专题25.2（1） 配方法解一元二次方程 讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题25.2（1） 一元二次方程解法——配方法 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 直接开平方法 题型2 二次项系数为1的配方 题型3 二次项系数不为1的配方 题型4 配方法综应用 1.掌握直接开平方法解型方程； 2.理解配方原理，熟练用配方法解二次项系数为 1、不为 1 的一元二次方程； 3.能利用配方将二次三项式变形为完全平方式； 4.经历 “降次” 转化过程，体会转化思想、完全平方公式的运用。 知识点讲解 1.直接开平方： 依据：平方根的意义 常见形式： ① 若，则=， ② 若，则=， 2.配方法 依据：完全平方公式 降次思想：把一元二次方程转化为=p的形式，再用直接开平方法求解 配方关键：等式两边同时加上一次项系数一半的平方 分类形式： ① 二次项系数为 1； ② 二次项系数不为 1：先两边同除二次项系数，化为系数 1 再配方； 拓展用途：对二次三项式配方，可求代数式最大、最小值。 题型归纳 题型1 直接开平方法解方程 【例1】解下列方程： (1)． (2)． 【例2】用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【变式练习】 1．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 2．方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．方程的解是__________． 4．定义新运算“”，对于实数a和非零实数b，规定，若，则__________． 5. 解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 6．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 题型2 二次项系数为1的配方 【例1】填空： （1）____________________； （2）____________________； （3）____________________； （4）____________________． 【例2】用配方法解下列方程： (1)． (2)． 配方依据：完全平方公式 配方关键：等式两边同时加上一次项系数一半的平方 【变式练习】 1．（1）____________； （2）____________． 2．解方程：． 3．解方程：． 4．解方程：． 5．用配方法解方程：． 题型3 二次项系数不为1的配方 【例1】解下列方程： (1)； (2)． 【方法点睛】配方法的核心步骤为： 先将二次项系数化为1； 再移项将常数项移至方程右侧； 接着在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式； 最后通过直接开平方法求解方程的根． 【变式练习】 运算能力用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4 配方法的综合应用 【例1】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式的最小值，解法如下： 解： ∵，∴．∴的最小值是3． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)求代数式的最小值． (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式的值总是正数． 【例2】【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式练习】 1．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 3．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 4．当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 5．若定义：，则代数式的最小值为______． 6．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 一、单选题过关练习 1．用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程时，配方后的等式为（    ） A． B． C． D． 3．若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 5．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 9．某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，开始出现错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 二、填空题 11．方程的根是_________． 12．方程的根是__________． 13．方程的较小实数根为_____． 14．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 15．设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 16．代数式的最小值为______． 17．，x取何值时，函数在实数范围内有意义______________． 18．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则的最小值为_____． 三、解答题 19．求下列式子中的值： (1) (2) 20．解方程： (1)； (2)． 21．解方程： (1)； (2)． 22．解一元二次方程： (1)； (2)． 23．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 24．对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题25.2（1） 一元二次方程解法——配方法 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 直接开平方法 题型2 二次项系数为1的配方 题型3 二次项系数不为1的配方 题型4 配方法综应用 1.掌握直接开平方法解型方程； 2.理解配方原理，熟练用配方法解二次项系数为 1、不为 1 的一元二次方程； 3.能利用配方将二次三项式变形为完全平方式； 4.经历 “降次” 转化过程，体会转化思想、完全平方公式的运用。 知识点讲解 1.直接开平方： 依据：平方根的意义 常见形式： ① 若，则=， ② 若，则=， 2.配方法 依据：完全平方公式 降次思想：把一元二次方程转化为=p的形式，再用直接开平方法求解 配方关键：等式两边同时加上一次项系数一半的平方 分类形式： ① 二次项系数为 1； ② 二次项系数不为 1：先两边同除二次项系数，化为系数 1 再配方； 拓展用途：对二次三项式配方，可求代数式最大、最小值。 题型归纳 题型1 直接开平方法解方程 【例1】解下列方程： (1)． (2)． 【详解】（1）解：移项，得， 系数化为1，得， 开平方，得， ，． （2）解：移项，得， 系数化为1，得， 开平方，得， ，． 【例2】用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【详解】（1）解：（1）， ， 或， 解得，． （2）， ， ， ， 解得，． 【变式练习】 1．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵任何实数的平方都是非负数，即，而， ∴该一元二次方程无实数根． 故选C． 2．方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 3．方程的解是__________． 【详解】解：， 移项得， 两边除以3得， 开平方得， 解得或． 故答案为：． 4．定义新运算“”，对于实数a和非零实数b，规定，若，则__________． 【详解】解：由新运算定义，， ∴． ∵， ∴． ∴或，即或． 故答案为：或． 5. 解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：， ， ， 开平方得：， 所以，． （2）解：， ， 开平方得：， 所以，． （3）解：， 开平方，得：或， 所以． 6．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 题型2 二次项系数为1的配方 【例1】填空： （1）____________________； （2）____________________； （3）____________________； （4）____________________． 【详解】解：（1）， 故答案为：9，3； （2）， 故答案为：16，4； （3）， 故答案为：，； （4）， 故答案为：，． 【例2】用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程整理后利用配方法解方程即可； （2）将原方程整理后利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，； （2）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，． 配方依据：完全平方公式 配方关键：等式两边同时加上一次项系数一半的平方 【变式练习】 1．（1）____________； （2）____________． 【答案】 25 5 【详解】解：（1）， （2）． 2．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，重点考查配方法的运用．先通过移项将常数项移到等号右侧，再在方程两边添加一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后利用直接开平方法求解未知数． 【详解】解：移项得； 配方，得，即； 开平方，得， ∴或； ∴，． 3．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的配方法是解题关键． 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，再开平方求解得出方程的两个根． 【详解】解：， 配方得，即， 开方得， 解得，． 4．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】解：． 移项，得， 配方，得， 即． ． ． 5．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要 考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用配方法求解方程是解题的关键；因此此题可根据配方法进行求解方程． 【详解】解： ∴． 题型3 二次项系数不为1的配方 【例1】解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 【方法点睛】配方法的核心步骤为： 先将二次项系数化为1； 再移项将常数项移至方程右侧； 接着在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式； 最后通过直接开平方法求解方程的根． 【变式练习】 运算能力用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：两边同时除以2得：， 移项得：， 配方得：，即， 开平方得：， ∴， 即，； （2）解：两边同时乘以2得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，； （3）解：两边同时乘以得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，； （4）解：展开得：， 合并同类项得：， 移项得：， 两边同时除以2得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，． 题型4 配方法的综合应用 【例1】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式的最小值，解法如下： 解： ∵，∴．∴的最小值是3． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)求代数式的最小值． (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式的值总是正数． 【详解】（1）解： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解： ∵ ∴ ∴的最小值为3； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ ∴不论x为何值；代数式的值总是正数． 【例2】【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【变式练习】 1．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用完全平方公式将原方程转化为指定的完全平方形式，确定参数a和b的值后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 即， 与对比，得， ∴， 故选：A． 2．多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 3．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 4．当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【答案】 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式通过配方变形为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，代数式有最大值，其最大值为． 5．若定义：，则代数式的最小值为______． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，配方法的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 6．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）仿照题意可得，可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可推出，得到的最小值为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，代数式的值恒为正数； （2）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为， 又∵代数式的最小值为， ∴， ∴． 一、单选题过关练习 1．用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即． 2．用配方法解一元二次方程时，配方后的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，整理即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 一次项系数为，其一半的平方为，等式两边同时加得， 整理得． 3．若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 4．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 移项得， 两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得． 5．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程——配方法判断选项即可． 【详解】解：， ， ，即． 6．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 7．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 8．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 9．某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，开始出现错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】需逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：班长：， 甲：两边同除以3，得，正确， 乙：配方，两边加1，得，即，但乙写成了，错误， ∴开始出现错误的是对应选项为B． 10．我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【分析】根据“伙伴方程”的定义可得可以变形，展开成一般式后根据系数相等列方程解得，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵与是伙伴方程， ∴可以变形， 即， ∴，， 解得，， ∴， ∴代数式能取的最大值是． 二、填空题 11．方程的根是_________． 【答案】， 【分析】先移项将方程化为的形式，再用直接开平方法求解方程的根． 【详解】解：移项得， 对等式两边开平方得， 即，． 12．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 13．方程的较小实数根为_____． 【答案】/ 【分析】对方程两边开平方得到两个一元一次方程，求解得到方程的两个根，比较根的大小即可得到较小实数根． 【详解】解：对方程两边直接开平方，得 ， 即或， 解得，， ， 方程的较小实数根为． 14．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 15．设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 16．代数式的最小值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了配方法的应用，通过配方将表达式转化为完全平方式与常数的和的形式，再利用非负性即可求出最小值． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为1， 即代数式的最小值为1． 故答案为：1． 17．，x取何值时，函数在实数范围内有意义______________． 【答案】x为任意实数 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数需大于等于，对被开方数配方后判断其取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】解：根据题意，得， ∵，且， ， ∴对任意实数，不等式恒成立， ∴为任意实数时，该函数在实数范围内有意义． 18．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】依据题意，先化成材料中的例子的形式，再仿照材料中的例子，即可求得答案． 【详解】解：， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 三、解答题 19．求下列式子中的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直接开平方法计算即可； （2）根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：， ， ∴． 20．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得． 21．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将移到方程右边，然后开方求解； （2）将移到方程右边，然后将方程左边配方成完全平方公式，然后开方求解． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得，． 22．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 解得：，． 23．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 【答案】(1)；1 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 24．对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方式的结构特征确定常数项； （2）按照题干给出的配方法，先凑出完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （3）先提取公因式，利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：设括号内的常数为， 由于是完全平方式， 则， 解得：， 因此，括号内的常数应为； （2）解： ； （3）解： ． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $