21.6 菱形（第2课时）（教学课件）数学新教材冀教版八年级下册

21.6 菱形 （第二课时） 第二十一章 四边形 【新教材】冀教版·八年级下册 章节导读 21.1多边形 21.2 平行四边形性质 21.4三角形中位线 四边形内外角和 多边形内外角和 性质定理一 性质定理二 21.5矩形 中位线定理 性质定理三 21.3 平行四边形的判定 判定定理一 判定定理二 判定定理三 矩形的性质 矩形的判定 21.6菱形 菱形的性质 菱形的判定 21.7正方形 21.8梯形 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握菱形的两个判定定理（四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形），能运用判定定理进行几何证明与判断 经历菱形判定定理的探究、猜想与证明过程，体会逆向思维、转化与化归、类比的数学思想，提升逻辑推理与综合应用能力 在探究与辨析中感受数学的严谨性，培养主动思考、举一反三的学习习惯，体会菱形判定在实际问题中的应用价值 知识回顾 1. 有一组邻边 的平行四边形叫做菱形. 2. 菱形既是 对称图形，也是 对称图形，对称中心是菱 形两条 的交点，对称轴是菱形两条 所在的直线. 3. 菱形的四条边都 ，两条对角线 ，且每条对角 线平分 ⁠. 相等　 中心　 轴　 对角线　 对角线　 相等　 互相垂直　 一组对角　 情景导入 问题 如何利用菱形的定义来判定一个四边形是矩形？ 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形形 判断一组邻边相等 证明四边形是平行四边形 注意事项： 核心逻辑为“平行四边形 + 一组邻边相等 = 菱形” 先证平行四边形，再证一组邻边相等 当题目中明确给出 “平行四边形” 时，优先用定义法，只需证一组邻边相等即可，步骤更简洁 新知探究 我们已经知道，菱形的四条边都相等. 反过来，一个四边形四条边都相等，就能判定它是矩形呢？ 如果一个四边形四条边都相等，说明两组对边分别相等，可以得证四边形是平行四边形 再根据一组邻边相等，可以用定义法证明这是菱形 探究一 新知探究 证明 已知:如图，在四边形ABCD 中，AB= BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD 是菱形. 证明: AB=CD,且BC=DA, 四边形ABCD 是平行四边形. 又 AB=DA, 四边形ABCD 是菱形 新知探究 菱形判定定理一 四条边相等的四边形是菱形 几何语言： 如图，AB=BC=CD=AD 四边形ABCD是菱形 注意事项： 定理直接对四边形生效，无需先证明它是平行四边形，只要四条边都相等，就能判定为菱形 必须是四条边都相等，仅邻边相等无法保证对边也相等 新知探究 如图,▱ABCD 的两条对角线AC，BD 互相垂直，O 是这两条对角线的交点. (1) 你能说明图中的 Rt△ABO，Rt△CBO， Rt△CDO，Rt△ADO 都是全等的吗? (2)平行四边形ABCD 的四条边都相等吗? (3)请总结你的猜想. (1)全等，理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。 又 AC⊥BD， ∠AOB=∠COB=∠COD=∠AOD=90° 在 Rt△ABO 和 Rt△CBO 中： ​ Rt△ABORt△CBO（SAS） 同理可证：Rt△CBORt△CDO，Rt△CDORt△ADO 因此，Rt△ABORt△CBORt△CDORt△ADO “每条对角线都平分 一组对角的四边形是菱形”也是正确的,同学们可以尝试证明 新知探究 如图,▱ABCD 的两条对角线AC，BD 互相垂直，O 是这两条对角线的交点. (1) 你能说明图中的 Rt△ABO，Rt△CBO， Rt△CDO，Rt△ADO 都是全等的吗? (2)平行四边形ABCD 的四条边都相等吗? (3)请总结你的猜想. (2)四条边都相等 由(1)可知Rt△ABORt△CBORt△CDORt△ADO ∴AB=BC=CD=AD ∴四边形ABCD是菱形 总结 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 “每条对角线都平分 一组对角的四边形是菱形”也是正确的,同学们可以尝试证明 新知探究 如图,▱ABCD 的对角线AC平分∠BAD、∠BCD，对角线BD平分∠ABC、∠ADC，O 是这两条对角线的交点. 求证四边形ABCD是菱形. 证明： 四边形ABCD是平行四边形 ∠BAD=∠BCD 又AC平分∠BAD、∠BCD ∠OAB=∠OCB 同理，∠ABO=∠CBO 在△AOB和△COB中 △AOB△COB(AAS) AB=BC 四边形ABCD是平行四边形 新知探究 菱形的判定定理二 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 几何语言： AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是菱形 注意事项： 定理的两个核心条件必须同时满足：四边形是平行四边形；对角线互相垂直。 二者缺一不可，只有对角线垂直的普通四边形（如筝形）不是菱形。 新知探究 判定方法 文字表述 适用条件 几何语言示例 易错提醒 定义法 一组邻边相等的平行四边形是菱形 先证平行四边形，再证一组邻边相等 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC ∴ 四边形ABCD是菱形 不能直接说 “一组邻边相等的四边形是菱形” 判定定理 1 四条边相等的四边形是菱形 无需先证平行四边形，直接证四条边都相等 ∵AB=BC=CD=AD ∴ 四边形ABCD是菱形 必须是四条边都相等，仅邻边相等不成立 判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 先证平行四边形，再证对角线互相垂直 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是菱形 不能直接说 “对角线互相垂直的四边形是菱形” 总结 典例分析 例1 已知:如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE//AC，交 AB于点E，DF//AB，交AC于点F. 求证:四边形AEDF是菱形 证明: DE//AC，DF//AB 四边形AEDF 是平行四边形，∠1=∠3 又 ∠1=∠2 ∠2=∠3 AE=DE 四边形AEDF 是菱形 先证平行四边形，再证邻边相等，这是证明菱形最常用的两步法。本题关键是利用 “角平分线 + 平行线” 构造等腰三角形，从而得到邻边相等的条件 即学即练 方法技巧 当题目能直接推出四条边相等时，优先用方法一，无需先证平行四边形，步骤更简洁 当图形中对角线关系明显（如垂直、平分），优先用方法二，先证平行四边形，再证对角线垂直 牢记 “四条边相等” 和 “对角线互相垂直的平行四边形” 两种判定路径 如图，AB=AC，画出点A 关于BC 的对称点A'. 请用两种不同的方法证明四边形ABA'C 是菱形. A' 方法一 点A与A′关于BC对称， AB=A′B，AC=A′C 又AB=AC AB=A′B=AC=A′C 四边形ABA′C是菱形（四条边相等的四边形是菱形） 方法二 点A与A′关于BC对称 BC垂直平分AA′，即 BC⊥AA′，且AO=A′O 又 AB=AC BC平分AA′，即BO=CO 四边形ABA′C的对角线互相平分，因此它是平行四边形 又 BC⊥AA′ 平行四边形ABA′C是菱形 O 即学即练 方法技巧 抓住 “平行四边形 + 60° 角 + 圆半径” 的组合条件，优先判断等边三角形， 再由等边三角形的边相等推导平行四边形和菱形 如图，在▱ABCD 中，∠D=60°，以顶点A 为圆心、AB 长为半径画弧，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，EF.请指出图中的等腰三角形、平行四边形和菱形. 等腰三角形 △ABE： 由题意，以 A 为圆心、AB 为半径画弧，得 AB=AE，因此△ABE 是等腰三角形 又 平行四边形 ABCD 中，∠B=∠D=60° △ABE 是等边三角形 △AEF： AB=AE=AF（同圆半径），且 AD//BC，∠EAF=∠AEB=60°， △AEF 也是等边三角形 平行四边形 ABCD（题目已知） 四边形 AECF： AF=AE=AB=EC（EC=BC−BE=AD−AF=FD，且 AF//EC）， AF//EC 且 AF=EC，故四边形 AECF 是平行四边形 四边形 ABEF： AB=BE=EF=FA（△ABE 和△AEF 均为等边三角形）， 四边形 ABEF 的四条边相等，四边形 ABEF是菱形。 课堂练习 1. 如图，四边形ABCD为平行四边形，下列说法中，能判定四边形 ABCD为菱形的是（　A　） A. AC⊥BD B. BA⊥AC C. AB＝CD D. ∠BAD＝∠ABC A 解：对角线互相平分的平行四边形是菱形，故选A项 课堂练习 2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱 形，还需要添加的条件是（　D　） A. AB＝AC B. AD＝BD C. BE⊥AC D. BE平分∠ABC D 解：根据题意可知四边形DBFE是平行四边形，添加BE平分∠ABC， 可得∠DBE=∠EBF 又DE//BF，∠EBF=∠DEB ∠DEB=∠DBE，BD=ED 四边形DBFE是菱形 课堂练习 3. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四 边形ABCD为菱形，应添加的一个条件是 ⁠ ⁠. 答案不唯一，如AB＝ CD 解：添加AB=CD， 易证△AOB△COD 得AO=CO，BO=DO 四边形ABCD为平行四边形 又AC⊥BD 四边形ABCD为菱形 课堂练习 4. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，连接CE， AF. 若∠AFD＝∠BEC，且CF＝CE，求证：四边形AECF是菱形. 解： 四边形ABCD是矩形， AB//CD. ∠AFD＝∠FAB. 又 ∠AFD＝∠BEC， ∠FAB＝∠BEC. AF//EC. 四边形AECF是平行四边形. 又 CF＝CE， 四边形AECF是菱形 课堂练习 5. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°， E是AD的中点.求证：四边形BCDE是菱形. 解： E是AD的中点， AE＝ED＝ AD. AD＝2BC， ED＝BC. AD∥BC， 四边形BCDE是平行四边形. ∠ABD＝90°，E是AD的中点， BE＝ AD＝DE. 四边形BCDE是菱形 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 转化与化归 演绎推理 感谢聆听! 【新教材】冀教版·八年级下册 $