精品解析：内蒙古自治区赤峰二中国际实验中学2026年5月初中学业水平调研考试（二）数学试卷

2026年5月初中学业水平调研考试(二) 数 学 注意事项：1．本试卷共4页，满分 100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 某种食品包装袋上标注质量为，对4袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）如下：，，，，则最接近标注质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据越接近标注质量，代表偏离标注质量的程度越小，即偏差的绝对值越小，计算各偏差的绝对值比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴ 最小，对应食品最接近标注质量． 2. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 【答案】D 【解析】 【分析】首先算出一粒粟的重量，结果是小于的正数，然后利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定前面有三个，故指数是． 【详解】解：粒粟的重量大约为克， 一粒粟的重量约为． 故选：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定和的值是解答本题的关键． 4. 将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． 故选：D． 5. 化学兴趣小组的同学整理了四种常见的物质：①氧气，②二氧化碳，③铜片，④高锰酸钾溶液．从中随机抽取两种物质，则抽到的两种物质均为无色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图，共有种等可能的结果，其中抽到的两种物质均为无色的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：∵①氧气为无色，②二氧化碳为无色，③铜片为紫红色，不是无色，④高锰酸钾溶液为紫红色，不是无色， 将①氧气，②二氧化碳，③铜片，④高锰酸钾溶液分别记作、、、， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽到的两种物质均为无色的结果有种，即、， ∴抽到的两种物质均为无色的概率是． 6. 在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线经过的点可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的平移方式求出两种平移方式下平移后的函数解析式，则可求出，得到直线，再分别验证选项中的点即可． 【详解】解：将直线向右平移6个单位，得到的函数解析式为， 将直线向下平移4个单位，得到的函数解析式为， 直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线， ， 解得， 直线， 当时，，则点在直线上， 当时，，则点不在直线上， 当时，，则点不在直线上， 当时，，则点不在直线上， 只有A选项符合题意； 7. 《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系． 设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选：A 8. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，连接分别交，于点P、Q，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，，，则有，，，然后可得，进而根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∵点R为的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题(共4小题，每小题3分，共 12分) 9. 请你写出一个大于4小于5的无理数_____． 【答案】 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：请你写出一个大于4小于5的无理数， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 10. 化简∶ _________ 【答案】1 【解析】 【详解】解： ． 11. 如图，在矩形中，，，分别以A，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线；以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线于点E，连接，；分别以B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点F，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知，直线是的垂直平分线，是的平分线，，结合，可利用勾股定理求出的长度，再证，设，在中，利用勾股定理建立方程求解的长度． 【详解】如图，连接， 由作图可知，直线是的垂直平分线，四边形是矩形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 由作图可知是的平分线， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴的长为​． 12. 如图，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点在轴上，点B，C在轴上，与轴交于点，连接．若，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义、平行四边形的性质、面积的转化；熟练运用同高等底求两个三角形面积关系是解题的关键． 根据，，得，易得，所以，求出，继而得出矩形的面积，最后求出k值即可． 【详解】解：如图， 过点F作，垂足为F点 四边形为平行四边形 又图像过第三象限 故答案为： 三、解答题(共6小题，共64分) 13. 计算与解方程： （1）计算∶ （2）解分式方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：方程两边同乘，得， 解得∶， 检验∶当时，， ∴分式方程的解为． 14. 如图1表示去年某地个月每月平均气温，如图2表示该地小聪家去年个月的用电量，图3表示当地对民用电收费的标准，小聪家常用的电器有灯、冰箱、空调、电车等等． 某地民用电收费标准信息表 月用电量 居民峰谷分时电价 高峰时段电价 () 单位：元 低谷时段电价 ()以外 单位：元 千瓦时以下 千瓦时 千瓦时及以上 图3 （1）根据图2求出个月中用电量的中位数以及超过千瓦时月份的月平均用电量． （2）根据统计图与信息表，请描述月用电量与气温间的一些关系，并对家庭用电提出一些建议． 【答案】（1）中位数（千瓦时），平均数（千瓦时） （2） 关系如：在气温较低和气温较高的时候，家庭的月用电量增加，原因可能是由于气温较低和气温较高时使用了电风扇，空调等电器． 建议如：家庭节约用电，比如随时关灯，定时空调等等，尽量将月用电量控制在200以内，由于峰电与谷电有价格差异，建议电车等需要充电的设备尽量在谷电时进行． 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，条形统计图，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据条形统计图得出个月中，电量位于中间的两个月份是为7月与11月，超过千瓦时的月份有，月，在进行计算中位数，平均数即可． （2）根据统计图与信息表，描述出用电量与气温间的关系，再结合实际情况提建议即可． 【小问1详解】 解：∵根据条形统计图可得，个月中，电量位于中间的两个月份是为7月与11月， ∴中位数（千瓦时）， ∵超过千瓦时的月份有，月， ∴超过千瓦时的平均数为：（千瓦时）． 【小问2详解】 略 15. 阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． （1）块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ （2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 【答案】（1）普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． （2）至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【解析】 【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量； （2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克， 依题意得：， 解得：； 经检验，x=600是原方程的解，且符合题意， ∴2x=2×600=1200． 答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． 【小问2详解】 解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻， 依题意得：9600+600（）+1200y≥17700， 解得：． 答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 16. 如图，在中，，点在斜边上，以为直径的与相切于点． （1）求证：平分； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，则， ． 是的切线， ， ，即， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，证明得，进而可证平分； （2）连接，由为直径得，然后由勾股定理求得的长，利用锐角三角函数的知识求出，然后由求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 为直径， ， ， ． 在中，∵， ， ∴， ， ， ． 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，解直角三角形以及扇形的面积，正确作出辅助线是解答本题的关键． 17. 春暖花开，正是放风筝的好时候．某数学兴趣小组开展了特色实践活动，设计并制作外形为拋物线型的风筝． 活动主题 设计一个外形为拋物线型的风筝 活动准备 竹条，专业伞布以及其他的制作工具 步骤1 用竹条设计制作一个“十”字形支架，如图1，垂直平分，垂足为，，，． 步骤2 以点为原点，以所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，确定过点、、三点的抛物线的表达式，画出图形，用伞布剪出拋物线型伞面，并用材料对外轮廓进行定型； 步骤3 为使风筝结构更加稳固，同时兼具对称美，用竹条构造三角形结构，连接、，同时构造另一个，使得点、在抛物线上，且与位似，位似比为，位似中心在直线上； 根据以上材料，解决下列问题： （1）求出图2中过、、三点的拋物线的表达式； （2）请求出图2中所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先写出、、三点的坐标，再使用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）分两类讨论，当与在位似中心的同一侧时，设与轴的交点为，由位似的性质可得，，，由对称性可知点的横坐标为，从而求出点和点的坐标，进一步得到点的坐标；当与在位似中心的两侧时，使用同样的方法计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设过、、三点的拋物线的表达式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴拋物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①当与在位似中心的同一侧时，如图，设与轴的交点为， ∵与位似，位似比为，位似中心在直线上， ∴，，， ∴点的横坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； ②当与在位似中心的两侧时，如图，设与轴的交点为， 同理可得，点的坐标为，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 18. 综合与探究 【问题情境】在中，，平分交于点． （1）【猜想证明】如图1，平分交于点F，连接，判断四边形的形状并证明． （2）【深入探究】平分交的延长线于点，交BE于点．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，直线与直线相交于点． ①以图2为例，求证：； ②若，，在旋转的过程中，连接，，当是以为直角边的直角三角形时，连接，请直接写出的长． 【答案】（1） 解：四边形为菱形，理由如下： 证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （2）①证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， 由旋转的性质，得， ，， ∴ ，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即； ②的长为或． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形即可； （2）①先证明，推出，即可证明； ②分两种情况讨论，当和时，利用解直角三角形的知识求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴设，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， 由旋转的性质得，， 如图，当点在线段上时，， 即是以为直角边的直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在线段下方时，， 即是以为直角边的直角三角形， 由①可知， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月初中学业水平调研考试(二) 数 学 注意事项：1．本试卷共4页，满分 100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 某种食品包装袋上标注质量为，对4袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）如下：，，，，则最接近标注质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算：（ ） A. B. C. D. 3. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 4. 将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 化学兴趣小组的同学整理了四种常见的物质：①氧气，②二氧化碳，③铜片，④高锰酸钾溶液．从中随机抽取两种物质，则抽到的两种物质均为无色的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线经过的点可以是（ ） A. B. C. D. 7. 《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，连接分别交，于点P、Q，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共4小题，每小题3分，共 12分) 9. 请你写出一个大于4小于5的无理数_____． 10. 化简∶ _________ 11. 如图，在矩形中，，，分别以A，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线；以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线于点E，连接，；分别以B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点F，则的长为_____． 12. 如图，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点在轴上，点B，C在轴上，与轴交于点，连接．若，，则的值为__________． 三、解答题(共6小题，共64分) 13. 计算与解方程： （1）计算∶ （2）解分式方程： 14. 如图1表示去年某地个月每月平均气温，如图2表示该地小聪家去年个月的用电量，图3表示当地对民用电收费的标准，小聪家常用的电器有灯、冰箱、空调、电车等等． 某地民用电收费标准信息表 月用电量 居民峰谷分时电价 高峰时段电价 () 单位：元 低谷时段电价 ()以外 单位：元 千瓦时以下 千瓦时 千瓦时及以上 图3 （1）根据图2求出个月中用电量的中位数以及超过千瓦时月份的月平均用电量． （2）根据统计图与信息表，请描述月用电量与气温间的一些关系，并对家庭用电提出一些建议． 15. 阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． （1）块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ （2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 16. 如图，在中，，点在斜边上，以为直径的与相切于点． （1）求证：平分； （2）若，求图中阴影部分的面积． 17. 春暖花开，正是放风筝的好时候．某数学兴趣小组开展了特色实践活动，设计并制作外形为拋物线型的风筝． 活动主题 设计一个外形为拋物线型的风筝 活动准备 竹条，专业伞布以及其他的制作工具 步骤1 用竹条设计制作一个“十”字形支架，如图1，垂直平分，垂足为，，，． 步骤2 以点为原点，以所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，确定过点、、三点的抛物线的表达式，画出图形，用伞布剪出拋物线型伞面，并用材料对外轮廓进行定型； 步骤3 为使风筝结构更加稳固，同时兼具对称美，用竹条构造三角形结构，连接、，同时构造另一个，使得点、在抛物线上，且与位似，位似比为，位似中心在直线上； 根据以上材料，解决下列问题： （1）求出图2中过、、三点的拋物线的表达式； （2）请求出图2中所有满足条件的点的坐标． 18. 综合与探究 【问题情境】在中，，平分交于点． （1）【猜想证明】如图1，平分交于点F，连接，判断四边形的形状并证明． （2）【深入探究】平分交的延长线于点，交BE于点．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，直线与直线相交于点． ①以图2为例，求证：； ②若，，在旋转的过程中，连接，，当是以为直角边的直角三角形时，连接，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $