2026年河南平顶山市鲁山县第十二教研区中考考前模拟数学试题

**基本信息** 2026年中考数学三模卷以人形机器人、体育考试等现实情境为载体，覆盖函数、几何、统计等核心知识，梯度设计适配中考冲刺阶段能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数（1）、三视图（3）、相似三角形（6）|2题机器人订单金额考查科学记数法，体现数据意识| |填空题|5/15|统计众数（12）、圆的计算（13）、图形折叠（14）|15题动态几何结合旋转，考查空间观念| |解答题|8/75|统计分析（17）、几何作图与证明（19）、函数应用（22）、新定义综合（23）|22题实心球运动路线构建抛物线模型，23题“倍角三角形”新定义探究，发展创新意识与推理能力|

2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.请用0.5毫米黑色水笔直接答在答 题卡上. 2.答卷前将装订线内的项目填写清楚。 一 二 三 题号 总分 1~10 11~15 16 17 18 19 20 21 22 23 分数 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.如图，点M表示的数可能是 M -3 -2-1012 A.1.5 B.-1.5 C.-2.5 D.2.5 2.2026年春晚舞台上，国产人形机器人完成了精准的武术动作表演，引发广泛关注.相关统计显 示，国内人形机器人头部企业合计订单金额已突破311亿元.数据“311亿”用科学记数法表 示为 A.31.1×108 B.3.11×101 C.0.311×102 D.3.11×100 3.如图所示的几何体的左视图是 主视方向 A B D 4.如图1是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示.若AB∥(GD,BC与AD相交于点 O,点F在DA的延长线上，∠FAB=115°，∠A0B=60°，则∠BCD的度数是 图1 图2 A.45° B.50° C.55° D.60° 5.若2*=4,9'=27，则x+y的值为 .2 B.3 C. 2 D.4 6.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，且DE∥BC,DE=3,BC=7,则△ADE和△ABC面 积的比值为 A羽 B易 c D号 7.已知关于x的方程x2-2x-3k=0有实数根，则k的取值范围是 ( A>-号 BK-号 Ck≥-号 D号 8.某市中招体育考试采用“必考+选考”的模式，且选考项目包括素质类项目和运动健康技能类 项目，其中素质类项目有1分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远，共4项.考生需从素质类项 目中选考2项.若小红从中随机选择2项，则她同时选中50米跑和掷实心球的概率是（) A若 B号 c n是 9.如图，四边形ABCD是以点O为圆心，AB为直径的半圆的内接四边形，连接BD.若AB=4, ∠BCD=120°，则阴影部分的面积是 () A 3 B.- c.2-5 3 D.弩-5 24-- 10a 0 B 图1 图2 第9题图 第10题图 10.如图1，在矩形ABCD中，AB<BC,动点P从点C出发，沿着CA→D运动至终点D,设点P运动 的路程为x,△BCP的面积为y,若y关于x的函数图象如图2所示，则图2中a的值为 （） A.14 B.16 C.18 D.20 二、填空题（每小题3分，共15分） 1不等式组位的解集为 12.某市6月份前十天每天的平均气温（单位：℃）如下：25,24,23,25,25,28,30,32,30,29，则这 十天每天平均气温的众数为 ℃. 13.如图，在△ABC中，LB=70°，BC=6,以BC为直径作半圆0，分别交AB,AC于点D,E.若D是 BE的中点，则CE的长为 D D G 0 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在边长为√5的正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，将△ABE,△ADF分别沿 AE,AF折叠，点B,D恰好均落在EF上的点G处，再将△CEF沿EF折叠，点C落在AF上的 点H处，AG,EH交于点M,则MG的长为 15.如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的两个等腰直角三角形，LBAC=∠DAE=90°，点P为射 线BD和射线CE的交点，若AB=2AD=8,△ABC保持不动，将△ADE绕点A旋转一周，则在 旋转过程中，线段PB的最大值为■ 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）》 16.(10分)(1)计算：6tan30°-√27+l2-π1°； (2)化简：(1-2)÷2-40+4 a2 17.(9分)据气象部门预测，2026年高温天气不仅强度升级，而且持续时间显著延长，部分地区甚 至在10月份仍可能出现高温天气，很多商场从4月份就进入了空调的热卖期.如下是某商场 根据甲、乙两种型号空调2025年3~8月份在该商场的销售量绘制成的折线统计图和统计分 析表 销售量/冶 140 一一甲 130---9 120--- 110-- 0 3 6 8月份/月 型号 平均数 中位数 众数 方差 分 m 135 b 133.3 乙 n e 130 33.3 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a= ,b= (2)求甲、乙两种型号空调2025年3~8月份在该商场的销售量的平均数m,; (3)若该商场2026年计划从甲、乙两种型号的空调中选择一种进行销售，请你结合上述图表 帮助该商场分析应选择哪种型号的空调进行销售，并说明理由（一条即可）。 18.(9分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(-2,3),C(-1,1),将△ABC先向 上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到△A'B'C'. (1)请在图中画出△A'B'C'.若将△A'B'C看成是由△ABC经过一次平移得到的，请直接写出 平移的方向和距离。 (2)设点C'关于x轴对称的点为点C,若反比例函数y=七的图象经过点C",求反比例函数的 表达式 7 6 5 B A::C: 1 543210 12345x 19.(9分)如图，在Rt△BAC中，∠A=90°. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线EF,分别交AC,BC于点E,F,连接 AF,并直接写出线段AF,BC的数量关系；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在(1)的基础上，过点A作AD∥BC交直线EF于点D,连接CD,求证：四边形AFCD是 菱形 20.(9分)如图，AB为⊙0的直径，CE切⊙0于点C,连接AC,过点A作切线CE的垂线，垂足 为D. (1)求证：AG平分/D4R; (2)若AD=4,im∠ACD=子，求⊙0的半径， 21.(9分)随着人工智能技术的发展，智能机器人的应用越来越广泛.智能机器人主要用于家庭 助手、娱乐、安防、工业生产等方面.某公司为了提高生产效率，计划购买若干台某款智能机器 人，现从甲、乙两个商场了解到该款智能机器人每台报价均为10万元，并且都有一定的优惠， 优惠方案如下： 甲商场：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%； 乙商场：每台优惠20%. 已知该公司最终只选择其中一家商场购买，且购买该款智能机器人x(x≥1)台，用y1,y2分别 表示在甲、乙商场购买所需支付的费用， (1)请分别求出y1,y2与x之间的函数关系式； (2)如果你是负责此次采购智能机器人的工作人员，请通过计算说明选择哪家商场购买更 优惠. 22.（10分)为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线 可以看作是抛物线的一部分.如图，在某次练习中，小明投掷时出手点P距水平地面的高度 OP为1.8m,实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4m,距水平地面的高度是3m,记 落地点为M,以O为原点，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10m为满分，请通过计算判断该次 练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高1.8m的同学正好闯入实心球场地且在线段OM上跑动， 若闯人的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围 y/m 3 m 4m M/m 23.(10分)综合与实践 定义：若一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，则称这样的三角形为“倍角三角形” 并称这两个角的公共边为“底边”.如：在△ABC中，∠A=2∠B,则△ABC为以边AB为“底边” 的“倍角三角形”、 【观察判断】 (1)已知△ABC为“倍角三角形”，且∠ABC=2∠C. ①如图I,若BD为△ABC的角平分线，则图中相等的线段为 ,相似三角形 为 ②如图2，若AC的垂直平分线交边BC于点E,连接AE,则图中等腰三角形为 (注：全部写出来) 【问题解决】 (2)如图3.四边形BCD为梯形，AD/BC,∠A=90°，AB=8,BC=2,AD-兰小明同学想用 这块板材裁出一个△BCP,使得点P在梯形ABCD的边上，且△BCP为以BC为“底边”的 “倍角三角形”.小明在这块板材上的作法如下： ①作边BC的垂直平分线L交BC于点E; ②在直线L位于BC上方的部分截取Er-号，连接CF并延长，交AD于点P: ③连接BP,得△BCP, 若按上述作法，小明裁得的△BCP是否为以BC为“底边”的“倍角三角形”？请判断并给 出证明. 【拓展应用】 (3)在(2)的条件下，若点P在梯形ABCD除AD边的其他边上时，请直接写出CP的长， 图1 图2 图3 备用图 数学参考答 1.C【解析】由题中数轴可知，点M表示的数在-3和-2之 间，∴点M表示的数可能是-2.5.故选C 跑和锦实心球的结果有2种，放所求概率为号一合故选九 2.D【解析】311亿=311×103=3.11×102×108=3.11× 9.D【解析】如图，连接OD,过点D作DE⊥AB于点E,则OD= 10°.故选D. 3.B【解析】左视图是从左向右霜几何体得到的平面图形.从 0M=0B=之AB=2.:四边形ABCD为半圆0的内接四边形。 左向右看题中几何体，能看到一个矩形，且中间有一条棱被 ∠BCD=120°，.∠BAD=180°-∠BCD=60°.又：OA=0D, 遮住看不见，故画为虚线。故选B. 4.C【解析】：∠FAB=115°，∠A0B=60°，.∠B=∠FB- 六△M0D是等边三角形，LM0D=60°，MB=0B=之0A=l, ∠A0B=115°-60°=55°.，AB∥CD,.∠BCD=∠B=55°. .DE=√50E=5,∠D0B=180°-∠A0D=120°..SR附分= 故选C 5.C【解析】：2=4,9y=272=22,9y=(32)=3=33, -5m2器2-分x2x5=号-.放选n 六=2，y=是+y=2+子=子放选C ) 6.A【解折1：DE∥BC,△MDB△MBC,S2e SAADE ()=()=故选A 7.C【解析】小关于的方程x-2x-3k=0有实数根，.4= 10.C【解析】山题图可知1，当点P运动到点A时，=10，y= 24,∴.SAMe=24,AC=10.设BC=m,AB=n,其中m>n>0. （-2)2-4×1×(-3k)=4+12k≥0，解得≥-号故选C 则m2+心2=100，之mn=24,m=8,n=6(不合题意的m,n 8.A【解析】将1分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远分别 记为A,B,C,D.根据题意，画树状图如下： 值均巳舍)，.BC=8.四边形ABCD是矩形，AD=BC= 开始 8.由题图可知a=AC+AD=10+8=18.故选C. 11.x<2【解析】解不等式￥+2<4，得x<2,解不等式2.x- 1<5,得x<3,∴.原不等式组的解集为<2. A B 12.25【解析】在这组数据中，25出现了3次，出现的次数仪 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中50米 多，故这十天每天平均气温的众数为25℃. 13.罗【解析】如图，连接0B,CD.BC为直径，LBDC= m=110+120+140+140+130+140=130, (4分) 6 90°，.∠BCD=90°-∠B=90°-70°=20°.：D是B2的中 n=120+130+130+130+140+130=130. (6分) 6 点，.DE=BD,∠ECD=∠BCD=20°，∠0CE=40 (3)建议该商场选择乙型号的空调进行俏售. (7分) 0E=0C,.∠0EC=∠0CE=40°，.∠C0E=180°- 理由：甲、乙两种型号空调销售量的平均数相同，但乙型号 40°-40°=100°，CE的长为100mx3_5π 空调销售量的方差较小，销售量较稳定， 180 3 ∴.建议该商场选择乙型号的空调进行销售 (9分) (答案不唯一) 18.解：(1)如图，△M'BC即为所求. (3分) y4 7 0 14.2-√5【解析】由正方形及折叠的性质，得∠EHF=∠C= ∠D=90°，∠GAF=∠DAF,HF=CF,AG=AD=CD=√5， A' B ∠AFD=∠FE=∠CFE,∴.LAHE=I80°-∠EHF=90°. ∠AFD+∠AFE+∠CFE=180°，.∠AFD=∠AFE= 2 ∠CFE=60°，.∠GMF=∠DAF=90°-60°=30°，DF= 2=,AF=2DF=2,dHR=CP=CD-DP=三义 543210 2345 六AB=AF-HR=3-万，M=9=3-E=2万- 平移方向是由点A到点A'(或由点B到点B'或由点C到点 co830° C),平移距离是5个单位长度 (5分) 2 (2),将点C(-1,1)先向上平移3个单位长度，再向右平 2,∴.MG=AG-M=2-V5. 移4个单位长度得到点C, 15.45+4【解析】如图1，：∠BAC=∠DAE=90°，.∠CAE= C(3,4). (6分) ∠BAD.又，AC=B,AE=D,.△MCE≌△MBD,.∠ABD= 点C与点C关于x轴对称， ∠ACE,.∠CBP+∠BCP=∠ABC+∠ABD+∠ACB- C(3,-4). (7分) ∠ACE=∠BC+∠ACB=90°，∠BPC=90°（易知在整个 将C(3,-4)代人y= 旋转过程中，始终成立)，∴.BP=BC8 in LBCE,∴.当∠BCE 最大时，PB的值最大.AE=AD=4,∴由旋转的性质，得点 E在以点A为圆心，半径为4的圆上，易知当CE与⊙A相切 得-4=宁解得=-12， 且在点A的右侧时，∠BCE最大，此时PB的值最大，∠AEC= 反比例函数的表达式为了=-号 (9分) 90°，如图2，.EC=√AC-AE2=√⑧2-4=45.易知在 19.(1)解：如图1，直线EF即为所求. 旋转过程中△ACE≌△ABD始终成立，∠ADB=∠AEC= (3分) 90°，BD=CE=45,.∠ADP=∠DPE=∠EP=90°，.四 AF=BC. (4分) 边形EPD是矩形，.PD=AE=4,PB=BD+PD=4V5+ 4,即在旋转过程中，线段PB的最大值为45+4. 图1 图2 (2)证明：如图2. :直线EF是线段AC的垂直平分线， 图1 图2 .'.AE=CE,AD=CD.AF=CF. (6分) 16.解：(1)原式=6×5-35+1 (2分) :AD∥BC,.∠EAD=∠ECF,∠EDA=∠EFC,·· 3 .△ADE≌△CFE, =25-35+1 (3分) :AD=CF, (8分) =-5+1. (5分) .AF=CF=AD=CD, (2)原式=4-2.@2 .四边形AFCD是菱形， (3分) (9分) a(a-2)2 20.（1)证明：如图，连接0C =-a CE切⊙0于点C,∴.OC⊥CE. -a-2 (5分) 又：AD⊥CE,, 17.解：(1)130140 (2分) .AD∥0C, (2)由折线统计图可知，甲型号空调2025年3~8月份在该 .∠DAC=∠ACO. (2分) 商场的销售量分别为110,120,140,140,130,140，乙型号空 0A=0C, 调2025年3~8月份在该商场的销售量分别为120,130， .∠OAC=∠AC0, 130,130,140,130, .∠DAC=LOAC, 即AC平分∠DAB. (4分) 则四边形ABEN是矩形， (2)解：如图，连接BC 、AB为⊙0的直径， BN=AB=8,W=BE=BC=分8C=之×2=l. ∴.∠ACB=90°=∠D, (5分) 又.∠CAB=∠DAC, 六NF=BN-EF=8-号=A 2=2 .∠B=∠ACD, (6分) PN∥BC,.△PFN∽△CFE, .8inB=sin LACD=亏 2 心 在Rt△ACD中，D=4, 小器器=跽唧盖=5, 2 “是=子4C=6 器=品P=M-pN=1-5=6 在R公MBc中，号=子， 在Rt△ABP中，由勾股定驯，得BP=√P+AB= .AB=9, (8分) √62+8=10， 4⊙0的半径为号 (9分) BP105.BP PF ·8C=2z=…B元=F元 (6分) 21.解：(1)1=10+10(1-25%)(x-1)=7.5x+2.5(x≥1). 连接BF,过点F作FK⊥BP交BP的延长线于点K (2分) y2=10(1-20%)x=8x(x≥1). (4分) (2)当1>2，即7.5x+2.5>8x时，解得x<5,1≤x<5, 此时在乙商场购买更优惑： F.BC 花PK=ER 2 当1=y2,即7.5x+2.5=8x时，解得x=5,此时在甲、乙商 又：FK⊥BP,FE⊥BC, 场购买费用一样： 1 当1<2，即7.5x+2.5<8x时，解得x>5,此时在甲商场购 BF平分LPBC,LPBE=立∠PBC, 买更优惠。 (8分) ,EF垂直平分线段BC, 综上，当购买数量不低于1台且小于5台时，在乙商杨购买 ..FB=FC, 更优惠； .∠FBC=∠FCB, 当购买数为5台时，在甲、乙商场购买费用一样：； .∠PBC=2∠PCB, 当购买数大于5台时，在甲商场购买更优惠。 (9分) .小明栽得的△BCP是以BC为“底边”的“倍角三角形". 22.解：(1)由题这可设实心球运动路线所在抛物线的表达式为 (8分) y=a(x-4)2+3. (3' (10分) 将P018)代人，得1.8=ax4+3,解得a=-帚， 【解法提示】分两种情况讨论.①当点P在边AB上时，根据 “.实心球运动路线所在抛物线的表达式为y= 直角三角形的边角关系易知在边B上不存在满足要求的 -g-42+3. (3分) 点P.②当点P在边CD上时，如图2，作边BC的垂直平分 线，分别交AD于点L,交BC于点R,作∠BCD的平分线交 (2)当y=0时0=-(x-4)2+3, L于点O,连接BO并延长交DC于点P,此时有∠BCD= 2∠BC0=2∠PBC,即△BCP为以BC为“底边"的“倍角三 解得x1=4+2√10，名=4-2√10（负值，含去）， 角形"（易知点P在CD上的位置唯一）.作边BP的垂直平 .0M=4+210. 分线交BC于点C,连接GP,则BC=GP,∠CBP=∠GPB, :36<40<49,.6<210<7,.10<4+2√10<11， ·∠PGC=2∠GBP,.∠PCC=∠BCD,.PC=PC.过点P “.