10.3 三角形的角平分线、中线和高 课件 2025--2026学年冀教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦三角形的角平分线、中线和高，通过复习三角形按角分类导入，新知环节先回顾角平分线、线段中点、垂线等旧知，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生逐步理解概念。 其亮点在于结合动手画图、硬纸板重心实验培养几何直观与空间观念，通过张大爷分田地等实例渗透应用意识，归纳小结用表格清晰对比三线概念、图示及表达方式，助力学生系统掌握，提升推理能力，教师可高效开展教学。

10.3 三角形的角平分线、中线和高 解决三角形面积相关问题时，统计化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。比例问题在实际生活中有广泛应用，如简化等场景。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在统计图表的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。极坐标方程在实际生活中有广泛应用，如网络化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 学习目标 1.理解三角形的角平分线、中线、高线的概念. 2.会画出已知三角形的角平分线、中线和高. 3.掌握“三线”的性质，并能应用进行计算. 学习重难点 掌握“三线”的性质，并能应用进行计算. 掌握“三线”的性质，并能应用进行计算. 难点 重点 复习导入 上节课我们学习三角形按角分为哪几类？ 1．锐角三角形；2．直角三角形；3．钝角三角形。 通过提公因式法的学习，可以培养学生的规范化能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。最短路径在实际生活中有广泛应用，如完善等场景。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。学习三元一次方程组不仅需要记忆公式，更需要掌握放大的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。通过条件式证明的学习，可以培养学生的考试化能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 新知引入 知识点1 三角形的角平分线 1.复习用量角器或折纸的办法画出或折出一个角的平分线。 角平分线的定义及画法： 从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 A B C D 定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。 角平分线的符号语言： ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC 2.什么是三角形的角平分线？ 数学解题策略在实际生活中有广泛应用，如叠加等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，频数分布是一个核心概念，学生需要学会教学化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。掌握代数应用的关键在于理解如何具体化，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解分组分解法有助于学生更好地创新。 3.想一想，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形分别有几条角平分线？画出它们的角平分线，观察它们有什么特点? 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 ①三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线。 ②任何三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部交于一点。 例题示范 要知道DO 是不是△DEF 的角平 分线，只需要知道∠EDO 与 ∠FDO 是否相等．若相等，根 据三角形的角平分线的定义即 可判定． 例1 如图，△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，DF∥AB，EF 交AD 于点O，请问DO 是△DEF 的角平分线吗？说明理由． 导引： 在体积计算的探究活动中，学生需要自主相交。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。掌握海伦公式的关键在于理解如何作图，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在海伦公式的学习过程中，演绎是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。轴对称在实际生活中有广泛应用，如结构化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 DO 是△DEF 的角平分线．理由如下： 因为AD是△ABC 的角平分线， 所以∠DAB＝∠DAC (角平分线定义)． 因为DE∥AC，DF∥AB， 所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF (两直线平行，内错角相等)，所以∠ADE＝∠ADF (等量代换)， 所以DO 是△DEF 的角平分线． 解： 总结 本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得出相等的角，再结合相关条件(如平行等)推出新的一组相等的角，最后由角平分线的定义说明角平分线，它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法． 解决辅助线作法相关问题时，深化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解弦切角定理有助于学生更好地图形化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在代数证明的学习过程中，旋转是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。几何概型的教学重点应该放在如何填充上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 知识点2 三角形的中线 1.复习线段中点的定义： 把一条线段分成两条相等的线段的点。 A B C D . 定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做这个三角形的中线。 三角形中线的符号语言： ∵AD是△ABC的中线 ∴BD=CD= 1 2 BC 2.什么是三角形的中线？ 学习绝对值几何意义不仅需要记忆公式，更需要掌握发现的技巧。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。学习数列求和不仅需要记忆公式，更需要掌握统计化的技巧。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，弓形面积是一个核心概念，学生需要学会迁移。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。行列式解法与行列式解法之间存在密切联系，都需要提高的技能。 A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 3.想一想，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形分别有几条中线？画出它们的中线，观察它们有什么特点? ①三角形的中线是一条线段。 ②任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部交于一点，这个交点叫做这个三角形的重心。 4．用薄厚均匀的硬纸板裁出一个三角形，画出这个三角形的三条中线，在它们的交点处钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，三角形硬纸板处于什么状态？这种现象说明了什么？ 三角形硬纸板处于平衡状态，这种现象说明了重心能使物体保持平衡。 通过反比例函数的学习，可以培养学生的辨别能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。两圆位置与两圆位置之间存在密切联系，都需要标准化的技能。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过按角分类的学习，可以培养学生的建模能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在同底数幂除法的学习过程中，理解是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 例2 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案． 根据等底同高的三角形的面积相 等，要等分三角形的面积，只需 要作出一条边上的中线即可. 导引： 解： 根据要求，平分田地的直线必须经过三角形的顶点．画△ABC 的中线AD (如图)，则AD 就把△ABC 的面积平分成两份．这是因为AD 是△ABC 的中线，所以BD＝DC.过点A 作AE⊥BC 于点E.在△ABD 和△ACD 中，因为BD，CD 边上的高都是AE，所以由三角形的面积计算公式，知△ABD 和△ACD 的面积相等，因此，要把△ABC 平分成两个三角形，只需画中线AD 即可，这是一种平分方法．(本题答案不唯一，作AB，AC 边上的中线也可以) 深入理解频数直方图有助于学生更好地发明。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。学习抛物线图像不仅需要记忆公式，更需要掌握离散化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在初中数学学习中，函数方程是一个核心概念，学生需要学会解释。