精品解析：黑龙江哈尔滨德强学校2025一2026学年度下学期九年级中考一模数学试卷

德强中学2025−2026学年度下学期九年级校一模 数学学科 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 由四个完全相同的正方体组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线与轴交点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是化学元素周期表中原子序数为1～5的元素，从中随机选取一种元素，则这种元素恰好是非金属元素的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点G，交的延长线于点H，若，，的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 10. 如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数y= 中，自变量x的取值范围是________． 12. 计算＝_____________． 13. 分解因式：2x2﹣8=_______ 14. 不等式组的解集是______． 15. 已知扇形半径是，弧长为，则扇形的圆心角为________ 16. 定义一种新运算：，例如．则的值为________ 17. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，∵重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第八代勾股树中正方形的个数为________ 18. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（赫兹）与振动弦长（米）近似成反比例关系，即（为常数，），若振动弦长为米时，测得振动频率为赫兹，若振动弦长为米，则振动频率为________ 19. 在矩形中，对角线、交于点，过作，垂足为点，若，则的正弦值为________ 20. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将线段绕点顺时针旋转得到．连接、、、．下列结论中：①为等边三角形；②；③周长的最小值是；④若，则．所有正确结论的序号是________ 三、解答题（其中题各分，各分，题各分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，、均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）画，点在格点上； （2）连接，在上找一点，连接，使并直接写出的值． 23. 为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： A款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是： B款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是： 两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图 类别 A B 平均数 中位数 b 众数 a 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机架、B款智能玩具飞机架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？ 24. 定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫做奇特线． （1）如图，矩形的对角线、交于点，，，求证：四边形是奇特四边形； （2）如图，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长． 25. 某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用元购进的A种纪念品与用元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元； （2）若该商店准备买两种纪念品一共个，若购买A种纪念品的数量不低于B种纪念品数量的倍，求购买B种纪念品多少个时，该商店花费最多，最多费用是多少？ 26. 如图，四边形内接于，连接，． （1）求证：为直径； （2）如图，连接交于点，若，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，为中点，连接交于点（在点左侧），连接、交于点，若，，求的长． 27. 如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别交轴、轴于点、，． （1）求直线的解析式； （2）如图，为上一点，连接，，为上一点，过作轴交于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（2）的条件下，，为轴正半轴上一点，连接、，直线分别交、轴于点、，为第一象限内一点，连接、、，，，为上一点，连接，过作于点，连接，，为上一点，为延长线上一点，连接、，，若，，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德强中学2025−2026学年度下学期九年级校一模 数学学科 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、，是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； C、是整数，属于有理数，不符合题意； D、是有限小数，属于有理数，不符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根、负整数指数幂、平方差公式、零指数幂的运算法则逐一计算判断选项即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误． 3. 如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是理解中心对称图形的定义并据此对每个选项进行判断． 根据中心对称图形的定义，判断四个选项中的图形绕某一点旋转后能否与自身重合． 【详解】A、绕任何一点旋转后，都不能与自身重合，所以它不是中心对称图形； B、绕任何一点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形； C、绕图案的中心旋转后能与自身重合，符合中心对称图形的定义，是中心对称图形； D、绕任何一点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 故选：C． 4. 由四个完全相同的正方体组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形即为俯视图进行求解即可． 【详解】解：由几何体的形状可知，从上面看时，看到的是三个小正方形排成一排， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 5. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为． 6. 抛物线与轴交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为，将代入抛物线解析式计算出的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：当时， ， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 7. 如图是化学元素周期表中原子序数为1～5的元素，从中随机选取一种元素，则这种元素恰好是非金属元素的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：从中随机选取一种元素，共有种等可能结果，其中这种元素恰好是非金属元素的情况有氢、氦、硼种结果， 从中随机选取一种元素，则这种元素恰好是非金属元素的概率是． 8. 如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图， 是的直径， ， 由图可得，， ． 9. 如图，中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点G，交的延长线于点H，若，，的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，由角平分线的定义结合平行四边形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 10. 如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据拐点得到各个自变量范围内的函数解析式是解决本题的关键．易得点P运动的路程为，点Q运动的路程为．当时，点P在线段上，点Q在线段上，过点Q作于点E，求得的长度，然后根据面积公式可得y与x关系式；当点P在线段上时，，边上的高是和之间的距离为，根据面积公式可得y与x之间的关系式；当点Q在线段上时，，作出边上的高，利用三角形的面积公式可得y与x的关系式．然后根据各个函数解析式可得正确选项． 【详解】解：∵点P的速度是，点Q的速度为，运动时间为x（s）， ∴点P运动的路程为，点Q运动的路程为． ①当时，点P在线段上，点Q在线段上． 过点Q作于点E， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象，排除B； ②当时，点P在线段上，点Q在线段上． 过点C作于点F，则为中边上的高． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为y随x的增大而增大的正比例函数图象，故排除A； ③当时，点P在线段上，点Q在线段上． 过点P作于点M． ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∴． 由题意得：． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数y= 中，自变量x的取值范围是________． 【答案】x≠ 【解析】 【详解】解：由题意得：2x﹣1≠0，解得x≠．故答案为x≠． 12. 计算＝_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式=2﹣3×=2﹣=． 故答案为： 13. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 14. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 15. 已知扇形半径是，弧长为，则扇形的圆心角为________ 【答案】##135度 【解析】 【分析】已知扇形的半径和弧长，直接利用弧长公式即可求出圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的圆心角为度，根据弧长公式， 将，代入， 得 解得． 16. 定义一种新运算：，例如．则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题目给出的新运算规则，代入对应数值，按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得，， 将，代入， 得 ． 17. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，∵重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第八代勾股树中正方形的个数为________ 【答案】511 【解析】 【分析】通过观察图形，分析每一代勾股树中正方形个数的构成，归纳出第代正方形个数的规律，代入利用有理数的乘方运算进行计算． 【详解】解：第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， ∴第n代勾股树中正方形有（个）， 第八代勾股树中正方形有（个）． 18. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（赫兹）与振动弦长（米）近似成反比例关系，即（为常数，），若振动弦长为米时，测得振动频率为赫兹，若振动弦长为米，则振动频率为________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知的弦长和振动频率求出常数，再将新的弦长代入反比例关系式，即可求出对应的振动频率． 【详解】解：将，代入， 得 解得， ∴反比例关系式为， 将代入， 得． 19. 在矩形中，对角线、交于点，过作，垂足为点，若，则的正弦值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，设，再得出，进而在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，再根据锐角正弦的定义计算的正弦值． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ， ， ，即是直角三角形， ∴， ∴． 20. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将线段绕点顺时针旋转得到．连接、、、．下列结论中：①为等边三角形；②；③周长的最小值是；④若，则．所有正确结论的序号是________ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①将线段绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质可证得为等边三角形； ②可证得，则，又为等边三角形，，于是证得； ③作点关于的对称点，交的延长线于点，连接，，，交于点，可证得为的垂直平分线，，周长，当点，，三点共线时，周长有最小值，即可求出最小值； ④，过点作于，设， 用含有的式子表示各线段的长，在中，，在中，，由列方程可解得的值，即可计算出． 【详解】解：①∵将线段绕点顺时针旋转得到， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴为等边三角形； ②∵是等边三角形，为边上的高， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； ③作点关于的对称点，交的延长线于点，连接，，交于点， ∴为的垂直平分线， ∴，，， ∵，为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，， ∴， 周长， 当点，，三点共线时，周长有最小值，最小值为； ④过点作于， ∵，为等边三角形，且边长均为， ∴四边形是菱形，，，， ，设，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴，，， ， 或，，， ． 三、解答题（其中题各分，各分，题各分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先利用分式运算法则化简原式，再根据特殊角的三角函数值求出x的值，代入化简结果计算即可得到最终结果． 【详解】解： ， ∵ ， ∴． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，、均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）画，点在格点上； （2）连接，在上找一点，连接，使并直接写出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用勾股定理计算三边长度，由且，证为等腰直角三角形，得； （2）由面积比推出，利用相似三角形找到点，过作，结合等腰直角三角形性质求出、，计算得． 【小问1详解】 解：如图: ∵每个小正方形的边长均为1个单位长度， ∴，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴； 【小问2详解】 过点作水平射线，在射线上取格点、，使,，连接，过作交于点，连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 过点作于点，如图： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵、、共线， ∴在中，， ∴． 【点睛】格点用等腰直角三角形构造，面积比转线段比，相似三角形比例关系精准找点． 23. 为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： A款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是： B款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是： 两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图 类别 A B 平均数 中位数 b 众数 a 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机架、B款智能玩具飞机架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？ 【答案】（1），，； （2）B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定； （3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架． 【解析】 【分析】（1）由A款数据可得A款的众数，即可求出，由B款扇形数据可求得合格数及优秀数，从而求得中位数及优秀等次的百分比； （2）根据方差越小越稳定即可判断； （3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可． 【小问1详解】 解：由题意可知架A款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为，即； 由B款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为， 则B款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：（架） 则B款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：（架） 则B款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：， 故B款智能玩具飞机运行时间的中位数为： B款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为： 即 故答案为：，，； 【小问2详解】 B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定； 【小问3详解】 架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为： （架） 架B款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为： （架） 则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：架， 答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架． 【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、百分比，用方差做决策，用样本估计总体；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 24. 定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫做奇特线． （1）如图，矩形的对角线、交于点，，，求证：四边形是奇特四边形； （2）如图，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 在矩形中，，即为直角三角形， 由矩形的性质可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 四边形是奇特四边形； （2）的长为10或或 【解析】 【分析】（1）证得且，判定为奇特四边形； （2）分情况讨论，当，，时，分别求长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在菱形中，为直角三角形， ， ， ∴， ， ， ①当时，如图，作交于点， ， ， 为等腰三角形， ， ； ②如图，设底边的高为， 当时， 解得， ， 为底边的高， ， ； ③如图，设底边的高为， 当时， 解得， 即为的高， ． 25. 某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用元购进的A种纪念品与用元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元； （2）若该商店准备买两种纪念品一共个，若购买A种纪念品的数量不低于B种纪念品数量的倍，求购买B种纪念品多少个时，该商店花费最多，最多费用是多少？ 【答案】（1）A种纪念品每件进价为元，B种纪念品每件进价为元； （2）购买B种纪念品个时，该商店花费最多，最多费用是元 【解析】 【分析】（1）设A种纪念品每件进价为元，根据两种纪念品购进数量相同的条件列分式方程，求解检验后得到两种纪念品的进价； （2）设购买B种纪念品个，写出总费用关于该变量的一次函数表达式，根据A数量不低于B数量2倍的条件求出自变量取值范围，利用一次函数的增减性求出最大花费． 【小问1详解】 解：设A种纪念品每件进价为元，则B种纪念品每件进价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则B种纪念品每件进价为， 答：A种纪念品每件进价为20元，B种纪念品每件进价为30元； 【小问2详解】 解：设购买B种纪念品个，总费用为元，则购买A种纪念品个， 根据题意得，， 由题意得 解得， ， 随的增大而增大， 为非负整数， 当取最大值33时，取得最大值， （元）， 答：购买B种纪念品33个时，该商店花费最多，最多费用是2330元． 26. 如图，四边形内接于，连接，． （1）求证：为直径； （2）如图，连接交于点，若，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，为中点，连接交于点（在点左侧），连接、交于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形内接于， ， 又， 解得， 为的直径； （2）证明：在中，， ∵，且， ∴， ∴， 由图可得，， ， ； （3）的长为 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形对角互补得，结合推出，根据“圆周角所对的弦是直径”，即可得证； （2）在中，由内角和与已知，推得；再由同弧所对圆周角相等得，等量代换得，根据等角对等边，证得； （3）由前两问得为等腰直角三角形，且．设，由，用勾股定理得；是中点，是中位线，；作，利用相似与三角函数列方程解得，得、；再通过面积法与相似三角形，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）（2）得，是直径，，， ∴为等腰直角三角形， 连接，过作于，如图， 是中点， 且， 设，在中，， ∵， ∴， ， 解得， 半径，，，， 是中点，O是中点， 是的中位线， 且， ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， ， ∴，， 此时 解得， 在中，，， 此时 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ， 设， ∴ 解得（舍去），， （负值舍去）， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴， 过作于，过F作于I，如图， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ， 解得， ∴， ∴， 过F作于J，过C作于L，如图， ∵与同底， ∴， 由图可得，， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，核心技巧是利用圆的性质（内接四边形、圆周角、直径）转化角度与线段，结合中位线、相似三角形、勾股定理与面积法求解．常见错误：角度等量代换错误、方程求解漏舍不合理解、相似对应边比例搞反；避坑需先明确直径、等腰直角等基础图形，分步推导线段关系，解后验证结果合理性． 27. 如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别交轴、轴于点、，． （1）求直线的解析式； （2）如图，为上一点，连接，，为上一点，过作轴交于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（2）的条件下，，为轴正半轴上一点，连接、，直线分别交、轴于点、，为第一象限内一点，连接、、，，，为上一点，连接，过作于点，连接，，为上一点，为延长线上一点，连接、，，若，，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数的性质求出，，结合，利用勾股定理列出关于的方程，求出的值即可解答； （2）在轴负半轴上取点使得，连接，易证，得到，设，利用三角形内角和定理求出，则，，由题意得，，再利用即可求解； （3）根据勾股定理求出，过点作交延长线于点，证明求出的长，再证出，得到，得到，进而证出，利用一次函数的性质得到，得到是等腰直角三角形；过点作于点，过点作交延长线于点，连接，利用等腰三角形的性质和判定推出，则，结合，则有，进而得到；延长至使得，连接，作轴于点，证明得到，，设，则，表示出点坐标，再代入直线的解析式，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，，解得； ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图2，在轴负半轴上取点使得，连接， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴， 由题意得，，， ∴，，， ∴ ， 综上，与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由（2）得，，，， ∴， 过点作交延长线于点， 则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 对于直线， 当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，； 过点作于点，过点作交延长线于点，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 延长至使得，连接，作轴于点， 则，， 由（2）得，，解得， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴点在以为直径的圆上， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为， 代入得，， 解得， 则，， ∴点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $