21.7 正方形的性质课件第1课时2025-2026学年冀教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦正方形的定义、与平行四边形及特殊平行四边形的关系和性质，通过矩形、菱形特殊化提问导入，连接旧知构建从一般到特殊的知识支架，引导学生形成概念。 其亮点在于用表格对比平行四边形等图形性质培养几何直观，例题演绎推理强化逻辑思维，“一线三垂直”模型总结提升应用意识。如性质对比表呈现异同，例1全等证明巩固推理，助力学生系统掌握，教师教学更高效。

21.7 课时1 正方形的性质 第二十一章 四边形 22100 学习目标 1.了解正方形的有关概念，了解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系. 2.理解并掌握正方形的性质，能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题. 学习重难点 理解并掌握正方形的性质． 掌握正方形的性质，能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题. 难点 重点 22100 情景导入 我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 那么，有一组邻边相等的矩形是什么图形呢? 有一个角是直角的菱形又是什么图形呢? 平行四边形 菱形 有一组邻边相等 有一个角是直角 矩形 正方形 有一组邻边相等 有一个角是直角 22100 性质： 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质. 你能说出来哪些？ 2.正方形的四个角都是直角. 3.四条边相等，对边平行. 4.正方形的对角线相等且互相垂直平分，也平分一组对角. 1.正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形. 22100 大家谈谈 1.正方形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，那么它有哪几条对称轴？ 是轴对称图形，有四条对称轴 正方形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，那么它的对称中心在哪里？ 是中心对称图形，它的对称中心在对角线的交点处 22100 四边形 平行四边形 矩形 两组对边 分别平行 有一个角是直角 菱形 有一组邻边相等 有一个角是直角 有一组邻边相等 正方形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形, 也是特殊的矩形,也是特殊的菱形. 2.正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系 矩形 菱形 正 方 形 22100 新知探究 正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 注意事项： 平行四边形加上 “一个角是直角” 变成矩形，矩形再加上 “一组邻边相等” 就变成了正方形； 平行四边形加上 “一组邻边相等” 变成菱形，菱形再加上 “一个角是直角” 也变成了正方形。 因此，正方形既是矩形，又是菱形，它是特殊的平行四边形 22100 3.正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质，正方形都有. 性质：1.正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形. 2.正方形的四个角都是直角. 3.四条边相等，对边平行. 4.正方形的对角线相等且互相垂直平分，也平分一组对角. 22100 例题示范 证明：在△AED和△AEB中， ∵AD=AB，AE=AE，∠DAC=∠BAC=45°， ∴ ∆AED ∆AEB. ∴BE=DE. 例1 已知：如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上. 求证：BE=DE. A B C D E 22100 新知探究 探究活动 正方形是中心对称图形吗? 如果是中心对称图形，那么它的对称中心在哪里? 正方形是轴对称图形吗? 如果是轴对称图形，那么它有哪几条对称轴? 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点； 同时它也是轴对称图形，有 4 条对称轴，分别是两条对角线和每组对边中点连线所在的直线. A B C D A B(D) C B(D) A(C) O A B C D O 对折 再对折 展开 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质. 22100 新知探究 正方形的性质 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 四条边相等 对边平行 四条边都相等 对角相等 邻角互补 四个角都是直角 四个角都是直角 互相平分 相等且互相平分 相等 互相垂直平分 平分对角 中心对称 中心对称 轴对称 中心对称 轴对称 四个角都是直角 互相垂直平分 平分对角 中心对称 轴对称 22100 问题1：正方形是轴对称图形，它有 条对称轴. 问题2：正方形是中心对称图形，它的对称中心是 . 对角线的交点 四 22100 证明：在△AED和△AEB中， ∵AD=AB，AE=AE，∠DAC=∠BAC=45°， ∴△AED ≌ △AEB. ∴BE=DE. 1.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上. 求证：BE=DE. A B C D E 提示：证明线段相等的常用方法是证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等而得到线段相等. 也可以通过证明△CED ≌ △CEB，从而得出结论. 你还有其他证法吗? 22100 证明：∵ ∠EBC=∠ECB=∠CEB=60°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∠ABE= ∠DCE=30°. ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°， ∴∠EAD= ∠EDA==15°. 例2 已知：如图，在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形. 求证：∠EAD=∠EDA=15° A B C D E 22100 做一做 已知：如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，AD和CD上，且EF⊥FG，AF=DG.求证：EF=FG. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠D=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°. ∵EF⊥FG，∴∠EFG=90°， ∴∠DFG+∠AFE=90°. ∴∠AEF=∠DFG. 又∵∠A=∠D=90°，AF=DG， ∴△AEF△DFG，∴EF=FG. 22100 即学即练 方法技巧 本题是典型的 “一线三垂直” 模型：直线 AD 上有三个直角，利用 “同角的余角相等” 快速构造全等三角形，是正方形中证明线段相等的高频模型 已知:如图，点 E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，AD 和CD 上，且EF⊥FG，AF=DG. 求证:EF=FG. 证明： 四边形ABCD是正方形 ∠A = ∠D = 90° ∠AEF + ∠AFE = 90° EF⊥FG ∠EFG = 90° ∠AFE + ∠DFG = 90° ∠AEF = ∠DFG 在△AEF和△DFG中 ∠A = ∠D， ∠AEF = ∠DFG， AF = DG △AEF △DFG(AAS) EF = FG 22100 即学即练 方法技巧 先利用正方形性质，求出对角线与边的夹角 45°。 再利用菱形 “对角线平分内角” 的性质，得到角平分线关系，直接计算出目标角的度数 遇到 “正方形 + 菱形 + 求角度” 的问题，优先利用两种图形的对角线性质（平分内角），快速找到角的倍数关系，是这类题的核心解法 如图，正方形ABCD 的对角线AC为菱形AEFC的一边，求∠FAB 的度数 解： 四边形ABCD是正方形， ∠CAB = 45° 四边形AEFC是菱形， AF平分∠CAE 即 ∠FAB = ∠CAB。 ∠FAB = × 45° = 22.5° 22100 证明：∵ ∠EBC=∠ECB=∠CEB=60°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∠ABE= ∠DCE=30°. ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°， ∴∠EAD= ∠EDA==15°. 2.已知：如图，在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形. 求证：∠EAD=∠EDA=15°. A B C D E 22100 3.已知：如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，AD和CD上，且EF⊥FG，AF=DG.求证：EF=FG. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠D=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°. ∵EF⊥FG，∴∠EFG=90°， ∴∠DFG+∠AFE=90°. ∴∠AEF=∠DFG. 又∵∠A=∠D=90°，AF=DG， ∴△AEF ≌ △DFG，∴EF=FG. 22100 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 转化与化归 演绎推理 22100 归纳小结 正方形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 定义 性质定理 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质 22100 $