2026年湖南省长沙市岳麓区长沙麓山国际实验学校中考前模拟数学试题

**基本信息** 初三保温数学试卷，以量子通信、中国画、低碳出行等真实情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查抽象能力、推理意识、数据观念等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|有理数、图形对称、一次函数等|结合博物馆标志考对称（题2），星期几密码创新应用（题10）| |填空题|6/18|概率、位似图形、数学推理等|中国画五色考概率（题12），指出推理错误培养批判性思维（题16）| |解答题|9/52|统计图表、圆的综合、新定义函数等|低碳出行考方程组应用（题21），“帮扶函数”新定义探究（题24）|

2025-2026-2 初三保温考试数学试卷 姓名 学号 一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分) 1.下列实数中，为有理数的是( ) A. B.π C. D. 1 2.下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) 3.下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 4.我国在量子通信领域整体处于国际领先地位.在量子通信中，某设备能处理的数据量为每秒 比特，若持续工作100秒，总处理数据量约为(单位：比特)( ) A.4.5×1010 B.4.5×109 C.4.5×108 D.4.5×107 5.某小组的一次数学检测成绩统计如下(单位：分)：76，90，64，100，84，64，73.则这组数据的众数和中位数分别是 ) A. 76, 64 B. 64, 100 C. 64, 76 D. 64, 84 6.化简 的结果是( ) A. B. a-3 C. a+3 D. 7.如图为小颗在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO=122°，∠BON=90°,则入射角∠AON的度数为( ) A. 22° B. 32° C. 35° D. 122° 8.对于一次函数y=3x-1，下列结论正确的是( ) A. y随x的增大而减小 B.当 时, y<0 C.它的图象与y轴交于点(0, -1) D.它的图象经过第一、二、三象限 9.如图, PA, PC是⊙O的切线, A, C为切点, AB是⊙O的直径, ∠P=68°,则∠BAC的度数为( ) A. 34° B. 39° C. 51° D. 56° 10.根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几，如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，余数得4，则该天为星期四(余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天).利用此密码算出2035年的世界地球日(4月22日)是( ) A.星期一 B.星期二 C.星期四 D.星期天 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分) 11.若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 12.中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：运墨而五色具，五色：焦、浓、重、淡、清，美术老师想从这五色中随机选择一色让学生重点练习，则选中浓的概率为 . 13.已知x=a是一元二次方程 的一个根，则代数式 的值为 . 14.如图，正六边形 ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阻影部分的面积为 . 15.如图, △ABC和△DEF是以O为位似中心的位似图形,已知△ABC的面积为1, OB=BE,则△DEF的面积为 ______ 16.孟子曰：不以规矩，不能成方圆.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的. 命题：如果a，b为实数，且满足 那么a>b. 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有 ① 第二步：把①移项可得 ② 第三步:把②因式分解可得(a+b) (a-b)>0; ③ 第四步:把③两边除以(a+b)可得a-b>0; ④ 第五步：把④移项可得a>b.⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论. 三、解答题(本大题共 9 小题) 17. (6分)计算: 18. (6分)先化简,再求值: 其中 19.(6分)如图，在△ABC中，点D在边AC上，阅读以下作图步骤： ①以点 C为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点 M，交 BC于点 N； ②以点 D为圆心，CM的长为半径画弧，交 DA于点 M ； ③以点 M'为圆心，MV的长为半径画弧，交前一条弧于点 N'； ④连接 DN'并延长,交 AB于点 E. (1)由作图,可知: ∠MCN= ,请证明你的结论. (2)若 且AE=9,求BE 的长. 20.(8分)中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟.”某校为了解学生完成作业的时间情况，对全校2000名学生进行问卷调查，把完成作业的时间(据悉全部学生完成作业的时间均在50~100分钟) 分为5个等级(A: 50≤x≤60; B: 60<x≤70; C:70<x≤80;D: 80<x≤90;E: 90<x≤100,并随机抽取了部分学生的调查问卷进行分析,根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图。 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查抽取了 名学生的调查问卷； (2) m= , n= ; (3)补全频数分布直方图； (4)请你估计全校2000名学生中，书面作业平均完成时间不超过70分钟的学生人数. 21.(8分)“低碳环保绿色出行”，某地生态环境主管部门开展形式多样、内容丰富的宣传活动，提升低碳意识，推动形成绿色生产生活方式.某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励员工低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益.积分可通过乘坐公共交通工具和步行获得(乘坐公共交通工具按次数计，步行按每100步计)，已知乘坐3次公共交通工具+步行1300步可获得43个碳积分，乘坐1次公共交通工具+步行 28.00步可获得38介碳积分. (1)求乘坐1次公共交通工具和步行 100步分别可获得多少个碳积分? (2)小湘当月工作22天，每日上下班各出行1次，她规划了两种固定的绿色出行方式，方式一：1次公共交通(中途不下车)+步行600步，方式二：步行4100步，该公司规定每月需至少累计至 1500积分才能兑换权益，则小湘当月最多选多少次方式一出行? 22. (9分) 如图, 在平行四边形 ABCD中, 点E是AD的中点, 连接 BE, CE, BE=BC, 点F, G分别是 BE,CE的中点, 连接FG, DG. (1) 求证: 四边形 EFGD是菱形; (2) 连接 DF交EC于点H,若DF=8, cos∠BEC=,求平行四边形ABCD的面积. 23.(9分)如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图.路灯 AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MV，且它们之间的水平距离 BC=2m，折臂底座高CD=1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED=88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE=135°，下折臂端点 E到地面MV距离是4.5m. (结果精确到0.1m,参考数据: ) (1)求下折臂 DE的长; (2) 求路灯 AB的高. 24.(10分)在脱贫攻坚与乡村振兴的伟大事业中，各地人民互帮互助、携手共富。受此启发，数学兴趣小组定义了“帮扶函数”与“帮扶点”。若两个函数y₁，y₂均为关于x的函数，当有且只有两个x的值使得 时，称y₁与y₂互为“帮扶函数”。若使得 时的两个x的值分别为 且当x=x₁时y₁对应的函数值为m，x=x₂时，y₂对应的函数值为n，则点(x₁，m)和(x₂，n)称为函数y₁与y₂的“帮扶点”。 (1)下列几组函数中y₁与y₂互为“帮扶函数”的有 (填序号) (2)已知 函数y₁与y₂的“帮扶点”为A、B。若二次函数y₃与y₂互为“帮扶函数”，且y₃与y₂的“帮扶点”也是A、B，二次函数y₃的图象还过点( 点 P 为线段AB上不与A、B重合的一动点，过点P 作平行于 y轴的直线分别交二次函数y₂与二次函数y₃的图像于 M、N两点，分别连接AN、BN、AM、BM，请判断 是否为定值。若是定值，求出其定值；若不是定值，请说明理由。 (3)在(2)的条件下，若函数 当t-1≤x≤t时,函数h的最大值为 求t的值。 25 (10分)如图,四边形ABCD内接于⊙O, AB为⊙O的直径,点C,D在AB的同侧,延长DC交AB的延长线于点 E,过点 A 作AF∥DE交⊙O 于点 M,令⊙O 的半径为r. (1)求证:∠F=∠DAE. (2)若 求AM·CD的值. (3)令求(用含的式子表示) 学科网（北京）股份有限公司 $