第3讲 函数的概念和性质（一）课件——湖南省2026年普通高中学业水平合格性考试复习高二数学

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的概念和性质”专题，依据考情分析明确函数概念（了解）、同一函数（理解）、常见函数的值域（掌握）等核心考点，通过知识梳理系统整合实数集、函数表示法等基础内容，考点探究归纳五大常考题型，精准对接高考评价体系，突出备考针对性。 课件亮点在于“考点分层探究+变式题强化+综合达标训练”的实战策略，如探究点二通过具体例题解析求函数定义域、值域的方法，培养学生的数学思维和运算能力，探究点四分步判断同一函数的定义域与对应关系，强化数学语言表达。巩固练习涵盖选择、填空、解答题，助力学生熟练答题技巧，教师可依托课件系统开展复习，提升备考效率。

2026年湖南省普通高中学业水平复习 数 学 第3讲 函数的概念和性质（一） 必修第一册 目录 1.考情分析 2.知识梳理 3.考点探究 4.达标训练 考情分析 核心知识 评价要求 了解 理解 掌握 函数的概念 √ 同一函数 √ 常见函数的值域 √ 函数的表示法 √ 分段函数 √ 知识梳理 实数集 任意一个数x 唯一 x [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 相同 相同 解析法 列表法 图象法 对应关系 并集 空集 考点探究 探究点一： 函数的概念 D B 【变式题】 D D 探究点二： 求函数的定义域、值域 D C C 【变式题】 C D C 探究点三：求函数的值 【变式题】 D C 探究点四：同一个函数的判断 D 【变式题】 B 探究点五：分段函数的实际应用 D 【变式题】 巩固练习 一、选择题 C D B D D A C D D D B A {x|x<2且x≠－1} 二、填空题 0 y＝x(过原点的奇函数均可，答案不唯一) 三、解答题 本课结束！ 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的① ，如果对于集合A中的② ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有③ 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 ④ 的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2.区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 ⑤ {x|a<x<b} 开区间 ⑥ {x|a≤x<b} 半开半闭区间 ⑦ {x|a<x≤b} 半开半闭区间 ⑧ 定义 名称 符号 数轴表示 {x|x≥a} — [a，＋∞) {x|x>a} — (a，＋∞) {x|x≤a} — (－∞，a] {x|x<a} — (－∞，a) R — (－∞，＋∞) — 3.同一个函数 前提条件：(1)定义域⑨ ；(2)对应关系⑩ . 结论：这两个函数为同一个函数. 4.常见函数的值域 一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域为R. 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域为R，当a>0时，值域为[ eq \f(4ac－b2,4a)，＋∞)，当a<0时，值域为(－∞， eq \f(4ac－b2,4a)]. 5.函数的表示法 函数表示的三种形式：⑪ 、⑫ 、 ⑬ . 6.分段函数 一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的⑭ 的函数. 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的⑮ ；各段函数的定义域的交集是⑯ .作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象. 【例1】 (1)下列对应关系是集合A到B的函数的是( ) A．A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝ eq \r(x) B．A＝R，B＝R，f：x→y＝ eq \r(x) C．A＝{2}，B＝{－ eq \r(2)， eq \r(2)}，f：x→y2＝x D．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0 【解析】 对于A，A中的元素0在B中没有对应元素，不是函数；对于B，集合A中负数没有平方根，不是函数；对于C，集合A中的元素2在集合B中有两个元素± eq \r(2)与之对应，不是函数．对于D，符合函数的概念． 【答案】 D 【例1】 (2)下列四个图象中，不是函数图象的是( ) 【解析】 对于B，对定义域内的任意一个元素有两个元素与之对应，故选B. 【答案】 B (1)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系： ①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|. 其中能构成从M到N的函数的是( ) A．① B．② C．③ D．④ 【解析】 只有y＝|x|是符合题意的对应关系． (2)已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是( ) 【解析】 对于A，当0<x≤4时，每个x对应2个y，错误； 对于B，不满足定义域为A＝{x|0≤x≤4}，错误； 对于C，不满足值域为B＝{x|0≤x≤2}，错误； 对于D，每个x都满足从集合A到集合B的函数关系，正确． 故选D. 【答案】 D 【例2】 (1)(2024·湖南省学考)下列函数中，定义域为R的是( ) A．y＝ eq \f(1,x＋2) B．y＝ eq \r(x) C．y＝log2(x＋1) D．y＝x2 【解析】 对于A，x≠－2； 对于B，x≥0； 对于C，真数要大于0，则x＋1>0，即x>－1； 对于D，x∈R. 故选D. 【答案】 D 【例2】 (2)(2024·浙江省学考)函数f(x)＝ eq \f(\r(3－x),x－2)的定义域是( ) A．(3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，2)∪(2，3] D．R 【解析】 由题意可得x－2≠0，且3－x≥0，解得x≤3且 x≠2.故选C. 【例2】 (3)(2025·浙江省学考)函数y＝2x＋1的值域是( ) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 【解析】 因为 2x>0，2x＋1>1，故y＝2x＋1的值域为(1，＋∞).故选C. (1)函数f(x)＝ eq \r(1＋x)＋ eq \f(1,x)的定义域是( ) A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞) C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．R 【解析】 由题得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠0，,1＋x≥0，))所以x≥－1且x≠0， 所以函数f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，＋∞)，故选C. (2)函数f(x)＝ eq \r(4－x2)－ eq \r(x2－4)的定义域为( ) A．[－2，2] B．(－2，2) C．{x|x<－2或x>2} D．{－2，2} 【解析】 由题得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,x2－4≥0，))解得x＝2或－2， 所以所求定义域为{－2，2}．故选D. (3)函数g(x)＝x2－2x－2，x∈[0，4]的值域为( ) A．[－2，6] B．[－3，－2] C．[－3，6] D．[－2，4] 【解析】 g(x)＝(x－1)2－3，x∈[0，4]， 故g(x)min＝g(1)＝－3， 又g(0)＝－2，g(4)＝6， 所以函数g(x)在x∈[0，4]上的值域为[－3，6]. 故选C. 【答案】 C 【例3】 已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.)) (1)求f(－5)，f(－ eq \r(3))，f(f(－ eq \f(5,2)))的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值． 【解析】 (1)由－5∈(－∞，－2]， － eq \r(3)∈(－2，2)，－ eq \f(5,2)∈(－∞，－2]， 知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－ eq \r(3))＝(－ eq \r(3))2＋2×(－ eq \r(3))＝3－2 eq \r(3). 因为f(－ eq \f(5,2))＝－ eq \f(5,2)＋1＝－ eq \f(3,2)， 又－2<－ eq \f(3,2)<2， 所以f(f(－ eq \f(5,2)))＝f(－ eq \f(3,2))＝(－ eq \f(3,2))2＋2×(－ eq \f(3,2))＝ eq \f(9,4)－3＝－ eq \f(3,4). (2)①当a≤－2时，f(a)＝a＋1， 所以a＋1＝3， 所以a＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0. 所以a＝1或a＝－3. 因为1∈(－2，2)，－3 (－2，2)， 所以a＝1符合题意． ③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意． 综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. (1)设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{4}，那么集合A 不可能是( ) A．{2} B．{－2} C．{－2，2} D．{－2，0} 【答案】 D 【解析】 由题意得x2＝4，得x＝2或x＝－2，故A可以为{2}，{－2}，{2，－2}．故选D. (2)(2025·湖南省学考)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,－2x，x>0，))则f(f(1))＝ ( ) A．－2 B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,2) 【答案】 C 【解析】 由题得f(1)＝－2， 所以f(f(1))＝ f(－2)＝2-2＝ eq \f(1,4).故选C. 【例4】 (2024·湖南省学考模拟)下列各组函数是同一个函数的是( ) A．y＝ eq \f(|x|,x)与y＝1 B．y＝ eq \r((x－1)2)与y＝x－1 C．y＝ eq \f(x2,x)与y＝x D．y＝ eq \f(x3＋x,x2＋1)与y＝x 【解析】 对于A，y＝ eq \f(|x|,x)的定义域为{x|x≠0}，函数y＝1的定义域为R，故错误． 对于B，y＝ eq \r((x－1)2)＝|x－1|和函数y＝x－1不相等，故错误． 对于C，y＝ eq \f(x2,x)的定义域为{x|x≠0}，函数y＝x的定义域为R，故错误． 对于D，y＝ eq \f(x3＋x,x2＋1)的定义域为R，函数y＝x的定义域为R，且y＝ eq \f(x3＋x,x2＋1)＝x，故正确．故选D. 【答案】 D 已知四组函数： ①f(x)＝|x|，g(x)＝ eq \r(x2)； ②f(x)＝( eq \r(x))2，g(x)＝ eq \r(x2)； ③f(m)＝2m－1(m∈N)，g(n)＝2n－1(n∈N)； ④f(x)＝1，g(x)＝x0. 其中是同一个函数的是( ) A．①②　 B．①③ C．①④　 D．仅有① 【解析】 对于第②，④组，定义域不同； 对于第①，③组，定义域与对应关系都相同． 【答案】 B 【例5】 (2024·湖南省学考模拟)某同学离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中y轴表示该学生离学校的距离d，x轴表示所用的时间t，则符合学生走法的只可能是( ) 【解析】 依题意可知，d关于t的函数图象始终呈下降趋势，由于该同学是先跑后走，所以d关于t的函数图象下降速度是先快后慢，所以图象D合适． 【答案】 D 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示． (1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象． 【解析】 (1)阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360. 阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km. (2)根据图象，有 s＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(50t＋2004，0≤t<1，,80(t－1)＋2054，1≤t<2，,90(t－2)＋2134，2≤t<3，,75(t－3)＋2224，3≤t<4，,65(t－4)＋2299，4≤t≤5.)) 相应的图象如图所示． 1．集合{x|－1<x≤5}用区间可以表示为( ) A．(－1，5) B．[－1，5] C．(－1，5] D．[－1，5) 2．下列函数中，定义域为R的是( ) A．f(x)＝ eq \r(x) B．f(x)＝ln x C．f(x)＝ eq \f(1,x) D．f(x)＝x2＋1 3．如图，其中能表示函数y＝f(x)的是( ) 4．若x∈[0，4]，则x－4的值一定是( ) A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 5．(2024·河北省学考模拟)已知函数f(x)＝x2－1的定义域为{－1，0，1}，则函数f(x)的值域为( ) A．{0，1} B．[－1，＋∞) C．[－1，0] D．{－1，0} 【解析】 因为函数f(x)＝x2－1的定义域为{－1，0，1}， 又f(0)＝－1，f(1)＝f(－1)＝0， 故函数f(x)的值域为{0，－1}．故选D. 6．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x(y>x)的函数解析式为( ) A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 【解析】 由题意可知2x＋2y＝20，即y＝10－x， 又10－x>x，所以0<x<5. 所以函数解析式为y＝10－x(0<x<5).故选A. 7．如图，f：A→B表示从集合A到集合B的函数，若f(a)＝2，则a的值为( ) A．1 B．2 C．1或2 D．3 【解析】 观察图，f(a)＝2，则a＝1或2.故选C. 8．下列函数中，与函数y＝x是同一个函数的是( ) A．y＝( eq \r(x))2 B．y＝ eq \r(x2) C．y＝ eq \f(x2,x) D．y＝ eq \r(3,x3) 【解析】 对于A，C，定义域不同； 对于B，C，y＝ eq \r(x2)＝|x|，对应关系不同； 对于D，y＝ eq \r(3,x3)＝x，定义域与对应关系都相同． 故选D. 9．(2023·江苏省学考)函数f(x)＝ eq \r(\f(1,x－1))的定义域为( ) A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) 【解析】 由题意f(x)＝ eq \r(\f(1,x－1))需满足 x－1>0，即x>1，故函数f(x)＝ eq \r(\f(1,x－1))的定义域为(1，＋∞)，故选D. 10．若反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)＝( ) A．－ eq \f(x,6) B．－ eq \f(6,x) C．－ eq \f(x,18) D．－ eq \f(18,x) 【解析】 设f(x)＝ eq \f(k,x)(k≠0)，则 eq \f(k,3)＝－6，解得k＝－18. 所以f(x)＝－ eq \f(18,x). 11．已知f(x＋2)＝2x＋3，则f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝2x－1 C．f(x)＝2x－3 D．f(x)＝2x＋7 【解析】 (方法一)设t＝x＋2，则x＝t－2. 因为f(x＋2)＝2x＋3，所以f(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1， 所以f(x)的解析式是f(x)＝2x－1. (方法二)因为f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1， 所以f(x)＝2x－1， 所以f(x)的解析式是f(x)＝2x－1. 12．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x＋1))，x>0，,x2＋2x－5，x≤0，))且f(a)＝3，则a＝( ) A．1或－4 B．1或－2 C．－4或2 D．1或－4或±2 【解析】 当a>0时，f(a)＝|2a＋1|＝3， 解得a＝1(a＝－2舍去)； 当a≤0时，f(a)＝a2＋2a－5＝3， 解得a＝－4(a＝2舍去). 综上，a＝1或a＝－4.故选A. 13．函数f(x)＝ eq \f((x＋1)0,\r(2－x))的定义域为 . 14．已知函数f(x)＝x－ eq \f(1,x)，则f(3)＋f( eq \f(1,3))＝ . 【解析】 因为f(x)＝x－ eq \f(1,x)， 所以f(3)＋f( eq \f(1,3))＝3－ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,3)－3＝0. 15．(2023·湖南省学考)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图．定义：若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数y＝f(x)为该圆的“完美函数”．写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数” . 16．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 . f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x<0，,－x，0≤x≤1.)) 【解析】 由题图可知，图象是由两条线段组成， 当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a＋b＝0，,b＝1，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，)) 所以f(x)＝x＋1； 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，得k＝－1，所以f(x)＝－x. 综上，f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x<0，,－x，0≤x≤1.)) 17．若函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－2，,x2，－2<x<2，,2x，x≥2.)) (1)求f(－5)，f(－1)，f(f(－1))的值； (2)若f(a)＝3，求a的值． 【解析】 (1)由题意可得，f(－5)＝－5＋2＝－3， f(－1)＝(－1)2＝1，f(f(－1))＝f(1)＝12＝1. (2)因为f(a)＝3， 所以当a≤－2时，a＋2＝3，解得a＝1，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，a2＝3，解得a＝± eq \r(3)，符合题意； 当a≥2时，2a＝3，解得a＝ eq \f(3,2)，不符合题意，舍去． 综上，a＝± eq \r(3). 18．(2024·长沙市学考模拟)已知函数f(x)＝|x－1|＋1. (1)用分段函数的形式表示f(x)； (2)画出f(x)的图象； (3)求函数f(x)的值域． 【解析】 (1)函数的分段表示形式为f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，x≥1，,2－x，x<1.)) (2)图象由两条射线组成，图象如图所示． (3)观察图象可得函数f(x)的值域为[1，＋∞). 19．如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 eq \r(2) cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象． 【解析】 如图，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 eq \r(2) cm， 所以BG＝AG＝CH＝DH＝AB·cos 45°＝2 eq \r(2)× eq \f(\r(2),2)＝2 cm. 又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm. ①当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝ eq \f(1,2)x2； ②当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝ eq \f(x＋x－2,2)×2＝2x－2； ③当点F在HC上，即x∈(5，7]时， y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝ eq \f(1,2)×(7＋3)×2－ eq \f(1,2)(7－x)2＝－ eq \f(1,2)(x－7)2＋10. 综合①②③，得函数的解析式为y＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，x∈[0，2]，,2x－2，x∈(2，5]，,－\f(1,2)（x－7)2＋10，x∈（5，7].)) 图象如下图所示． $