21.6 菱形（第2课时）课件 2025--2026学年冀教版八年级数学下册期末模拟卷（一）

这是一份初中数学“菱形（第二课时）”的课件，适用于期末复习。内容涵盖学习目标、菱形性质回顾、判定定理（定义法、四边相等的四边形、对角线垂直的平行四边形）的探究（猜想、证明、动手操作）、例题讲解及总结表格，构建完整学习支架。 资料特色突出，以逆向思维引导判定定理探究，通过小刚尺规作图、动手画四边相等四边形等活动培养几何直观，结合全等证明和符号语言规范发展推理能力。融入转化与化归思想，例题综合平行四边形性质提升应用能力，帮助学生夯实基础，为教师提供结构化教学资源。九年级学生面临升学考试，需重点掌握菱形判定的综合应用，本资料通过系统探究和例题解析，助力学生掌握考点，提升解题技能。

21.6 菱形 （第二课时） 第二十一章 四边形 22100 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握菱形的两个判定定理（四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形），能运用判定定理进行几何证明与判断 经历菱形判定定理的探究、猜想与证明过程，体会逆向思维、转化与化归、类比的数学思想，提升逻辑推理与综合应用能力 在探究与辨析中感受数学的严谨性，培养主动思考、举一反三的学习习惯，体会菱形判定在实际问题中的应用价值 22100 菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 菱形的性质定理是什么？ 思考：反过来，如果一个四边形的四条边都相等，那么能判断这个四边形是菱形吗？如果一个平行四边形的对角线互相垂直，那么能判断这个平行四边形是菱形吗？ 22100 获取新知 菱形的判定方法一：定义法 根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法： ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 符号语言 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. A B C D 22100 菱形的判定方法二：边判定法 已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？ C A B D 小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点. 你觉得小刚的做法对吗？为什么？ 事实上，我们有：四边都相等的四边形是菱形. 一起探究 22100 新知探究 我们已经知道，菱形的四条边都相等. 反过来，一个四边形四条边都相等，就能判定它是矩形呢？ 如果一个四边形四条边都相等，说明两组对边分别相等，可以得证四边形是平行四边形 再根据一组邻边相等，可以用定义法证明这是菱形 探究一 22100 新知探究 证明 已知:如图，在四边形ABCD 中，AB= BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD 是菱形. 证明: AB=CD,且BC=DA, 四边形ABCD 是平行四边形. 又 AB=DA, 四边形ABCD 是菱形 22100 新知探究 菱形判定定理一 四条边相等的四边形是菱形 几何语言： 如图，AB=BC=CD=AD 四边形ABCD是菱形 注意事项： 定理直接对四边形生效，无需先证明它是平行四边形，只要四条边都相等，就能判定为菱形 必须是四条边都相等，仅邻边相等无法保证对边也相等 22100 1.动手操作：画两条等长的线段AB，AD.分别以点B， D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧相交于点C.连接BC，CD，得到四边形ABCD. 猜想：四条边相等的四边形是菱形. A B C D 活动1 探究判定菱形的方法 问题：量一量，四边形ABCD是菱形吗？ 是 22100 验证：四条边相等的四边形是菱形. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA． 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB=CD，且BC=DA， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=DA， ∴ 四边形ABCD是菱形. A B C D 22100 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. A B C D 证明：∵AB=CD , BC=AD , ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形. 验证 22100 全品初中 AB=BC=CD=AD ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD 菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形. 四边形ABCD A B C D 符号语言： 归纳总结 22100 新知探究 如图,▱ABCD 的两条对角线AC，BD 互相垂直，O 是这两条对角线的交点. (1) 你能说明图中的 Rt△ABO，Rt△CBO， Rt△CDO，Rt△ADO 都是全等的吗? (2)平行四边形ABCD 的四条边都相等吗? (3)请总结你的猜想. (1)全等，理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。 又 AC⊥BD， ∠AOB=∠COB=∠COD=∠AOD=90° 在 Rt△ABO 和 Rt△CBO 中： ​ Rt△ABORt△CBO（SAS） 同理可证：Rt△CBORt△CDO，Rt△CDORt△ADO 因此，Rt△ABORt△CBORt△CDORt△ADO “每条对角线都平分 一组对角的四边形是菱形”也是正确的,同学们可以尝试证明 22100 新知探究 如图,▱ABCD 的两条对角线AC，BD 互相垂直，O 是这两条对角线的交点. (1) 你能说明图中的 Rt△ABO，Rt△CBO， Rt△CDO，Rt△ADO 都是全等的吗? (2)平行四边形ABCD 的四条边都相等吗? (3)请总结你的猜想. (2)四条边都相等 由(1)可知Rt△ABORt△CBORt△CDORt△ADO ∴AB=BC=CD=AD ∴四边形ABCD是菱形 总结 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 “每条对角线都平分 一组对角的四边形是菱形”也是正确的,同学们可以尝试证明 22100 四条边相等的四边形是菱形 A B C D 菱形的判定定理 符号语言： 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形. 22100 大家谈谈 A B C O D ┐ 如图，□ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，O是这两条对角线的交点. (1)你能说明图中的Rt△ABO，Rt△CBO，Rt△CDO，Rt△ADO都是全等的吗？ (2)□ABCD的四条边都相等吗？ 相等 全等 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形的判定方法三：对角线判定法 22100 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. A B C O D 验证猜想 22100 新知探究 如图,▱ABCD 的对角线AC平分∠BAD、∠BCD，对角线BD平分∠ABC、∠ADC，O 是这两条对角线的交点. 求证四边形ABCD是菱形. 证明： 四边形ABCD是平行四边形 ∠BAD=∠BCD 又AC平分∠BAD、∠BCD ∠OAB=∠OCB 同理，∠ABO=∠CBO 在△AOB和△COB中 △AOB△COB(AAS) AB=BC 四边形ABCD是平行四边形 22100 新知探究 菱形的判定定理二 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 几何语言： AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是菱形 注意事项： 定理的两个核心条件必须同时满足：四边形是平行四边形；对角线互相垂直。 二者缺一不可，只有对角线垂直的普通四边形（如筝形）不是菱形。 22100 A B C D O 问题1：你能说明图中的Rt△ABO，Rt△CBO，Rt△CDO，Rt△ADO都是全等的吗? 都全等 相等 2.如图,平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，O是两条对角线的交点. 问题2：平行四边形ABCD的四条边都相等吗? 问题3：求证：四边形ABCD是菱形. 22100 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC， OD=OB. 又∵AC⊥BD, ∠AOD=∠COD=∠COB=∠AOB=90°， ∴ ∆AOD ∆COD ∆COB ∆AOB， ∴AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 你还有其他方法吗？ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO. ∵BD⊥AC, ∴AB=BC, ∴▱ABCD是菱形. 2.如图,平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，O是两条对角线的交点.求证：四边形ABCD是菱形. A B C D O 22100 在四边形ABCD中,由AC平分∠BAD和∠BCD, 可证△ABC≌△ADC(ASA), 从而得到AB=AD,CB=CD; 同理,利用BD平分∠ABC和∠ADC, 可证AB=BC, AD=DC. 因此，AB=BC=CD=DA，得出结论. A B C D O 思考：如果一个四边形的每条对角线都平分一组对角，那么这个四边形是菱形吗? 每条对角线都平分一组对角的四边形是菱形. 22100 AC⊥BD ∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. 符号语言： A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 归纳总结 22100 例题讲解 例1 已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F. 求证：四边形AEDF是菱形. C A B D E F 1 2 3 证明：∵ DE∥AC， DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形. ∴∠1=∠3. 又∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3.∴AE=DE. ∴四边形AEDF是菱形. 22100 例2 如图，在▱ ABCD中，AC=8，BD=6，AB=5， 求AD的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA= AC=4，OB= BD=3. 又∵AB=5，满足AB2=OA2+OB2， ∴△AOB为直角三角形，即OA⊥OB. ∴ ▱ ABCD是菱形， ∴AD=AB=5. A B C D O 22100 新知探究 判定方法 文字表述 适用条件 几何语言示例 易错提醒 定义法 一组邻边相等的平行四边形是菱形 先证平行四边形，再证一组邻边相等 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC ∴ 四边形ABCD是菱形 不能直接说 “一组邻边相等的四边形是菱形” 判定定理 1 四条边相等的四边形是菱形 无需先证平行四边形，直接证四条边都相等 ∵AB=BC=CD=AD ∴ 四边形ABCD是菱形 必须是四条边都相等，仅邻边相等不成立 判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 先证平行四边形，再证对角线互相垂直 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是菱形 不能直接说 “对角线互相垂直的四边形是菱形” 总结 22100 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 A B C D O 菱形的判定定理 注意：根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 符号语言： 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形. 22100 证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠1=∠3. 又∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3. ∴AE=DE， ∴四边形AEDF是菱形. 已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F. 求证：四边形EFGH是菱形. A B C D E F 1 2 3 在证明一个四边形是菱形时，菱形的定义往往是最基本、最直接的方法. 22100 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 转化与化归 演绎推理 22100 课堂小结 一组邻边相等 对角线互相垂直 四条边相等 四种判定方法 四边形 平行四边形 菱形 菱形的判定方法： 22100 $