陕西省西安交通大学附属中学2025-2026学年第二学期高三强训(七)数学试题

交大附中2025~2026学年第二学期 高2026届高三强训（七）数学试题 注意：本试题共4页，四道大题． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 3．已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（ ） A．的值域 B．是单调函数 C．是偶函数 D． 4．若函数图象的相邻两个对称中心的距离为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 6．方程表示的圆锥曲线的离心率（ ） A． B． C． D． 7．如图，，，为山脚，两侧共线的三点，在山顶处测得，，处的俯角分别为，，，并测得，，，则隧道的长度为（ ） A． B． C． D． 8．若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．现从某基地采摘的所有脐橙中随机抽取了100个脐橙，测量这些脐橙的果径(单位：)，并将所得果径数据分成以下几组：，，，，，所得数据如频率分布直方图所示(同组数据用该组区间的中点值作代表)，则（ ） A．的值为 B．这个脐橙果径的平均数为 C．这个脐橙果径的第百分位数为 D．这个脐橙中果径不小于的个数为 10．已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的最小值为 D．在上有四个不同的实数解 11．如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当时，二面角的正切值为 C．四面体的外接球体积为 D．若，则的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知、之间的一组数据如表： 1 3 6 7 8 1 2 3 4 5 对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为与，利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是            ．（填或） 13．多项式的展开式中项的系数为            ． 14．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为            ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求． 16．（15分）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球．现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出． （1）求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； （2）记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列和期望． 17．（15分）已知点为抛物线的焦点，点在上，且． （1）求的方程； （2）过上的动点作的切线，与直线交于点，过作的垂线，垂足为．当时，求点的坐标． 18．（17分）图1的几何体是首次出现于埃舍尔所作的《瀑布》中，后称“埃舍尔多面体”．埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，，将极点，，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如图2，埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图3我们构造了其中两个四棱锥与． （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）若将“埃舍尔多面体”补全：求 ①该几何体的表面积；②该几何体的体积． 19．（17分）已知函数（，且）． （1）当时， ①证明：曲线是中心对称曲线，并指出对称中心坐标． ②设函数，求证：． （2）当时，记；，设，是否存在正整数对，以、、的值为边长能构成三角形，若存在求正整数的值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学强训七参考答案与试题解析 1-8：D B C C B D A D 9：ACD 10：AD 11：ABD 12： 13：-360. 14：． 15．【解答】解：（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式，所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 16．【解答】解：（1）记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”，则，，所以； （2）由题意，的所有可能取值为，，，，则， ， ，， 所以随机变量的分布列为 ． 17．【解答】解：（1）由抛物线，可得其焦点为，准线方程为． 因为点在上，且，可得，解得，所以抛物线的方程为． （2）由抛物线，可得， 设点，可得，所以切线方程为， 整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 又由，可得，所以的方程为，则， 则的方程为． 联立方程组，解得， 则，因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，解得，解得， 所以点或． 18．【解答】解：（1）以为原点，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，． 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，设与平面所成角为，， 则， 所以， 故直线与平面所成角的余弦值为． （2）由（1）得，，，， ，，所以， 所以四边形为平行四边形，又，所以， 所以四边形为菱形，又，， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，又， 所以点到平面的距离， 所以四棱锥的体积， 四棱锥的体积， 所以该几何体的体积为； 因为，，， 所以到的距离为， 同理可得，到直线的距离， 所以四棱锥的侧面积， 所以该几何体的表面积为， 综上，该几何体的表面积为，体积为4． 19．【解答】（1）证明：若，则， （i）因为的定义域为， 若关于点对称，则， 即，整理可得， 则，解得， 即恒成立，所以曲线是中心对称曲线，对称中心坐标为； （ii）证明：因为，，则， 又因为，在内单调递增，可知在内单调递增， 当趋近于0时，趋近于；且； 可知在内有且仅有个零点， 当时，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，可得，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，不符合， 所以． （2）解：当时，则，， 存在正整数的值为4，5，6时，满足，，的值均能构成三角形， 由题意得：，，， 不妨设，，，均在第一象限， 由可知，，，故点恒在线段上， 则由， 即对任意的，恒成立， 令，构造函数，， 则，由单调递增，又，， 存在使得， 即当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 故至多2个零点，又由，，，， 可知存在2个零点， 不妨设，，且，． ①若，，此时或， 则，可知成立， 要使，，的值均能构成三角形，所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，时，此时，则，可知成立， 根据三角形的性质，可得恒成立，故， 所以有，解得或5； 综上可知，正整数为4，5，6． 学科网（北京）股份有限公司 $