21.5矩形（第2课时）课件2025-2026学年数学冀教版八年级下册

该初中数学课件聚焦矩形的两个判定定理，通过工人师傅用卷尺和量角器确保矩形的情景导入，衔接矩形定义与性质，引导学生从性质逆命题出发探究判定方法，搭建从性质到判定的知识支架。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过图形观察、猜想证明发展数学思维，结合几何语言规范与例题解析强化数学语言。如探究“三个直角的四边形是否为矩形”时，先观察图形猜想再严格证明，帮助学生构建逻辑体系，提升推理能力，也为教师提供清晰教学路径。

21.5 矩形 （第二课时） 第二十一章 四边形 22100 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握矩形的两个判定定理（有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形），能运用判定定理进行几何证明与判断 经历矩形判定定理的探究、猜想与证明过程，体会逆向思维、转化与化归、类比的数学思想，提升逻辑推理与综合应用能力 在探究与辨析中感受数学的严谨性，培养主动思考、举一反三的学习习惯，体会矩形判定在实际问题中的应用价值 22100 情景导入 思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 22100 全品初中 新知探究 我们已经知道，矩形的四个角都是直角. 反过来，一个四边形有几个角是直角，就能判定它是矩形呢？ 观察下列图形，说说你的看法. 从前两个图中可以看出来，当四边形有一个或两个直角时，不能判定四边形是矩形 第三幅图告诉我们，当四边形中有三个直角时，就可以判定四边形是矩形 探究一 22100 新知探究 证明 如图：已知∠A=∠B=∠C=90°，求证四边形ABCD是矩形. A B C D 证明 又 四边形ABCD为平行四边形 又 四边形ABCD为矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形) 22100 获取新知 一起探究 分析矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 由定义识别： ∵□ABCD，∠A=90°. ∴ □ ABCD是矩形. ① ② A B C D 22100 问题1 除了定义以外，矩形的性质的逆命题能否作为矩形判定的方法呢？ 性质：矩形的四个角都是直角 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形 条件 结论 条件 结论 ？ 22100 A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 22100 1.我们已经知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形有几个角是直角，就能判断它是矩形呢？观察下图，回答下列问题. A B D C 猜想：有 个角是直角的四边形是矩形. A B D C A B D C 活动 探究判定矩形的方法 问题1：有一个角是直角的四边形是矩形吗? 问题2：有两个角是直角的四边形是矩形吗? 问题3：有三个角是直角的四边形是矩形吗? 三 不是 不是 是 22100 验证：有三个角是直角的四边形是矩形. 已知：如图所示，在四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90°． 求证：四边形ABCD是矩形． A B C D 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC， AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠A=90°， ∴ ▱ABCD是矩形. 22100 新知探究 矩形的判定定理一 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： 四边形ABCD是矩形 A B C D 注意事项： 必须是三个角为直角，仅一个直角无法判定(如直角梯形) 明确 “互相平分” 的含义 出现多个直角时，优先考虑用此定理判定矩形 22100 新知探究 探究二 矩形的对角线相等.那么，对角线相等的平行四边形是矩形吗? 已知:如图，在▱ABCD 中，AC=BD. 求证:▱ABCD 是矩形. 证明:四边形ABCD 是平行四边形 AD//BC，AD=BC 在△ABD 和△BAC 中 AD=BC，AB=BA，BD=AC △ABD△BAC ∠DAB=∠CBA 又 AD//BC ∠DAB+∠CBA=180° ∠DAB=∠CBA=90° ▱ABCD 是矩形 22100 已知：如图所示，在四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90°． 求证：四边形ABCD是矩形． A B C D 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°， ∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC， AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠A=90°. ∴ ▱ABCD是矩形. 22100 矩形的判定定理1： 有三个角是直角的四边形是矩形. 归纳总结 几何语言描述： 在四边形ABCD中， ∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 22100 2.矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？回答下列问题. A B C D 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 问题1：对角线相等的四边形是矩形吗? 问题2：对角线相等的平行四边形是矩形吗? 不是，比如等腰梯形 是 22100 已知：在▱ABCD，AC=BD. 求证：▱ABCD是矩形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AD=BC. 在△ABD和△BAC中， ∵ AD=BC，AB=BA，AC=BD， ∴△ABD△BAC， ∴ ∠DAB=∠CBA. 又∵ AD//BC， ∴ ∠DAB+∠CBA=180°. ∴∠DAB=∠CBA= 90°， ∴□ ABCD是矩形. A D C B O 验证：对角线相等的平行四边形是矩形. 22100 新知探究 矩形的判定定理二 对角线相等的平行四边形是矩形 几何语言： 四边形ABCD是平行四边形且AC=BD 四边形ABCD是矩形 注意事项： 必须同时满足两个条件：四边形是平行四边形，且对角线相等，缺一不可。 不能说 “对角线相等的四边形是矩形”，等腰梯形对角线也相等，但不是矩形。 适用场景：已知或易证平行四边形时，用此定理比证直角更快捷。 22100 典例分析 例1 已知:如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H 分别为OA， OB，OC，OD 的中点. 求证:四边形EFGH 是矩形. 证明: 四边形ABCD 是矩形, AC=BD，且OA=OC，OB=OD. OA=OC=OB=OD. 又 E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD 的中点, OE=OG=OF=OH. 四边形EFGH 是平行四边形. 又 EG=OE+OG=OF+OH=HF, 四边形EFGH 是矩形. 矩形 ABCD 中，对角线相等且互相平分，因此 OA=OB=OC=OD； E、F、G、H 是各对角线中点，因此 OE=OF=OG=OH； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故 EFGH 是平行四边形； 对角线 EG=OE+OG，HF=OF+OH，可得 EG=HF，因此 EFGH 是矩形。 22100 例题讲解 例1 如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵AB∥CD， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD， ∴∠GBC＋∠GCB＝ ∠ABC＋ ∠BCD＝ ×180°＝90°， ∴∠BGC＝90°. 同理可得∠AFB＝∠AED＝90°. ∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°. ∴四边形EFGH是矩形． 22100 性质：矩形的对角线相等 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形 条件 结论 条件 结论 ？ 获取新知 问题2 我们知道矩形的对角线相等，反过来，它的逆命题能否作为矩形判定的方法呢？ 22100 有三个角是直角的四边形是矩形 A B D C 符号语言： 在四边形ABCD中， ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形 符号语言： 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A D C B O 矩形的判定定理 注意：矩形的定义也可以是对其进行判定的依据. 22100 即学即练 方法技巧 矩形的判定分两类，都有严格的前提条件： 基于平行四边形：平行四边形 + 一个直角 / 对角线相等 → 矩形； 直接判定：四边形 + 三个 / 四个直角 → 矩形 指出下列说法是否正确. (1)有一个角为直角的四边形是矩形. (2)两条对角线相等的四边形是矩形. (3)两条对角线互相垂直的四边形是矩形. (4)四个角皆为直角的四边形是矩形. (1) 错误 理由：有一个角为直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），必须是平行四边形且有一个角为直角才是矩形 (2) 错误 理由：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），必须是平行四边形且对角线相等才是矩形 (3) 错误 理由：对角线互相垂直是菱形的特征，与矩形无关（矩形对角线不一定垂直，除非是正方形） (4) 正确 理由：四个角都是直角的四边形，既是平行四边形（同旁内角互补，对边平行），又满足矩形的定义，因此是矩形 22100 即学即练 方法技巧 看到等腰三角形 + 底边中点，立刻想到三线合一，能直接推出垂直（直角）； 再结合平行四边形的性质，就能用定义法判定矩形。 已知:如图，AB=AC，D 为BC 的中点，四边形AEDB 是平行四边形.求证:四边形AECD 是矩形 证明： 四边形 AEDB 是平行四边形， AE//BD，且 AE=BD 又 D 是 BC 的中点， BD=DC。 AE=DC，且 AE//DC。 四边形 AECD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） AB=AC，D为BC的中点， AD⊥BC（等腰三角形 “三线合一” 性质），即∠ADC=90∘ 平行四边形 AECD中，∠ADC=90 ∘ 四边形 AECD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 22100 矩形的判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形. 归纳总结 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中， ∵ AC=BD, ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 22100 例题讲解 例2 已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD的中点. 求证：四边形EFGH是矩形. B C D E F G H O A 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD.且 OA=OC，OB=OD. ∴OA=OC=OB=OD. 又∵E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD 的中点， ∴OE=OG=OF=OH. ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵EG=OE+OG=OF+OH= HF， ∴四边形EFGH是矩形. 22100 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD.且 OA=OC，OB=OD. ∴OA=OC=OB=OD. 又∵E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD 的中点， ∴OE=OG=OF=OH. ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵EG=OE+OG=OF+OH= HF， ∴四边形EFGH是矩形. 已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD的中点. 求证：四边形EFGH是矩形. B C D E F G H O A 思考：如果四边形ABCD是平行四边形，那么四边形EFGH是平行四边形吗？ 四边形EFGH是平行四边形. 22100 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 转化与化归 演绎推理 22100 课堂小结 矩形的判定方法： 平行四边形 四边形 矩形 对角线 互相平分 有三个角是直角 有一个角是直角 对角线相等 22100 $