用弧长公式求出，再结合等腰三角形性质和平行线性质，得到，接着由切线性质知为法线，根据反射角等于入射角，得，最后利用三角形外角性质，求出． 【详解】解：如图，连接，， ∵半圆直径， ∴半径． ∵劣弧的长为，设其圆心角为， ∴， 解得，即． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平面镜与半圆相切于点，为半径， ∴，即为法线， 根据光的反射定律，入射角等于反射角， ∴， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是坐标轴的正半轴上的一点，若射线、、构成轴对称图形，则线段的长为______． 【答案】1或2或 【解析】 【分析】分射线，射线，射线为对称轴分类讨论即可解答． 【详解】解：∵点，， ∴轴，， 如图， ①若以射线为对称轴， ， ； ②若以射线为对称轴， ； ③若以射线为对称轴，作， ，， ， ， ， ， ． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 去分母得， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 17. 面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； （3）复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 【答案】（1）86，87 （2）八年级，理由见解析 （3）小凡 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）根据中位数、众数、方差的意义即可判断； （3）根据加权平均数的公式分别计算小凡和小乐的最后成绩，再比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：将七年级的测试成绩从小到大排列，第8位的成绩为86分， ∴； 八年级的测试成绩出现次数最多的是87分，故众数为87分， ∴； 【小问2详解】 解：八年级的学生人工智能技术的总体水平较好，理由： 从中位数看，八年级成绩的中位数比七年级的高； 从众数看，八年级成绩的众数比七年级的高； 从方差看，八年级成绩的方差比七年级的小，即八年级的测试成绩更稳定； 所以八年级的学生人工智能技术的总体水平较好； 【小问3详解】 解：小凡的最后成绩为， 小乐的最后成绩为， ∵， ∴小凡的最后成绩较高， 即最终入选的是小凡． 18. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象与圆O的一个交点，若图中阴影部分的面积为． （1）求圆O的半径长； （2）求反比例函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数图像关于原点对称得到阴影部分面积为圆面积的，直接套用扇形面积公式即可； （2）根据坐标点的特点求出得值，再将点的坐标代回到解析式中即可． 【小问1详解】 解：由反比例函数图象和圆关于原点对称可知， 阴影部分面积为圆面积的， 设圆的半径为r，则， ∴， ∵， ∴． 即圆O的半径长为． 【小问2详解】 解：∵在第一象限， ∴，， 过点P作轴于点A，连接OP，则，， ∴， ∵， ∴， ∴P点坐标为， 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为． 19. 如图，菱形． （1）求作矩形，使得点，分别在，的延长线上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别延长，再分别过点作的垂线，垂足分别为，即可； （2）根据菱形的性质可得，，推出，再根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出，利用正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示为所求： 【小问2详解】 解：∵菱形中，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 20. 中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格·序》说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之．”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝时期．某商场花费4800元从厂家购买了A，B两种材质的中国象棋220件，每件中国象棋的批发价及零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 （1）商场购进两种材质的中国象棋各几件？ （2）若商场再次购进两种材质的中国象棋300件，其中A材质中国象棋的数量不多于B材质中国象棋数量的2倍，请设计一个方案：商场购进A材质中国象棋多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）商场购进A材质中国象棋80件，B材质中国象棋140件 （2）商场购进A材质中国象棋200件时获得最大利润，最大利润是5500元 【解析】 【分析】（1）设商场购进A材质中国象棋x件，B材质中国象棋y件，根据花费钱数和总件数列二元一次方程组，求出x、y的值； （2）设商场再次购进A材质中国象棋a件，则B材质中国象棋件，获得的利润为w元，列出一次函数，确定自变量a的取值范围，根据一次函数增减性确定a的值和最大利润． 【小问1详解】 解：设商场购进A材质中国象棋x件，B材质中国象棋y件， 依题意，得：， 解得：． 答：商场购进A材质中国象棋80件，B材质中国象棋140件； 【小问2详解】 设商场再次购进A材质中国象棋a件，则B材质中国象棋件，获得的利润为w元， 则， 由题意得， 解得， ，， w随a的增大而增大． 当时，利润最大，最大值为（元）． 故商场购进A材质中国象棋200件时获得最大利润，最大利润是5500元． 21. 综合实践活动中，某数学课外活动小组用他们刚学过的锐角三角函数知识开展了测量“学校新建的图书馆楼顶上旗杆的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量旗杆的高度 测量方案 如图，代表旗杆的高度，在地面，处用两个高度相同的测角仪分别测得旗杆顶端的仰角，，并测得之间的距离，，均代表测角仪的高度． 说明：点，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一直线上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，之间的直线距离 测角仪的高度 参考数据 ，，． 任务一：根据多次测量取平均值的原理，表中___________，___________； 任务二：据建筑人员介绍图书馆楼高为，求旗杆高度． 【答案】任务一：，；任务二： 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）根据题意，取两次测量值的平均值，即可求解； （2）连接，交于点，依题意得出，，进而解，，求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：任务一：， 故答案为：．，； 任务二：如图， 依题意，，，， 连接，交于点，， 四边形为矩形，则， ∴， 在中， ， ， ， 在中， 答：旗杆高度为． 22. 综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，的距离为6米，桥拱最高点到水面的距离为米． 数学建模：如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； 问题解决： （2）如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米． ①若在桥拱最高点处有一个星形灯饰（大小忽略不计），求灯饰与其水中倒影之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 【答案】（1） （2）①灯饰与其水中倒影之间的距离为米； ②甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①由抛物线的对称性得，然后把其代入解析式求解点的纵坐标，即可求出灯饰与其水中倒影之间的距离； ②先求出甲型灯笼到的距离，再由点与之间的距离即可得到甲型灯笼的悬挂点即为点；接着求出2盏乙型灯笼到的距离，再求出它们到的距离，代入解析式即可求解乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离． 【小问1详解】 解：轴垂直平分，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将，，代入， 得，解得， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①由抛物线的对称性得， 当时，， ∴灯饰与其水中倒影之间的距离为（米）； ②解：由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，点与之间的距离为（米）， 甲型灯笼的悬挂点即为点， 甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米； 由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，与之间的距离为米， 该悬挂点到的距离为（米）， 令，解得或， 乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 综上，甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 23. 【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为______，k的值为______； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O、B的对应点分别为点E、F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 【延伸拓展】 （3）如图3，在菱形中，，对角线相交于点O，M是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转并放缩得到（点M、B的对应点分别为点E、F），使得点E落在上，点F落在上．若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）45°， （2） （3）3或9 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，再得到，推出，再根据正方形的性质求解即可； （3）先根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质可得，、；再分点E在上和上两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ， ， ∴旋转角为，． 【小问2详解】 解：∵将绕点A逆时针旋转并放缩得到 ∴， ∴， ∴，即 ∴， ， ， ，即， ． 【小问3详解】 解：∵在菱形中，， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴ ∵M 在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； ①如图：当点E在上时，延长交于H，则， ∵将绕点A逆时针旋转并放缩得到 ∴， ∴，即，解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图：当点E在上时， ∵，， ∴点E在上， ②如图：延长交于H，则， 由①的方法可得， ∴． 综上，的长为3或9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $