21.6菱形的性质（课时1）课件2025-2026学年冀教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦菱形的定义及性质，通过展示铁丝网、衣帽架等生活图片导入，引导学生从平行四边形出发，探究“一组邻边相等”的特殊化过程，搭建从已知到新知的学习支架。 其亮点在于以折叠实验和观察测量为基础，结合严谨的性质证明培养推理能力，例题融入勾股定理和坐标系应用提升应用意识。通过几何直观与逻辑推理结合的教学方法，系统归纳菱形边、角、对角线性质及面积公式，助力学生发展空间观念与创新意识，也为教师提供结构化的教学资源。

21.6 菱形 （第一课时） 第二十一章 四边形 22100 学 习 目 标 1 2 3 理解菱形的定义，掌握菱形的性质定理（四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角），能运用性质进行计算与证明 经历菱形性质的探究、猜想与证明过程，体会类比、转化、数形结合的数学思想，提升逻辑推理与几何分析能力 在动手操作与合作探究中感受菱形的对称性与数学美，培养严谨的几何思维，体会菱形在生活中的应用价值 22100 情景导入 铁丝网 衣帽架 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 伸缩门 22100 全品初中 新知探究 菱形的定义 我们把有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 菱形是中心对称图形，也是轴对称图形 平行四边形 菱形 有一组邻边相等 菱形是一种特殊的平行四边形，那么除了平行四边形的性质，菱形还有哪些独特的性质呢？ 22100 新知探究 探究活动一 如图，将一张菱形纸片ABCD按图示方法折叠后，再展开. 对折 再对折 展开 A B C D A(C) B D A(C) O B(D) A B C D O 思考问题 两条折痕的交点 O 是菱形的对称中心吗？ 菱形是轴对称图形吗？有几条对称轴？分别是哪些直线？ 通过折叠我们可以发现，菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 O；同时它也是轴对称图形，有 2 条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，即图中直线AC，BD。 22100 新知探究 探究活动二 如图，四边形ABCD 是菱形， 通过观察与测量，回答下列问题. (1)菱形的四条边有怎样的数量关系？ (2)菱形的两条对角线有怎样的位置关系？ (3)对角线与对角有什么关系？ 通过观察和测量，我们发现： 菱形的四条边相等； 两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 这些性质应该如何用数学定理严谨证明 22100 获取新知 观察与思考 发现：上面的图形皆是平行四边形，且有一组邻边相等 邻边相等 平行四边形 菱形 22100 菱形的引入也是基于平行四边形上的改造，类似于矩形，所以也是一般到特殊的过程，是共性与个性的细化，学生要弄清两者之间的关系 7 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. A D C B ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. 菱形的定义： 几何语言： 归纳小结 注意：菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的判定方法 22100 观察下列将一个菱形纸片ABCD折叠再展开的过程，回答下列问题. A B C D 对折 C A B D (C) 再对折 B (C) A D (B) O 展开 问题1 ：菱形ABCD是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？ A B C D O 活动1 探究菱形的对称性 问题2 ：菱形ABCD是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？都是哪些直线？ 是，对称中心是点O 是，有2条对称轴，直线AC和直线BD 22100 1.菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. 2.菱形是轴对称图形，一共有2条对称轴.这2条对称轴是菱形对角线所在的直线. A B C D O 22100 新知探究 已知:如图，四边形ABCD 是菱形，AB=AD. 求证:(1)AB=BC=CD=DA. (2)AC⊥DB. (3)∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA 证明:(1) 四边形ABCD 是菱形, AB=CD，AD=CB. 又 AB=AD， AB=BC=CD=DA. 菱形的性质一： 菱形四条边相等 22100 新知探究 已知:如图，四边形ABCD 是菱形，AB=AD. 求证:(1)AB=BC=CD=DA. (2)AC⊥DB. (3)∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA 证明:(2)在△ADO 和△CDO 中 DA=DC，DO=DO，AO=CO △ADO△CDO ∠AOD=∠COD 又 ∠AOD+∠COD=180° ∠AOD=∠COD=90° AC⊥DB 菱形的性质二： 菱形对角线互相垂直 22100 新知探究 已知:如图，四边形ABCD 是菱形，AB=AD. 求证:(1)AB=BC=CD=DA. (2)AC⊥DB. (3)∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA 证明:(3) △ADO△CDO， ∠ADB=∠CDB，∠DAC=∠DCA. AB//CD，AD//CB， ∠ADB=∠CBD，∠CDB=∠ABD， ∠DAC=∠BCA，∠DCA=∠BAC. ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA. 菱形的性质三： 菱形每条对角线平分一组对角 22100 一起探究 单击此处编辑母版标题样式 菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 22100 问题3 菱形的四条边在数量上有什么关系? 发现：菱形的四条边都相等. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题4 根据上面折叠过程，菱形的两条对角线有什么性质? 发现：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 能证明你的 猜想吗？ 发现：是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 问题1 菱形是中心对称图形吗? 如果是，指出它的对称中心. 发现：菱形是中心对称图形，两条对角线的交点为它的对称中心. 22100 问题1 ：菱形的四条边在数量上有什么关系? 菱形的四条边都相等. 问题2 ：菱形的两条对角线有怎样的位置关系？ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 如图，四边形ABCD是菱形.通过测量回答下列问题. A B C D O 活动2 探究菱形的性质 如何用数学的方式进行验证呢？ 22100 新知探究 菱形的性质定理 菱形的四条边相等 几何语言： 如图，四边形ABCD是菱形 AB=BC=CD=AD 注意事项： 菱形是特殊的平行四边形，平行四边形仅 “对边相等”，而菱形在此基础上额外满足 “邻边相等”，因此推出 “四条边都相等”.解题时，可由 “菱形” 直接得出 “四条边相等”，无需再证明对边相等. 22100 新知探究 菱形的性质定理 菱形的两条对角线互相垂直,且每条对角线平分一组对角. 几何语言： 如图，四边形ABCD是菱形 AC⊥BD ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA. 注意事项： 性质包含两部分： ① 对角线互相垂直(得到直角，可用于勾股定理计算边长)； ② 每条对角线平分一组对角(可用于角的等量代换、证明等腰三角形 / 角平分线) 两者都是菱形特有的，平行四边形不具备 22100 菱形的性质： 1、菱形的四条边都相等; 2、菱形的对角线互相垂直； 3、菱形的每条对角线平分一组对角 发现 22100 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD； (3) ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA. A B C O D 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD. 验证 22100 A B C O D （2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB = OD . 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，即AC⊥BD. 等腰三角形的“三线合一”是中学及其重要的综合性结论 (3)由（2）可知∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 22100 已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB=AD. 求证：(1)AB=BC=CD=DA. (2)AC⊥DB. (3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA. 证明: (1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=CB. 又∵AB=AD， ∴AB=BC=CD=DA. 22100 (2)在△ADO和△CDO中， ∵DA=DC，DO=DO，AO=CO， ∴△ADO△CDO. ∴∠AOD=∠COD. ∵∠AOD+∠COD=180°，∴∠AOD=∠COD=90°. ∴AC⊥DB. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB=AD. 求证：(1)AB=BC=CD=DA. (2)AC⊥DB. (3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA. 22100 (3)∵△ADO△CDO, ∴∠ADB=∠CDB,∠DAC=∠DCA. ∵AB∥CD，AD∥CB， ∴∠ADB=∠CBD，∠CDB=∠ABD， ∠DAC=∠BCA，∠DCA=∠BAC. ∴∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB=AD. 求证：(1)AB=BC=CD=DA. (2)AC⊥DB. (3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA. 22100 即学即练 方法技巧 菱形面积核心公式：菱形面积 = 对角线乘积的一半，这是最常用的方法，比底乘高更直接。 对角线与勾股定理的组合：菱形对角线互相垂直平分，将菱形分成 4 个全等的直角三角形，因此只要知道边长和一条对角线，就能用勾股定理求出另一条对角线。 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm， 求这个菱形的面积. 设菱形为 ABCD，对角线交于点 O，已知边长 AB=2cm， 一条对角线BD=2cm 菱形对角线互相垂直平分， cm，且 ∠ AOB=90° 在 Rt△ABO中，由勾股定理： cm cm 菱形可被对角线分成 4 个全等的直角三角形，每个三角形的面积为： 因此菱形面积为： 22100 即学即练 方法技巧 通过构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出点C的坐标，再结合菱形对边平行且相等的性质，平移得到点B的坐标。 关键步骤：遇到 45°角时，优先想到等腰直角三角形，再用勾股定理计算边长，利用 “平行于x轴的线段，纵坐标不变，横坐标变化” 的规律，简化计算。 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC= 2.求点B的坐标. 过点C作 CD⊥x 轴于点D，则 ∠CDO=90° ∠AOC=45°， △OCD 是等腰直角三角形，即 OD=CD 设 OD=CD=x， 在 Rt△OCD 中，由勾股定理： ， 因此，点C的坐标为 (, 2​)。 BC//OA（平行于 x 轴）， 点B的纵坐标与点C相同。 又 BC=OA=2， 点B的横坐标为点C的横坐标加上 2 故点B的坐标为 (, 2​) 22100 归纳总结 菱形的性质定理： 菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD. AC⊥BD . AC平分∠BAD和∠BCD ，BD平分∠ABC和∠ADC. A B C O D 22100 菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 菱形的性质定理 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD ，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD ， BD平分∠ABC，DB平分∠ADC. 22100 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 转化与化归 演绎推理 22100 课堂小结 菱形的性质 菱形的性质 有关计算 边 1.周长=边长的四倍 2.面积=底×高= 两条对角线乘积的一半 角 对角线 1.两组对边平行且相等； 2.四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补 1.两条对角线互相垂直平分； 2.每一条对角线平分一组对角 22100 $