25.2 解一元二次方程（知识解读）-2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版）

本讲义聚焦解一元二次方程核心知识点，系统梳理直接开平方法、配方法、根的判别式、公式法、因式分解法及根与系数的关系，从基础解法到综合应用，构建完整知识支架，帮助学生逐步掌握解题思路。 资料通过题型归纳（如配方法求最值、根与系数关系计算参数）培养学生运算能力与推理意识，例题与变式题结合，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，体现用数学思维解决问题的核心素养。

25.2 解一元二次方程（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 可化为】 2 【题型2 可化为】 3 【题型3 配方】 3 【题型4 用配方法解方程】 4 【题型5 配方法的应用】 4 【题型6 判断根的情况】 5 【题型7 求参数的值或取值范围】 7 【题型8 用公式法解方程】 7 【题型9 用因式分解法解方程】 9 【题型10 运用根与系数的关系计算】 10 【题型11 运用根与系数的关系求参数的值】 10 【随堂检测】 10 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点2 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【题型1 可化为】 【例1】一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】方程 的正根为（     ） A． B． C． D． 【题型2 可化为】 【例2】解方程：． 【变式2-1】解方程：． 【变式2-2】解方程：． 【变式2-3】解方程： 【题型3 配方】 【例3】用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】方程配方后的形式是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 【题型4 用配方法解方程】 【例4】解方程： 【变式4-1】解方程：． 【变式4-2】解方程：． 【变式4-3】（用配方法解方程） 【题型5 配方法的应用】 【例5】阅读理解并解答： (1)【方法呈现】把一个多项式进行配方，可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则代数式的最小值是______，这时相应的x的值是______； (2)【尝试应用】求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 【变式5-1】已知实数，满足，你认为能够求出和的值吗？如果能，请求出，的值；如果不能，请说明理由． 【变式5-2】选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． (1)对进行配方， ） ； (2)已知，求的值． 【变式5-3】读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则______，______． (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值． 知识点3 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【题型6 判断根的情况】 【例6】一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有一个实数根 【变式6-1】方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式6-2】已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【变式6-3】已知关于的方程． (1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求的值． 【题型7 求参数的值或取值范围】 【例7】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【变式7-1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【变式7-2】已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【变式7-3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【题型8 用公式法解方程】 【例8】解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【变式8-1】用公式法解方程：． 【变式8-2】用公式法解方程： (1)； (2)． 【变式8-3】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【题型9 用因式分解法解方程】 【例9】解方程：． 【变式9-1】解方程： (1) (2) 【变式9-2】解下列方程： (1)； (2)． 【变式9-3】解方程 (1)； (2)． 知识点6 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 【题型10 运用根与系数的关系计算】 【例10】如果，是一元二次方程的两个根，则（    ） A． B． C． D．3 【变式10-1】已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则（    ） A． B．2 C． D．3 【变式10-2】已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【变式10-3】已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【题型11 运用根与系数的关系求参数的值】 【例11】一元二次方程的两根分别为，若，则c的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式11-1】已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知关于x的一元二次方程的两个根互为倒数，则____________ 【变式11-3】设，是关于的方程的两个根，且，则__________． 随堂检测c 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 2．将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 4．，是关于的一元二次方程两个根，则值为（     ） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 6．关于x的方程的两根分别为和，若，则_______． 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则这个三角形的斜边长____． 8．解一元二次方程： (1)； (2)． 9．解方程 (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3) 10．关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求方程的根． 11．若关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2 解一元二次方程（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 可化为】 2 【题型2 可化为】 4 【题型3 配方】 5 【题型4 用配方法解方程】 6 【题型5 配方法的应用】 8 【题型6 判断根的情况】 12 【题型7 求参数的值或取值范围】 14 【题型8 用公式法解方程】 15 【题型9 用因式分解法解方程】 19 【题型10 运用根与系数的关系计算】 21 【题型11 运用根与系数的关系求参数的值】 22 【随堂检测】 23 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点2 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【题型1 可化为】 【例1】一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 【变式1-1】方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可用直接开平方法计算，先移项，再将的系数化为，最后开平方即可得到方程的根． 【详解】解： ，． 【变式1-2】一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，用平方根的定义即可求方程的根，进而得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【变式1-3】方程 的正根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】移项得， ∴， ∴方程 的正根为， 故选：． 【题型2 可化为】 【例2】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是正确选择合适的方法求解． 根据直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 移项得， 直接开平方得， ，． 【变式2-1】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．运用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 开方，得， 解得，． 【变式2-2】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 【变式2-3】解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 【题型3 配方】 【例3】用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式对等式左边进行配方，即可得结论． 【详解】解：， ∴， ∴． 【变式3-1】方程配方后的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤对原方程变形即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴移项得 ， ∴方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 将左边整理为完全平方形式，得， 即方程配方后的形式是． 【变式3-2】若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 【变式3-3】用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为题目要求的形式，得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：， 方程两边同除以2，得， 移项得 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方16，得 ， 整理得，即 对比，得 ∴． 【题型4 用配方法解方程】 【例4】解方程： 【答案】 【分析】根据配方法得出，再开方求解即可． 【详解】解： ∴ ∴， ∴， 解得：． 【变式4-1】解方程：． 【答案】，． 【分析】运用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ，即， ， ∴，． 【变式4-2】解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 整理得，， 解得，． 【变式4-3】（用配方法解方程） 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，. 【题型5 配方法的应用】 【例5】阅读理解并解答： (1)【方法呈现】把一个多项式进行配方，可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则代数式的最小值是______，这时相应的x的值是______； (2)【尝试应用】求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 【答案】(1)2， (2)代数式有最大值59，相应的x的值为7 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题干过程，则当时，则，即可作答． （2）模仿题干过程，则，因为，则．当时，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，． 当时，则， 则代数式的最小值是2，这时相应的x的值是， 故答案为：，； （2）解： ， ∵， ∴， ∴． 当时，则， 则代数式的最大值是59，这时相应的x的值是． 【变式5-1】已知实数，满足，你认为能够求出和的值吗？如果能，请求出，的值；如果不能，请说明理由． 【答案】能，， 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，对等式左边进行配方得，进而根据非负数的性质可得，，解之即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：能，理由如下： ， ， ， ，， ，， ，． 【变式5-2】选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． (1)对进行配方， ） ； (2)已知，求的值． 【答案】(1)4，5 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）利用配方法即可填空； （2）利用配方法把原式写成两个完全平方式的和的形式，再利用非负数的性质可求得的值，即可求出的值． 【详解】（1） ， 故答案为：，； （2）∵， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴． 【变式5-3】读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则______，______． (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值． 【答案】(1)6， (2) 【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形三边关系，因此此题可： （1）根据题干所给方法可直接进行求解； （2）根据题干所给方法求出a、b的值，然后再根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴； 故答案为6，； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∵c是正整数， ∴． 知识点3 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【题型6 判断根的情况】 【例6】一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】根据判别式与的大小关系即可判断根的情况． 判别式的判断规则为：时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程无实数根． 将方程对应系数代入计算判别式即可得到结果． 【详解】解：∵ 一元二次方程 中，二次项系数，一次项系数，常数项， ∴ ， ∵ ，即， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 【变式6-1】方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，根据判别式与0的大小关系即可判断根的情况． 【详解】将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【变式6-2】已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）直接把代入到原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：方程有一实数根为3， ∴， 解得； （2）证明：∵关于x的一元二次方程 ， 无论取何值，方程总有实数根． 【变式6-3】已知关于的方程． (1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2025 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）代入可得出，将其代入中即可求出结论． 【详解】（1）解： ； 因为， 所以， 所以无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：当时代入得，， 即， ． 【题型7 求参数的值或取值范围】 【例7】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得， 解得：， 故答案为：. 【变式7-1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0. 再结合方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于0. 解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 又方程有两个不相等的实数根， 根的判别式，即， 解得， 综上，的取值范围为且． 【变式7-2】已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据有两个相等实数根可得根的判别式的值为.据此列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程中， ，，， 因为方程有两个相等的实数根， 所以， 代入系数得：， 整理得， 解得． 【变式7-3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，当一元二次方程有两个不相等的实数根时根的判别式大于0求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为， 即， 解得． 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 即， 解得， 综上，的取值范围是且． 【题型8 用公式法解方程】 【例8】解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 【变式8-1】用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ，． 【变式8-2】用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用公式法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式8-3】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可； （3）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 代入求根公式，得， ，； （2）将方程化为一般形式，得， ， ， 代入求根公式，得， ，； （3）， ， 代入求根公式，得：， ． 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【题型9 用因式分解法解方程】 【例9】解方程：． 【答案】 【详解】解：原式移项，得， 因式分解，得， 即， 或， 解得：． 【变式9-1】解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原式分解因式可得，，解方程即可； （2）将原式分解因式可得，，解方程即可． 【详解】（1）解：， 分解因式得，， 可得或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得，， 可得或， 解得：，． 【变式9-2】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 【变式9-3】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：整理得， 因式分解得， ∴或， ∴，． 知识点6 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 【题型10 运用根与系数的关系计算】 【例10】如果，是一元二次方程的两个根，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴． 【变式10-1】已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程中，二次项系数，一次项系数，，是方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得， ∵， ∴， 解得． 【变式10-2】已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系与代数式求值．先根据根与系数的关系求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根，且，，， ∴ ，， ∴． 【变式10-3】已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得， ∵， ∴代入得． 【题型11 运用根与系数的关系求参数的值】 【例11】一元二次方程的两根分别为，若，则c的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，代入已知等式即可求解． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵， 由根与系数的关系得， ∵， ∴， 解得． 【变式11-1】已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 【变式11-2】已知关于x的一元二次方程的两个根互为倒数，则____________ 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合两个根互为倒数得到两根之积为，即可求出的值． 【详解】解：设关于的一元二次方程的两个根分别为． 由根与系数的关系可得 ． ∵方程的两个根互为倒数， ∴，即． 【变式11-3】设，是关于的方程的两个根，且，则__________． 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合已知，先求出方程两个根的值，再计算得到的值． 【详解】解：，是方程的两个根， ∴，， 又， ， 解得， 则， ． 随堂检测c 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， 则或， 解得：，． 2．将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边整理为完全平方式，即可得到结果． 【详解】解： 移项，得． 两边都加一次项系数一半的平方，得， 即． 3．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的系数计算根的判别式Δ，通过Δ与0的大小关系判断根的情况，规则为时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程无实数根． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项 ∴ ∴ 方程有两个不相等的实数根． 4．，是关于的一元二次方程两个根，则值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系，计算两根之积即可得到答案． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 若方程两根为，则两根之积 ， ∵原方程为，可得， ∴ ． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 6．关于x的方程的两根分别为和，若，则_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式得到两根之积与的关系，代入已知条件即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程的两根分别为和， ∴， ∵ ， ∴． 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则这个三角形的斜边长____． 【答案】 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，利用根与系数的关系得到与的值，再利用勾股定理结合完全平方公式的变形求出斜边长即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴． 8．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可. 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴两边都加得：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 9．解方程 (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用因式分解的方法解方程即可. 【详解】（1）解：， 移项得，， 等式两边同时加上得，， ∴配方得，， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴，， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，，． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，. 10．关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：已知关于的方程有两个实数根， 其中，，， 可得， 解得； （2）解：当时，原方程可化为， 因式分解得， 即或， 解得，． 11．若关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； （2）解： ，，， ， 整理得， 解得或， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $