21.7 课时2 正方形的判定 课件 2025-2026学年冀教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦正方形判定方法，通过回顾矩形、菱形判定定理，引导学生思考两者与正方形的关系，搭建从已知到未知的学习支架，帮助构建四边形知识脉络。 其亮点在于用韦恩图直观展示四边形包含关系培养几何直观，分类探究判定定理并表格总结发展推理能力，典例及即学即练通过全等证明、折叠问题强化应用意识。学生提升逻辑推理与综合应用能力，教师获得清晰教学思路与丰富例题。

21.7 正方形 （第二课时） 第二十一章 四边形 22100 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握正方形的判定方法，明确判定正方形的基本思路（既是矩形又是菱形），能运用判定方法进行几何证明与判断 经历正方形判定方法的探究、归纳与应用过程，体会逆向思维、类比思想、转化思想，提升逻辑推理与综合应用能力 在探究与辨析中感受数学的严谨性，培养主动思考、举一反三的学习习惯，体会正方形判定在实际问题中的应用价值 22100 1.说一说矩形的判定定理. 2.说一说菱形的判定定理. 有三个角是直角的四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 四条边相等的四边形是菱形. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 思考：能否根据矩形和菱形的判定定理，推出正方形的判定定理呢？ 22100 获取新知 邻边相等 矩形 正方形 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 22100 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 22100 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有. 性质：1.正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形 2.正方形的四个角都是直角； 3.四条边相等，对边平行； 4.正方形的对角线相等且互相垂直平分，也平分一组对角. A B C D 对称中心 对称轴1 对称轴2 对称轴3 对称轴4 22100 新知探究 正方形的判定 (1)从四边形出发： ①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形； ②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形； (2)从平行四边形出发： ①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (3)从矩形出发： ①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)从菱形出发： ①有一个角是直角的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形． 22100 新知探究 正方形的判定 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 先证矩形，再证一组邻边相等 （或对角线互相垂直） 先证菱形，再证有一个角是直角 （或对角线相等） 已知平行四边形 已知四边形有三个直角 或对角线相等 已知四边形四边相等 或对角线互相垂直平分 22100 平行四边形 矩形 有一个角是直角 正方形 菱形 一组邻边相等 一组邻边相等 有一个角是直角 一组邻边相等且有一个角是直角 正方形与平行四边形、矩形、菱形之间关系密切，那么如何判定一个四边形是正方形呢？ 活动1：探究判定正方形的方法 根据上图，回答问题： 22100 要判定一个平行四边形是正方形，可以先判定这个四边形是矩形，再证明这个矩形有一组邻边相等；也可以先判定这个四边形是菱形，再证明这个菱形有一个角是直角. 因此，判定一个平行四边形是正方形，只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可. 思考1：根据矩形的判定定理，若已知一个菱形，除有一个角是直角外，再添加什么条件，可使得这个四边形也是矩形? 对角线垂直 思考2：根据菱形的判定定理，若已知一个矩形，除有一组邻边相等外，再添加什么条件，可使得这个四边形也是菱形? 对角线相等 22100 正方形既是矩形又是菱形，所以要判定一个四边形是正方形，只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可.　 一个角是直角　 一组邻边相等　　 平行四边形 　 矩形 　 菱形 　 一组邻边相等　　 一个角是直角　 正方形　 22100 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形. 归纳总结 判定定理2：对角线垂直的矩形是正方形. 判定定理4：对角线相等的菱形是正方形. 22100 新知探究 四边形之间的关系 (1)平行四边形、矩形、菱形、正方形间的包含关系如图1. (2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如图2 图2 图1 22100 典例分析 例1 已知:如图，分别延长正方形ABCD 的边AB，BC，CD，DA 到点E，F，G，H，使BE=CF=DG=AH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH. 求证:四边形EFGH 是正方形. 证明: 四边形ABCD 是正方形, AB=BC=CD=DA ∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE=90° 又 BE=CF=DG=AH AE=BF=CG=DH. △EBF△FCG△GDH△HAE. EF=FG=GH=HE,∠EFB=∠HEA. 四边形EFGH 是菱形. 又∠EFB+∠FEB=90° ∠FEB+∠HEA=90°,即∠FEH=90° 菱形EFGH 是正方形. 首先通过三角形全等证明四边形 EFGH 的四条边相等，判定它是菱形； 再证明其中一个角是直角，从而判定它是正方形 22100 判定一个四边形是正方形，只要这个四边形既是矩形又是菱形即可. 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形. 判定定理2：对角线垂直的矩形是正方形. 判定定理4：对角线相等的菱形是正方形. 注意：正方形的定义也可以是对其进行判定的依据. 22100 例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°， ∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°. 22100 例3 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么? 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. 22100 即学即练 方法技巧 利用 “正方形四边相等”，通过线段相减得到 BE=CF=DM=AN，是构造全等三角形的基础。 证明直角时，利用 “同角的余角相等”，将分散的角集中到四边形的一个内角中，快速得到 90° 角 已知:如图，点E，F，M，N分别在正方形ABCD的四条边上，且AE=BF=CM=DN. 求证:四边形EFMN 是正方形. 证明：四边形ABCD是正方形 AB=BC=CD=AD 又AE=BF=CM=DN 可得BE=CF=DM=AN 在△AEN和△BFE中， △AEN△BFE 同理可得△AEN△BFE△CMF△DNM EF=MF=MN=EN 四边形EFMN是菱形 又∠ANE=∠DMN，∠ANE+∠DNM=90°，∠ENM=90° 四边形EFMN是正方形 22100 即学即练 方法技巧 折叠问题的本质是轴对称，折叠前后对应边、对应角相等。本题中，关键是抓住 “折叠后邻边重合” 这一点，结合矩形的直角性质，直接推出 “邻边相等的矩形”，从而得到正方形。 如图，把一张矩形纸片折叠，把重叠部分剪下来，展开后可以得到一个怎样的四边形? 为什么? 解：正方形． 因为有三个角是直角，所以是矩形， 由折叠可知一组邻边相等，所以是正方形． 22100 已知：如图，分别延长正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA到点E，F，G，H，使BE=CF=DG=AH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH. 问题1：EF，FG，GH，HE 之间有什么数量关系？ 问题2：∠FEH的度数是多少？ 问题3：四边形EFGH是什么形状？ ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE=90°. 又∵BE=CF=DG=AH，∴AE=BF=CG=DH. ∴△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE. ∴EF=FG=GH=HE. 活动2：正方形判定定理的应用 22100 已知：如图，分别延长正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA到点E，F，G，H，使BE=CF=DG=AH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH. 问题2：∠FEH的度数是多少？ 问题3：四边形EFGH是什么形状？ ∵△EBF≌△HAE， ∴∠EFB=∠HEA. ∴四边形EFGH为菱形. 又∵∠EFB+∠FEB=90°， ∴∠FEB+∠HEA=90°，即∠FEH=90°， 正方形 22100 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE=90°. 又∵BE=CF=DG=AH，∴AE=BF=CG=DH. ∴△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE. ∴EF=FG=GH=HE，∠EFB=∠HEA. ∴四边形EFGH为菱形. 又∵∠EFB+∠FEB=90°， ∴∠FEB+∠HEA=90°，即∠FEH=90°， ∴四边形EFGH是正方形. 已知：如图，分别延长正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA到点E，F，G，H，使BE=CF=DG=AH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH. 求证：四边形EFGH是正方形. 22100 随堂演练 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 B 22100 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是(　　) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角形互相垂直平分 B 22100 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 转化与化归 演绎推理 22100 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形. 判定定理2：对角线垂直的矩形是正方形. 判定定理4：对角线相等的菱形是正方形. 怎样判定一个四边形是正方形？正方形有哪些判定定理？ 22100 课堂小结 四条边都相等 两组对边分别平行 两条对角线互相平分 边 对角线 角 两组对角分别相等，邻角分别互补 四个角都是直角 对角线相等 正方形 对称性 中心对称图形（对角线的交点） 轴对称图形（对角线和对边中点所在的直线） 两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角 1. 正方形的性质 22100 $