小明此次练习能得满分 (7分) 作PH LBC于点H,则GH=HC.设PC=x,则BC=GP=x, (3)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=4. GC=BC-BG=2-x,CH=22过点D作DQ1BC P(0,1.8),点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为 (8,1.8), 于点Q,则四边形ABQD是矩形，.DQ=AB=8,BQ=AD= .此时该同学所在位登的物坐标的取值范团为0<x<8. 兰c0=Bc-0=2-兰-号mL8c0=2器=子. (10分) 23.解：(1)①BD=CD △MDBM△MBC (2分) 22-8 ②△MBE,△MEC (3分) 六L0=号器=÷，即2 4 (2)是 证明：如图1，设直线l与AD的交点为N, CP的长为号 图1 2 2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.请用0.5毫米黑色水笔直接答在答题卡上. 2.答卷前将装订线内的项目填写清楚. 题号 一 二 三 总分 1 ~10 11 ~15 16 17 18 19 20 21 22 23 分数 一、选择题(每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 1.如图，点M 表示的数可能是 ( ) A.1.5 B.-1.5 C. - 2.5 D.2.5 2.2026年春晚舞台上，国产人形机器人完成了精准的武术动作表演，引发广泛关注.相关统计显示，国内人形机器人头部企业合计订单金额已突破311亿元.数据“311亿”用科学记数法表示为 ( ) A. B. C. D. 3.如图所示的几何体的左视图是 ( ) 4.如图1是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示.若AB∥CD，BC与AD相交于点O,点 F在 DA的延长线上,∠FAB=115°,∠AOB=60°,则∠BCD的度数是 ( ) A.45° B.50° C.55° D.60° 5. 若 则x+y的值为 ( ) A. B.3 C. D.4 6.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE∥BC,DE=3,BC=7,则△ADE和△ABC面积的比值为 ( ) 7.已知关于x的方程 有实数根，则k的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 8.某市中招体育考试采用“必考+选考”的模式，且选考项目包括素质类项目和运动健康技能类项目，其中素质类项目有1分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远，共4项.考生需从素质类项目中选考2项.若小红从中随机选择2项，则她同时选中50米跑和掷实心球的概率是( ) 9.如图，四边形 ABCD 是以点O为圆心，AB 为直径的半圆的内接四边形，连接BD.若AB =4，∠BCD=120°，则阴影部分的面积是 ( ) A. B. C. D. 10.如图1,在矩形ABCD中,AB<BC,动点P从点C出发,沿着C→A→D运动至终点D,设点P运动的路程为x，△BCP的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则图2中a的值为 ( ) A.14 B.16 C.18 D.20 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.不等式组 的解集为 . 12.某市6月份前十天每天的平均气温(单位:℃)如下:25,24,23,25,25,28,30,32,30,29,则这十天每天平均气温的众数为 ℃. 13.如图,在△ABC中,∠B=70°,BC=6,以BC为直径作半圆O,分别交AB,AC于点D,E.若D是 的中点，则的长为 . 14.如图，在边长为 的正方形ABCD中,点E,F分别在边 BC,CD上,将△ABE,△ADF分别沿AE,AF折叠,点B,D恰好均落在EF上的点G处,再将△CEF沿EF折叠,点C落在AF上的点H处,AG,EH交于点 M,则MG的长为 . 15.如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的两个等腰直角三角形，∠ ，点 P 为射线 BD和射线 CE的交点,若AB=2AD=8,△ABC保持不动,将 绕点A 旋转一周，则在旋转过程中，线段 PB 的最大值为 . 三、解答题(本大题共8个小题，满分75分) 16.(10分)(1)计算: (2)化简: 17.(9分)据气象部门预测，2026年高温天气不仅强度升级，而且持续时间显著延长，部分地区甚至在10月份仍可能出现高温天气，很多商场从4月份就进入了空调的热卖期.如下是某商场根据甲、乙两种型号空调2025年3~8月份在该商场的销售量绘制成的折线统计图和统计分析表. 型号 平均数 中位数 众数 方差 甲 m 135 b 133.3 乙 n a 130 33.3 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空:a= ,b= ; (2)求甲、乙两种型号空调2025年3~8月份在该商场的销售量的平均数m，n； (3)若该商场2026年计划从甲、乙两种型号的空调中选择一种进行销售，请你结合上述图表帮助该商场分析应选择哪种型号的空调进行销售，并说明理由(一条即可). 18.(9分)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(-2,3),C(-1,1),将△ABC先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到△A'B'C'. (1)请在图中画出△A'B'C'.若将△A'B'C'看成是由△ABC经过一次平移得到的，请直接写出平移的方向和距离. (2)设点 C'关于x轴对称的点为点 C"，若反比例函数 的图象经过点 C”，求反比例函数的表达式. 19.(9分)如图,在 Rt△BAC中,∠A=90°. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线 EF，分别交AC，BC于点E，F，连接AF，并直接写出线段AF，BC的数量关系；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的基础上,过点A作AD∥BC交直线 EF于点 D,连接CD,求证:四边形 AFCD是菱形. 20.(9分)如图,AB为⊙O 的直径,CE切⊙O 于点 C,连接AC,过点 A 作切线CE的垂线,垂足为 D. (1)求证:AG平分∠DAB; (2)若 求⊙O的半径. 21.(9分)随着人工智能技术的发展，智能机器人的应用越来越广泛.智能机器人主要用于家庭助手、娱乐、安防、工业生产等方面.某公司为了提高生产效率，计划购买若干台某款智能机器人，现从甲、乙两个商场了解到该款智能机器人每台报价均为10万元，并且都有一定的优惠，优惠方案如下： 甲商场：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%； 乙商场：每台优惠20%. 已知该公司最终只选择其中一家商场购买，且购买该款智能机器人x(x≥1)台，用 分别表示在甲、乙商场购买所需支付的费用. (1)请分别求出y₁，y₂与x之间的函数关系式； (2)如果你是负责此次采购智能机器人的工作人员，请通过计算说明选择哪家商场购买更优惠. 22.(10分)为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分.如图，在某次练习中，小明投掷时出手点 P 距水平地面的高度OP 为1.8m，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4m，距水平地面的高度是3m，记落地点为M，以O为原点，OP 所在直线为y轴建立平面直角坐标系. (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩(出手点与落地点的水平距离)达到10m为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高1.8m的同学正好闯入实心球场地且在线段OM 上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围. 23.(10分)综合与实践 定义：若一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”，并称这两个角的公共边为“底边”.如：在△ABC中，∠A=2∠B，则△ABC为以边AB为“底边”的“倍角三角形”. 【观察判断】 (1)已知△ABC为“倍角三角形”,且∠ABC=2∠C. ①如图1，若BD 为△ABC 的角平分线，则图中相等的线段为 ，相似三角形为 ; ②如图2，若AC的垂直平分线交边 BC于点 E，连接AE，则图中等腰三角形为 .(注：全部写出来) 【问题解决】 (2)如图3,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,∠A=90°,AB=8,BC=22, 小明同学想用这块板材裁出一个△BCP，使得点 P 在梯形 ABCD 的边上，且△BCP 为以BC为“底边”的“倍角三角形”.小明在这块板材上的作法如下： ①作边 BC 的垂直平分线l交 BC 于点 E; ②在直线l位于 BC 上方的部分截取 连接CF 并延长,交AD 于点 P; ③连接BP,得△BCP. 若按上述作法，小明裁得的△BCP 是否为以 BC 为“底边”的“倍角三角形”?请判断并给出证明. 【拓展应用】 (3)在(2)的条件下，若点 P 在梯形 ABCD 除AD 边的其他边上时，请直接写出CP 的长. 学科网（北京）股份有限公司 $