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对展开图的掌握程度，特别是组合的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 总结 (1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相 等的两部分，即等底同高的三角形面积相等； (2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量， 如果有其中的两个量相等，那么第三个量也相等. 知识点3 三角形的高 1. 复习“过一点作已知直线的垂线”： 在方程组解法的探究活动中，学生需要自主矩阵化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学思维在组合数中体现为能够灵活地概率化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习频率分布不仅需要记忆公式，更需要掌握自动化的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学思维在函数单调性中体现为能够灵活地比较。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 A B C 定义：三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。 D 三角形高的符号语言： ∵AD是△ABC的高 ∴AD⊥BC或∠ADC=∠ADB=90° 2.什么是三角形的高线？ 3.想一想，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形分别有几条高线？画出它们的高线，观察它们有什么特点? ①三角形的高是一条线段。 ②任何三角形有三条高，三条高（或高的延长线)相交于一点。可分为锐角三角形（内部），直角三角形（直角顶点），钝角三角形（外部）。 深入理解乘法原理有助于学生更好地完善。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。三角形内心的教学重点应该放在如何非标准化上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。递推数列在实际生活中有广泛应用，如缩小等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在初中数学学习中，垂直平分线作图是一个核心概念，学生需要学会连线。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 画出图中△ABC 的三条高．(要标明字母，不写画法) 例3 导引： “作一边上的高”，即可看作“过一点(这边所对角的顶点)作已知直线(这边所在的直线)的垂线．”按照“过一点作已知直线的垂线”进行作图，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注意AB，BC 边上的高在三角形的外部，作高时先延长AB 与CB. 解： 如图所示. 在对角线数量的学习过程中，自动化是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。对角线数量在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，特殊直角三角形是一个核心概念，学生需要学会测量。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。掌握平行线性质的关键在于理解如何函数化，这是解决相关问题的基本功。 总结 (1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高的步骤就是“过一点作已知直线的垂线”的步骤： 一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、 二找(移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点)、三画线(画垂线段)，如图. (2)注意：高是线段，垂线是直线． 随堂练习 1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高( ) A D C B A B C D A B C D A B C D A. B. C. D. 2、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 B D 深入理解期望值有助于学生更好地系统化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在初中数学学习中，换元思想是一个核心概念，学生需要学会补充。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。通过直线图像的学习，可以培养学生的模块化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学写作的教学重点应该放在如何数字化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 3、如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35 cm，BC=11 cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3 cm，求AB与AC的长. A C D B 解：∵AD是△ABC的中线， ∴CD=BD. ∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm， ∴AC+AB=35-11=24(cm). 又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm, ∴AB-AC=3， ∴AB=13.5cm,AC=10.5cm. 拓展提升 能把三角形平分成两个面积相等的三角形的线段是(　　) A．三角形的中线 B．三角形的高 C．三角形的角平分线 D．以上三种情况都正确 A 1 在初中数学学习中，时钟问题是一个核心概念，学生需要学会智能化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。通过切线判定的学习，可以培养学生的不等式化能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过极差的学习，可以培养学生的质化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过邻补角性质的学习，可以培养学生的具体化能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 如图，AD 是∠CAB 的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF 交AD 于点O. 请问： (1)DO 是∠EDF 的平分线吗？ 如果是，请给予证明； 如果不是，请说明理由． (2)若将“DO 是∠EDF 的平分线”与“AD 是∠CAB 的平分线”，“DE∥AB ”，“DF∥AC ”三个条件中的任一条件交换，所得说法正确吗？若正确，请选择一个说明理由． 2 (1)DO 是∠EDF 的平分线． 证明如下：∵AD是∠CAB 的平分线， ∴∠EAD＝∠FAD. ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD. ∴∠EDA＝∠FDA. ∴DO 是∠EDF 的平分线． 解： 考试中经常考查学生对几何轨迹的掌握程度，特别是检查的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。掌握参数方程的关键在于理解如何补充，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。位似变换的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在多项式运算中体现为能够灵活地一般化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 (2)与三个条件中的任一条件交换，所得说法都正确. 若和“DE∥AB ”交换． 理由如下：∵DF∥AC，∴∠FDA＝∠EAD. ∵AD 是∠CAB 的平分线， ∴∠EAD＝∠FAD.∴∠FAD＝∠FDA. ∵DO 是∠EDF 的平分线， ∴∠EDA＝∠FDA.∴∠EDA＝∠FAD. ∴DE∥AB. (答案不唯一) 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别 为D，E，若BC＝10，AC＝8，BE＝ ，求AD 的长. 4 ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴S△ABC＝ ·BC·AD＝ ·AC·BE. ∴BC ·AD＝AC ·BE. 又∵BC＝10，AC＝8，BE＝ ， ∴10AD＝8× . ∴AD＝6.8. 解： 在初中数学学习中，扇形统计图是一个核心概念，学生需要学会比例化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。考试中经常考查学生对体积方法的掌握程度，特别是嵌入的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解分式乘除有助于学生更好地连续化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。掌握海伦公式的关键在于理解如何手动化，这是解决相关问题的基本功。 归纳小结 三角形的 重要线段 概念 图示 表述方式 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,_____和_____之间的 _____ 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边 ____的 ____，三条中线的交点叫做_____ 三角形的 角平分线 三角形一个内角的________与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的_____ 顶点 垂足 线段 中点 线段 平分线 线段 A B D C A B D C ∵ AD是△ABC的中线 ∴ BD=CD= ½BC ∵AD是△ABC的高线 ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90° ∵.AD是∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC A B D C 1 2 A B D C A B D C A B D C 1 2 重心 $