21.8 梯形（教学课件）数学新教材冀教版八年级下册

21.8 梯形 第二十一章 四边形 【新教材】冀教版·八年级下册 章节导读 21.1多边形 21.2 平行四边形性质 21.4三角形中位线 四边形内外角和 多边形内外角和 性质定理一 性质定理二 21.5矩形 中位线定理 性质定理三 21.3 平行四边形的判定 判定定理一 判定定理二 判定定理三 矩形的性质 矩形的判定 21.6菱形 菱形的性质 菱形的判定 21.7正方形 21.8梯形 学 习 目 标 1 2 3 理解梯形的定义及相关概念（上底、下底、腰、高），掌握直角梯形、等腰梯形的定义，理解等腰梯形的性质，能运用性质进行计算与证明 经历梯形概念的形成、性质的探究与证明过程，体会转化与化归、数形结合的数学思想，提升逻辑推理与辅助线构造能力 在探究与应用中感受梯形在生活中的应用价值，培养严谨的几何思维，体会转化思想在解决梯形问题中的作用 情景导入 在现实生活中，还存在着一类四边形,它们与平行四边形不同. 请观察下面的图片，从中找出这类四边形，并就它们的共同特征和不同特性，和同学互相交流 从上面的图片中,可以抽象出如下一类四边形. 共同特征：只有一组对边平行。 不同特征根据边和角的差异，又可分为等腰梯形和直角梯形 新知探究 梯形的定义 四边形 只有一组对边平行 梯形 我们把只有一组对边平行的四边形叫作梯形. 注意事项： ① 必须是 “有且仅有一组”，两组都平行的是平行四边形，不属于梯形 ② 另一组对边一定不平行，否则就是平行四边形了 新知探究 梯形各部分名称及分类 梯形 A B C D E 上底 下底 腰 腰 高 在梯形中,平行的两边叫作梯形的底， 通常把较短的底叫作上底，较长的底叫作下底; 如图CD为梯形上底，AB为梯形下底 不平行的两边叫作梯形的腰; 如图AD和BC是梯形的腰 梯形上底和下底之间的垂线段叫作梯形的高 如图DE为梯形的高 如图，有一个角是直角的梯形叫作直角梯形, 两腰相等的梯形叫作等腰梯形. 它们都是特殊的梯形. 等腰梯形 直角梯形 新知探究 做一做 画出一个梯形,并按下列要求分割这个梯形. (1)分割成一个平行四边形和一个三角形. (2)分割成矩形和直角三角形. 解：(1)如图所示，有两种做法 (2)如图所示， 注意直角梯形会分割成一个矩形和一个直角三角形； 其他梯形会分割成一个矩形和两个直角三角形 典例分析 例1 已知:如图，在梯形ABCD 中，AB//DC，AD=BC 求证:∠A=∠B 证明:如图过点C 作CE//AD，交AB 于点E 又 AB//DC 四边形ADCE 是平行四边形. AD=EC 又 AD=BC EC=BC ∠CEB=∠B CE//AD ∠CEB=∠A ∠A=∠B E 如果把已知条件中的 “AD=BC”换成 “∠A=∠B” 你能证出AD=BC 吗 作辅助线构造平行四边形与等腰三角形，把梯形问题转化为熟悉的平行四边形和等腰三角形问题 典例分析 变式 已知:如图，在梯形ABCD 中，AB//DC，∠A=∠B 求证:AD=BC 证明:如图过点C 作CE//AD，交AB 于点E 又 AB//DC 四边形ADCE 是平行四边形. AD//EC ∠A=∠CEB 又 ∠A=∠B ∠CEB=∠B CE=BC 又AD=CE AD=BC E 解:如图作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E，F，则∠AEF=∠DFC=90° AE//DF. 又 AD//BC， 四边形 AEFD 是矩形. AE=DF，AD=EF 在Rt△ABE 中 ∠B=45° AE=BE 由,得解得AE=10m AE=BE=DF=10m. 在Rt△DFC 中,由∠DCB=30°,得CD=2DF=20m. (m). (m). 答:CD 的长为20m,堤坝横断面的面积为(). 典例分析 例2 如图，梯形ABCD是一座水库堤坝的横断面. 已知AD∥BC， ∠B=45°，∠DCB=30°，坝顶AD=6m，AB=102 m. 求CD 的 长及堤坝横断面(即梯形ABCD)的面积. E F 即学即练 方法技巧 梯形周长问题中，遇到平行条件时，优先构造平行四边形，通过整体代入法简化计算，不用分别求出每条边的长度，既节省时间又不易出错 如图，在梯形ABCD 中，已知AB//CD，点E 在边AB 上，CE//AD，AE=5，△BCE 的周长为27. 求梯形ABCD 的周长. 解： AB//CD，CE//AD， 四边形AECD是平行四边形 AD = CE，CD = AE = 5 △BCE的周长为27， BC + CE + BE = 27， 即 BC + AD + BE = 27 梯形ABCD的周长 = AB + BC + CD + AD = (AE + BE) + BC + CD + AD = AE + (BE + BC + AD) + CD = 5 + 27 + 5 = 37 答：梯形ABCD的周长为37 解：过点B作BE⊥DC于点E， AB∥DC，∠A=90°， 四边形ABED是矩形， DE = AB = 10，BE = AD（即梯形的高） DC = 15， EC = DCDE = 15 10 = 5。 在Rt△BEC中，BC = 13，EC = 5， 由勾股定理得： BE = 梯形的高为12。 即学即练 方法技巧 直角梯形的高，通常就是其直角腰的长度。当无法直接求出腰长时，通过作高构造直角三角形，再利用勾股定理求解，是这类题的通用解法 如图,在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠A=90°，AB=10，BC=13，DC=15.求梯形的高 E 课堂练习 1.如图，在等腰梯形中，， ， ，，且，则 的周长是 ( ) C A.3 B.12 C.15 D.19 解：四边形ABCD是等腰梯形 CD=AB=6 易得四边形ABED是平行四边形， DE=AB=6，BE=AD=5 CE=BCBE=85=3 △DEC的周长=663=15 课堂练习 2.如图，在梯形中，，若 ， 那么 等于( ) B A. B. C. D. 解：△ABC与△ADB同底等高， == 课堂练习 3.一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为( ) B A. B. C. D. 解：如图作辅助线，可得左右各为等腰直角三角形，可得锐角为45° 解： 延长CM交DA的延长线于点N. AD∥BC， ∠NAM = ∠B，∠N = ∠BCM. M是AB的中点， AM = BM. 易得 △AMN △BMC（AAS）， AN = BC，MN = CM = 6.5， CN = CM + MN = 13. ∠D = 90°， 在Rt△CDN中，CD² + DN² = CN². DN = DA + AN = DA + BC， 已知 BC + CD + DA = 17，即 DN + CD = 17， 设 DN = ，则 CD = 17 - x， 利用勾股定理得 CD = 12 或 CD = 5，两种情况面积相同 梯形ABCD的面积 = 30 课堂练习 4.如图，在四边形中，， ，是 的中点， 若，，则四边形 的面积为____. 30 N 课堂练习 5.如图，四边形中，， ． （1）求证：四边形 是等腰梯形； 证明：过点作，交于点，则 . , , , , 四边形 是平行四边形, ，即 . 四边形 是梯形. 又， 梯形 是等腰梯形. （2）连接，当时，求 的度数． 解：, . , , , . , . , , 易得 ， . 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 类比思想 转化与化归 感谢聆听! 【新教材】冀教版·八年级下册 $