精品解析：陕西西安交通大学附属中学2025-2026学年第二学期高三第七次模拟考试数学试题

交大附中2025-2026学年第二学期高三第七次模拟考试数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上. 2.选择题的作答，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.选考题的作答，先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知点为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求得的值. 【详解】由三角函数的定义可得. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的概念及基本不等式进行判断． 【详解】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 3. 等差数列中，，，则（ ） A. 0 B. C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【详解】因为为等差数列，且， 所以由下标和性质有，即，解得. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 5. 点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故选：D. 6. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 7. 清华大学给某省增加了5个相同的强基计划名额，有3所高中的学生有资格争取这5个名额，则将这5个名额分配到各校的不同方法种数为（ ） A. 243 B. 150 C. 42 D. 21 【答案】D 【解析】 【详解】由于是将5个相同的名额分配到3所不同的高中，属于相同元素的分配问题，所以可用隔板法求解， 根据隔板法，由于允许学校没有分配到名额，所以共有7个位置，2个隔板，所以，因此，将这5个名额分配到各校的不同方法种数为21. 8. 在边长为 2 的菱形ABCD 中， 沿对角线 BD 将△ABD 折起得到三棱锥，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题的关键是折叠问题（菱形沿对角线BD折起形成三棱锥），需通过坐标系法确定各点位置，再利用外接球球心到各顶点距离相等的性质求解半径． 【详解】折叠前：菱形边长为，，故、为等边三角形，， 设中点为，则，，且． 建系：以为原点，为轴，为轴，垂直平面方向为轴， 得，，，设折叠后，由得， 由，，，故，解得， 代入得，故， 设外接球球心，由得；由得，解得； 由得，解得， 球心，半径，故外接球表面积． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错的得0分） 9. 对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对偶互存集的定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，为全体奇数构成的集合， 当为奇数时，也为奇数，故B正确； 对于C，，则， 但，故C错误； 对于D，，当时，，故D正确． 故选：ABD． 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若样本数据，，⋯，的方差为2，则数据，，⋯， 的方差为7 B. 在比较两个模型的拟合效果时，通常用决定系数来比较，越大，拟合效果越好 C. 在一组样本数据，，⋯，（，，，⋯，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D. 某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩（单位：分）：72，78，79，80，81，83，84，86，88，90.则这10人成绩的第70百分位数是84 【答案】BC 【解析】 【分析】利用方差的性质即可验证A项，根据决定系数的概念即可验证B项，结合相关系数的定义即可验证C，利用百分位数的求法即可验证D. 【详解】对于A项，由方差的性质，因为样本数据，，⋯，的方差为2，则数据，，⋯， 的方差为，故A错误； 对于B项，决定系数，越接近，模型对因变量的解释能力越强，拟合效果越好，所以越大，拟合效果越好，故B正确； 对于C项，所有样本点落在斜率为负的直线上，为完全负线性相关，相关系数，故C正确； 对于D项，，则这10人成绩的第70百分位数是第7项与第8项的平均数，即，故D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数存在唯一零点 B. 若方程在上有唯一解，则实数的取值范围是 C. 存在唯一，使得 D. 关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A：对求导后根据的正负判断单调递增后易得存在唯一零点； 对于选项B：对求导后根据的正负判断的增减性，求出极小值即最小值不在选项范围内；对于选项C：设，再根据形式化简后求导并判断的增减性，求出极小值即最小值为0，即存在唯一零点；对于选项D：讨论的范围后参变分离，构造新函数求导分析即可求得的取值范围. 【详解】对于选项A：由题易得，则在上单调递增， 且当时，，且当时，， 由零点存在定理，在上有且仅有1个零点，故A选项正确； 对于选项B：由题得，令，则， 故在上， ，单调递减，在上，，单调递增， 故在处取极小值，即最小值， 且易得当时，， 则有若在上有唯一解，则或，故B选项错误； 对于选项C：设，， 则， 故，则，令，， 故在上， ，单调递减， 则在上，，单调递增，故在处取极小值即最小值， 则有在上有且仅有1个零点，由选项A易得在上单调递增， 故有且仅有1个解使，即 有且仅有1个零点，故C选项正确； 对于选项D：若有在R上恒成立，讨论的范围后参变分离： ①若，则有，显然成立 ②若，则有，令，则， 令，或（舍），易得当时，在处取极小值即最小值，因此； ③若，则有， 令，则， 令，（舍）或， 易得当时，在处取极大值即最大值，因此； 综上，的取值范围是 故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为______； 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】解：将不等式变形为， 通分得：，即：，解得：或 故答案为： 【点睛】本题考查分式不等式的解法，是基础题. 13. 如图，已知圆柱底面半径为1，母线长为8，球与圆柱侧面及上底面相切，球与圆柱侧面及下底面相切，平面与球、球均相切（球心、在平面两侧）.则平面截圆柱侧面所得椭圆的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】设为椭圆上不同于的一点，过点作平行于的直线，与圆分别相切于，连接，根据切线关系求出，即可求出离心率. 【详解】如图， 设为椭圆上不同于的一点，为圆柱一母线与两圆的切点， 过点作平行于的直线，与圆分别相切于，连接. 根据切线关系可得， 则， 故所得椭圆的离心率. 14. 已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 16. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，已知. （1）已知，求异面直线与夹角的余弦值； （2）已知，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法及同角的三角函数关系求解即可. 【小问1详解】 直三棱柱中，平面， 因为平面，所以，. 因为，所以，即两两垂直. 以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 设直线与的夹角为， 则， 即异面直线与夹角的余弦值为. 【小问2详解】 取，中点，，连接， 中，，， 则为等边三角形，所以. 直三棱柱中，易知平面， 因为平面，所以，，则两两垂直. 以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 设平面与平面的夹角为， 则， 又，所以， 即平面与平面夹角的正弦值为. 17. 一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为，且，.进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为；第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为.设随机变量表示的元素个数. （1）若，，求所有的； （2）若，，求的分布列和数学期望； （3）若，且，求. 【答案】（1） （2） X 0 1 2 P （3） 【解析】 【分析】（1）直接列举即可； （2）根据古典概型概率公式，结合组合数公式求出概率，然后可得分布列和期望； （3）根据已知概率列方程计算可得. 【小问1详解】 依题意，从编号为1，2，3，4的四个球中，随机取出2个球，所取球的编号组成的集合有以下可能： . 【小问2详解】 X的所有可能取值为0，1，2 ，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴； 【小问3详解】 当时，， 整理得，∴， 即，∵，∴. 18. 已知函数， . （1）求证：曲线的图象是一个中心对称图形，并求对称中心； （2）若，求过曲线上一点的切线方程； （3）用表示、中的最小值，设函数 ()，讨论的零点的个数. 【答案】（1）； 证明：设的对称中心为，则对，， ∴ ， ∴，∴， ∴曲线的图象是一个中心对称图形，对称中心为； （2）， （3）当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，函数有三个零点. 【解析】 【分析】（1）设的对称中心为，根据求解即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义，求出切线方程，再代入求解即可； （3）由时，得在零点；当时，若，则，可判断出是函数的一个零点；若，则，可判断出不是函数的零点；当时，只考虑在内的零点个数即可，然后分或、，利用函数的单调性可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，∴， 设切点为，则切线方程为 将代入得， 整理得，即，∴或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即. 【小问3详解】 （ⅰ）当时，，函数 ∴在时无零点. （ⅱ）当时， 若，则，， 故是函数的一个零点； 若，则，， 故不是函数的零点； （ⅲ）当时，，因此只考虑在内的零点个数即可. ①当或时，在内无零点， 因此在区间内单调而，， ∴当时，在区间内有一个零点， 当时，在区间内没有零点； ②当时，函数在内单调递减，在内单调递增， ∴， 若，即，则在内无零点. 若，即，则在内有唯一零点. 若，即，由，， ∴当时，在内有两个零点， 当时，在内有一个零点. 综上可得：当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，函数有三个零点. 19. 已知双曲线与直线()有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、 两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设点 ，若过点的直线与曲线的右支交于、两点. （ⅰ）证明：直线和直线的斜率乘积为定值； （ⅱ）若直线、与圆分别交于、两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）依题意，直线的斜率必不为0，可设其方程为，， 联立，消元得， 则由，解得 由韦达定理，， 则， 为定值； （ii） 【解析】 【分析】（1）联立双曲线方程和直线可利用根的判别式，整理得，得到，所以过点P且与直线l垂直的直线为，可得，所以即可求解； （2）（i）设直线方程为，，，联立方程，由韦达定理，，则为定值；（ii）设，，且，，联立方程得到，，，所以由（ⅰ）知，，则，代入得，所以. 【小问1详解】 联立，消元得 因为，由，整理得， 因此，， 所以，其中 过点P且与直线l垂直的直线为， 可得，，依题意可得 由，，可得， 即点Q的轨迹方程为 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）设，，且， 联立，得，所以，同理可得 联立得，所以，同理可得 所以 由（ⅰ）知，，则， 代入得 因为，所以，设， 因函数在上单调递减，在上单调递增，故， 则，从而，，即 又因为， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中2025-2026学年第二学期高三第七次模拟考试数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上. 2.选择题的作答，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.选考题的作答，先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知点为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 等差数列中，，，则（ ） A. 0 B. C. 15 D. 20 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 清华大学给某省增加了5个相同的强基计划名额，有3所高中的学生有资格争取这5个名额，则将这5个名额分配到各校的不同方法种数为（ ） A. 243 B. 150 C. 42 D. 21 8. 在边长为 2 的菱形ABCD 中， 沿对角线 BD 将△ABD 折起得到三棱锥，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错的得0分） 9. 对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若样本数据，，⋯，的方差为2，则数据，，⋯， 的方差为7 B. 在比较两个模型的拟合效果时，通常用决定系数来比较，越大，拟合效果越好 C. 在一组样本数据，，⋯，（，，，⋯，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D. 某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩（单位：分）：72，78，79，80，81，83，84，86，88，90.则这10人成绩的第70百分位数是84 11. 已知函数，则（ ） A. 函数存在唯一零点 B. 若方程在上有唯一解，则实数的取值范围是 C. 存在唯一，使得 D. 关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为______； 13. 如图，已知圆柱底面半径为1，母线长为8，球与圆柱侧面及上底面相切，球与圆柱侧面及下底面相切，平面与球、球均相切（球心、在平面两侧）.则平面截圆柱侧面所得椭圆的离心率为________. 14. 已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 16. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，已知. （1）已知，求异面直线与夹角的余弦值； （2）已知，求平面与平面夹角的正弦值. 17. 一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为，且，.进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为；第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为.设随机变量表示的元素个数. （1）若，，求所有的； （2）若，，求的分布列和数学期望； （3）若，且，求. 18. 已知函数， . （1）求证：曲线的图象是一个中心对称图形，并求对称中心； （2）若，求过曲线上一点的切线方程； （3）用表示、中的最小值，设函数 ()，讨论的零点的个数. 19. 已知双曲线与直线()有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、 两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设点 ，若过点的直线与曲线的右支交于、两点. （ⅰ）证明：直线和直线的斜率乘积为定值； （ⅱ）若直线、与圆分别交于、两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $