精品解析：辽宁省铁岭市2025-2026学年九年级下学期 中考考前测试数学试卷

2026年中学生能力训练数学模拟练习（五） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 滑雪场某一天的最高气温为，最低气温为，则这天的最高气温比最低气温高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，求最高气温比最低气温高多少，用最高气温减去最低气温，结合有理数减法法则计算即可． 【详解】解：最高气温为，最低气温为， 温差为， 即这天的最高气温比最低气温高． 2. 中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货币文化。以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 3. 目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米．将数据0.000001125用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：将数据0.000001125用科学记数法可表示为， 故选：B． 4. 学校招募广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取一人，则选中女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查古典概型的概率计算，直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵总共有4名候选人，其中女生共2名， ∴随机选取一人，选中女生的概率为． 5. 如图，该几何体的左视图（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的定义，左视图是从物体的左面看得到的视图，注意看不见的轮廓线画虚线． 【详解】解： 该几何体可看作一个大正方体在右前上方切去了一个小正方体，   从左边看，其外轮廓是一个完整的正方形 ，  切去的部分位于几何体的右前上方，从左侧看时被左侧面遮挡 ，  切去部分产生的棱在左视图中不可见，应画为虚线 ，  切去部分位于“前”和“上”，在左视图中对应“右”和“上”的位置 ，  虚线应位于视图的右上角．故选项D符合． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，和不是同类二次根式，不能合并， ∴A错误； 选项B，， ∴B错误； 选项C，，计算正确， ∴C正确； 选项D，和不是同类二次根式，不能合并，， ∴D错误． 7. 我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡，母鸡，小鸡各多少只？若现已知母鸡买只，设公鸡买只，小鸡买只．则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，只需根据总鸡数、总钱数两个等量关系整理即可得到方程组，找准等量关系是解题关键． 【详解】解：设公鸡买只，小鸡买只， ∵ 一共要买100只鸡，已知母鸡买18只， ∴ ，整理得 ， ∵ 一共花100钱，公鸡5钱一只，母鸡3钱一只，小鸡钱一只， ∴ ，计算得 ， 整理得 ， 因此可得方程组，． 8. 如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将和平移，使得位似中心C与原点重合，利用位似变换公式求出此时点B的位似对应点坐标，再将和向右平移使得点C回到，此时点的横坐标可求． 【详解】解： 先将和向左平移2个单位，使得位似中心C与原点重合， 所以可知点B的横坐标变为， 在位似比不变的条件下，此时点B的位似后的对应点的横坐标为，将和向右平移2个单位，使得位似中心C回到,此时点B的位似后的对应点的横坐标为：． 9. 如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长至格点，连接，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而求解． 【详解】解：如图，延长交网格线于点，连接， 设小正方形网格的边长为1. 由图可知，、、在同一直线上，且为长4、宽2的矩形的对角线， ， 又点相对于点，水平距离为1，竖直距离为2，  ，  ，  ， 是直角三角形，且， 在中，． 10. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，，交于点，则的长度是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据尺规作图可知垂直平分，从而得出为中点且，结合可得，进而利用相似三角形性质求解． 【详解】解：由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，即， ∴， 在中，， ∴， ∵为中点，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解: 12. 下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 平均数 9.35 9.34 9.34 方差 6.6 6.9 6.7 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_______． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：∵甲的平均数较大，且甲的方差较小， ∴选择甲参加比赛， 故答案为：甲． 13. 如图，两条入射光线，经过漫反射后两条光线相交于点，若，，则的度数是________． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出，再根据三角形外角得，即可得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， ∴． 14. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为轴上方抛物线对称轴上一点，当时，点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线与轴、轴的交点坐标，延长交轴于点，由外角的性质证得，由等腰三角形的三线合一可求出点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，从而求出点的坐标． 【详解】解：令得， 解得，， ，， 令得， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 延长交轴于点， ，， ， ， 轴， ， ， 点与点重合， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， 直线的解析式为， 把代入得， ． 15. 如图，正方形中，，点是对角线上一动点，矩形的边，点，在直线上，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】过作交的延长线于，连接，作交的延长线于，由题意可证四边形为平行四边形，则，则，当且仅当三点共线时，最小即的长，用勾股定理求解即可． 【详解】解：过作交延长线于，连接，作交的延长线于， ∵四边形为矩形，四边形为正方形，点，在直线上， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当且仅当三点共线时，最小即的长， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：解不等式① ，得  解不等式② ，得  所以原不等式组的解集为：. 【小问2详解】 解：原式 17. 如图，有一块矩形硬纸板，，，在它的四个角上剪去四个全等的小长方形，然后按内部虚线折起，和两边恰好重合且无重叠部分．就能制作成一个长方体收纳盒，其底面矩形的面积为，设矩形的宽，长． （1）用含的式子表示； （2）求矩形的长和宽． 【答案】（1） （2）矩形的长为，宽为 【解析】 【分析】(1) 根据矩形纸板的长和宽，结合剪去的四个全等小长方形的边长关系，利用折叠后与重合的几何约束建立等式，从而用表示． (2) 根据底面矩形的面积公式建立关于的方程，求解得到矩形的长和宽． 【小问1详解】 解：四边形为矩形，， ， ， 由折叠可知， ，， ， 由折叠性质及与两边恰好重合且无重叠部分可知， ，， ，， 且， ， ． 【小问2详解】 解：底面矩形的面积为， ， 即， 将代入得， ， ，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，， 此时，，符合题意， 矩形的宽，长 18. 中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取部分参展人员进行“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（参选汽车类型有纯电、混动和氢燃料、油车四种，每人必选且限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了________人；图中________，________； （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；请补全条形统计图； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；， （2）；补全条形统计图如图 （3）5400人 【解析】 【分析】(1) 利用"纯电"类的人数与其在扇形统计图中所占百分比求出总人数，再依次求出各类别的百分比和未知人数． (2) 利用"混动"类所占百分比乘以得到圆心角的度数；根据(1)中求得的“混动”人数补全条形统计图． (3) 先求出样本中喜欢新能源汽车的百分比，再用样本估计总体． 【小问1详解】 解： “纯电”类人数为27人，在扇形统计图中占， 本次调查随机抽取的总人数为人， “氢燃料”类人数为人， ， ， “混动”类人数为人， ， ． 【小问2详解】 解：“混动”类所在扇形的圆心角为， 【小问3详解】 解：样本中喜欢新能源汽车（纯电、混动、氢燃料）的百分比为，， 或， 估计6000名参展人员中喜欢新能源汽车的人数为， 人． 19. 直线经过点与双曲线交于点和点，点为第二象限双曲线上点右侧一点，过点作轴交于点，交轴于点． （1）求直线的解析式和值； （2）求四边形面积的最大值． 【答案】（1）直线为：， （2）四边形面积的最大值为． 【解析】 【分析】（1）把代入可得的值，把，代入可得直线的解析式． （2）证明四边形是平行四边形，设，则，可得，再利用面积公式结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵双曲线过点， ∴， ∵直线经过点与双曲线交于点， ∴， 解得：， ∴直线为：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 设，则， ∴， ∴四边形面积， ∴当时，四边形面积最大，最大值为． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 运用二次函数研究电缆架设问题 素材 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱．每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以点为原点所在直线为轴，建立如图所示坐标系．电缆的最低点到轴的距离为米，点到坡面的铅直高度米，（于），经测量，斜坡的坡度为∶（即）． 素材 若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面的铅直高度的最小值不小于米时，符合安全要求，否则存在安全隐患． 完成以下任务 （1）求出下垂电缆（抛物线）的解析式； （2）上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 【答案】（1）； （2）不符合安全要求，理由见详解． 【解析】 【分析】(1)先根据坡度求出斜坡端点的坐标，进而确定右侧固定点的坐标，再结合最低点的已知条件，利用待定系数法求抛物线解析式． (2)用电缆的纵坐标减去坡面的纵坐标，得到铅直高度关于的二次函数，求其最小值并与13.5米比较即可判断． 【小问1详解】 解：由题意知为原点，米，在地面上， ， 米，斜坡坡度为，即， 米， 右侧地面点的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴斜坡所在直线的解析式为， 米且塔柱竖直， 右侧电缆固定点的坐标为， 最低点到轴的距离为30米， 点的横坐标为30， 此时坡面纵坐标为， 点到坡面的铅直高度米， 点的纵坐标为， 即， 设抛物线解析式为， 抛物线过原点， ， 解得， ． 【小问2详解】 解：设电缆上任一点到坡面的铅直高度为米， ， ， ， ， 当时，取得最小值13.25米， ， 上述电缆的架设不符合安全要求． 21. 如图，四边形是的内接四边形，，点为延长线上一点，连接，，． （1）求证：与相切； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：连接 、， 四边形 是 的内接四边形，且 ， 是 的直径， 点 在 上， 与 都是 所对的圆周角， ， 又 ， ， 为直径，， 在 中，， ， 即 ， 点 在 上， ， 即 ， 又 点 在 上， 与 相切． （2） 【解析】 【分析】(1) 利用 圆周角所对的弦是直径，得出 为直径；再由同弧所对圆周角相等，将已知 转化为 ，结合 中两锐角互余，证得 ，即 ，从而得证． (2) 由 得到 平分 ，故 ；过点 作 构造等腰直角三角形 ，求出 、；再利用 设参，结合勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 又 ， ， 过点 作 ，交 的延长线于点 ， 在 中，，， ， 由(1)知 ， ， 在 中，， 设 ，， ， 为直径，， ， 为等腰直角三角形， ， 在 中，， ， 又 ， ， 解得 ，（舍去）， 22. 原题与拓展 （1）【原题呈现】如图，四边形为正方形，点为边上一点，点为边上一点，且，连接交于，作交于，连接．求证：． （2）【原题变式】如图，四边形为正方形，点为边上一点，点为边上一点，且，连接交于，作交于，连接．求证： （3）【原题拓展】正方形的边长为，点为射线上一动点，点为射线上一动点，且，直线交于，交直线于，连接，．在射线上有，，三点，且，当点运动到，，三点时，的面积都等于．直接写出值． 【答案】（1）证明： 四边形是正方形， ，，且对角线平分 ，即 ， ， （两直线平行，内错角相等）， 又 ， 是等腰直角三角形，即 ， 已知 ， ， 又 ，即 ， 四边形是平行四边形， ． （2）证明： 如图，过点 作 交于点 ，连接， 由第（1）问的推导可知： 当 时， 为等腰直角三角形，故 ， 结合已知条件 ，可得 ， 因为 ，即 ， 所以四边形是平行四边形， 由此可推出 ， 题目已知 ， 根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，可知直线与直线重合， 这意味着点 既在直线上，又在直线上， 而点 定义为与的交点， 点 与点 重合， ． （3） 【解析】 【分析】（1）由 推出，结合，可知 为等腰直角三角形，即，结合已知，得，又因，故四边形为平行四边形，从而； （2）构造辅助线，由(1)可知，故四边形为平行四边形，即，结合已知，根据平行公理，点 与点 重合，因此 ； （3）首先，设  ，第一种情况，当在的右侧时，即时，过点  作  于点  ，利用正方形对角线平分直角的性质得出  为等腰直角三角形，从而得到 ；接着，通过导角证明 ，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解出高 （即  ）关于 的表达式，进而根据三角形面积公式建立 的面积 关于 的一元二次函数解析式，第二种情况，当在左侧时，即时，作于点，和第一种情况类似可以建立  的面积  关于  的一元二次函数解析式，最后，针对题目中“当点  运动到 三点时，  的面积都等于同一数值”这一条件，将其转化为一元二次方程求根问题，结合已知条件 ，运用一元二次方程根与系数的关系可以列出关于的方程，解出方程即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 设 ，如图，当在的右侧时，即时，作于点，则 ， ，设 ，则 解得 即 如图，当在左侧时，即时，作于点 ，设，则 ， 当时，随增大而增大， ∵在射线上有，，三点，当点运动到，，三点时，的面积都等于， ∴ 有两个根，记为 （设）， 解得：， 有一个根，记为 ， 解得：，（舍去） ∵， ∴不妨设， ，， 解得 ． 23. 定义：对于两个不重合的点，，如果满足，那么称，两点互为等和点． （1）若点在直线上，且点与点互为等和点，则点的坐标为________ （2）如图，抛物线：交轴于，两点（点在点左侧），它的顶点与点互为等和点，过点垂直于轴的直线交抛物线于点，将上位于直线左侧图象（含点）记为，将上位于直线右侧图象沿轴翻折得到的图象记为，点的对应点为（不含点），和组成函数图象． ①求函数图象对应的函数解析式，并写出自变量的范围； ②如图，交轴于点，连接，，当时，求的值； ③已知点的坐标，若在函数图象上只有一个点与点互为等和点，直接写出的范围． 【答案】（1） （2）①；②；③或 【解析】 【分析】（1）先根据等和点定义得到点满足，再结合点在直线上，联立两个二元一次方程求解，即可得到点的坐标； （2）①先利用抛物线顶点坐标公式求出的顶点横、纵坐标，再根据顶点与点互为等和点列方程求出的值，得到的解析式，接着根据和的定义，分别写出左侧未翻折部分和右侧沿轴翻折部分的解析式，组合即可得到的解析式并注明对应的自变量范围；②先令中求出、两点坐标，得到的长度，再令中求出点的坐标，根据在上和是关于轴的对称点写出、的坐标并得出，过点作得到直角三角形，利用得出对应角相等，证明，根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后结合的条件舍去不符合的解，即可得到的值；③先根据点的坐标得出与互为等和点的点满足，分别联立与、的解析式，求出两个不与重合的有效等和点坐标，再分三种情况讨论的取值范围，判断每种情况下上有效等和点的个数，筛选出只有个等和点的情况，综合即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：设点， ∵点与点互为等和点， ∴，即， 又∵点在直线上， ∴，解得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：①抛物线：顶点横坐标为， 顶点纵坐标为， ∵顶点与点互为等和点， ∴， 解得， ∴抛物线：， ∵将上位于直线左侧图象（含点）记为， ∴， ∵将上位于直线右侧图象沿轴翻折得到的图象记为，点的对应点为（不含点）， ∴， ∵和组成函数图象， ∴函数图象对应的函数解析式； ②令中，即， 解得或， ∴，， ∴， 交轴于点，令，则， ∴， ∵过点垂直于轴的直线交抛物线于点， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ， ∴， ∴， 如图，过点作， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得或或， ∵交轴于点，即， ∴； ③∵点的坐标为， ∴与点互为等和点的点满足，即，且该点不与重合， 联立与的解析式，得 ，解得或， ∵对应点， ∴有效等和点为； 联立与的解析式，得，解得或， ∵对应点， ∴有效等和点为； 分三种情况讨论： 当时，， ∴在上，， ∴不在上，此时上只有个等和点，符合条件； 当时，， ∴不在上，， ∴不在上，此时上没有等和点，不符合条件； 当时，， ∴在上，， ∴不在上，此时上只有个等和点，符合条件； 综上，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中学生能力训练数学模拟练习（五） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 滑雪场某一天的最高气温为，最低气温为，则这天的最高气温比最低气温高（ ） A. B. C. D. 2. 中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货币文化。以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米．将数据0.000001125用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 学校招募广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取一人，则选中女生的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，该几何体的左视图（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡，母鸡，小鸡各多少只？若现已知母鸡买只，设公鸡买只，小鸡买只．则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，，交于点，则的长度是（） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 平均数 9.35 9.34 9.34 方差 6.6 6.9 6.7 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_______． 13. 如图，两条入射光线，经过漫反射后两条光线相交于点，若，，则的度数是________． 14. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为轴上方抛物线对称轴上一点，当时，点的坐标是________． 15. 如图，正方形中，，点是对角线上一动点，矩形的边，点，在直线上，连接，，则的最小值是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2）． 17. 如图，有一块矩形硬纸板，，，在它的四个角上剪去四个全等的小长方形，然后按内部虚线折起，和两边恰好重合且无重叠部分．就能制作成一个长方体收纳盒，其底面矩形的面积为，设矩形的宽，长． （1）用含的式子表示； （2）求矩形的长和宽． 18. 中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取部分参展人员进行“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（参选汽车类型有纯电、混动和氢燃料、油车四种，每人必选且限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了________人；图中________，________； （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；请补全条形统计图； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 19. 直线经过点与双曲线交于点和点，点为第二象限双曲线上点右侧一点，过点作轴交于点，交轴于点． （1）求直线的解析式和值； （2）求四边形面积的最大值． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 运用二次函数研究电缆架设问题 素材 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱．每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以点为原点所在直线为轴，建立如图所示坐标系．电缆的最低点到轴的距离为米，点到坡面的铅直高度米，（于），经测量，斜坡的坡度为∶（即）． 素材 若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面的铅直高度的最小值不小于米时，符合安全要求，否则存在安全隐患． 完成以下任务 （1）求出下垂电缆（抛物线）的解析式； （2）上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 21. 如图，四边形是的内接四边形，，点为延长线上一点，连接，，． （1）求证：与相切； （2）若，，，求的长． 22. 原题与拓展 （1）【原题呈现】如图，四边形为正方形，点为边上一点，点为边上一点，且，连接交于，作交于，连接．求证：． （2）【原题变式】如图，四边形为正方形，点为边上一点，点为边上一点，且，连接交于，作交于，连接．求证： （3）【原题拓展】正方形的边长为，点为射线上一动点，点为射线上一动点，且，直线交于，交直线于，连接，．在射线上有，，三点，且，当点运动到，，三点时，的面积都等于．直接写出值． 23. 定义：对于两个不重合的点，，如果满足，那么称，两点互为等和点． （1）若点在直线上，且点与点互为等和点，则点的坐标为________ （2）如图，抛物线：交轴于，两点（点在点左侧），它的顶点与点互为等和点，过点垂直于轴的直线交抛物线于点，将上位于直线左侧图象（含点）记为，将上位于直线右侧图象沿轴翻折得到的图象记为，点的对应点为（不含点），和组成函数图象． ①求函数图象对应的函数解析式，并写出自变量的范围； ②如图，交轴于点，连接，，当时，求的值； ③已知点的坐标，若在函数图象上只有一个点与点互为等和点，直接写出的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $