精品解析：黑龙江大庆市祥阁学校2025-2026学年九年级下学期数学学科模拟训练（一）

祥阁学校九年级数学学科模拟训练（一） 一．选择题：本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求 1. 是（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 随着“一带一路”走深走实，中国已成为多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年均增长，达到元，是全球经济发展的最大动力源．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握相关知识是解决问题的关键．需将数字表示为 的形式，其中 ， 为整数． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列四个博物馆的标志中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 墀头（chítóu）是中国古代传统建筑构件，特指山墙伸出檐柱外的部分，具有支撑屋檐和排水挡水的功能．如图，是墀头中的一块部件，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图为： 5. 下列说法正确的是（   ） A. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离 B. 平分直径的弦会垂直于这条直径 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. A，B两组学生身高的平均数相同，方差分别为 ，则A组学生的身高较整齐 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的距离定义，垂径定理，平行线判定，方差越小数据越稳定逐项判定即可． 【详解】解：、根据点到直线距离的定义，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故本选项符合题意； 、因为平分直径的弦是直径，所以根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可知平分直径的弦不一定垂直于这条直径，故本选项不符合题意； 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本选项不符合题意； 、因为，所以组学生的身高较整齐，故本选项不符合题意； 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于y轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将方程化为一般形式，求出得到点坐标，再根据对称特征求对称点坐标即可． 【详解】解： ，其中， ∴，，即点坐标为， ∵点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于y轴对称的点为． 7. 如下图所示，中，是 边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交 于点，又将 沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在图①的△ABC中，根据三角形内角和定理，可求得∠B+∠C=150°；结合折叠的性质和图②③可知：∠B=3∠CBD，即可在△CBD中，得到另一个关于∠B、∠C度数的等量关系式，联立两式即可求得∠B的度数． 【详解】解：在△ABC中，∠A=30°，则∠B+∠C=150°①； 根据折叠的性质知：∠B=3∠CBD，∠BCD=∠C； 在△CBD中，则有：∠CBD+∠BCD=180°-82°，即： ∠B+∠C=98°②； ①-②，得：∠B=52°， 解得∠B=78°． 故选A. 【点睛】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠B和∠CBD的倍数关系是解答此题的关键． 8. 在化学实验中，酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．小明在实验中看到实验台上有四瓶没有标签的无色溶液，他只知道它们分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小明随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定能使酚酞变红的溶液数量，再列举出所有等可能的选瓶情况，找出符合条件的情况数，利用概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，四瓶溶液中，能使酚酞变红的碱溶液共 瓶，不能使酚酞变红的酸溶液共 瓶． 将两瓶变红溶液记为，两瓶不变红溶液记为． ∵从瓶中随机选 瓶，所有等可能的情况为，共种． 其中只有一瓶变红色的情况共种． ∴所求概率． 9. 如图是反比例函数的图象，等腰 的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，构造一线三等角，然后证得 ，证得点的横纵坐标相等，将点代入反比例函数中求解． 【详解】解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作， 交 的延长线于点， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∴ ， 在 和中，， ∴， ∴， ∴点的横纵坐标的绝对值相等， 又∵点在第一象限， ∴点的横纵坐标相等， 设点，，且点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 10. 如图，菱形中，，点是边上的点，， ，点是上的一点，是以点 为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】如图：过E作 于点M，作 于点H，作于点I，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到，因为，所以求出 的值即可解答． 【详解】解：如图，过E作 于点M，作 于点H，作于点I， ∵， ∴点E、M、F、G四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴最小值是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键． 二．填空题：本题8小题，每小题3分，共24分． 11. 要使代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的要求， 可得， 解不等式得 ， 解不等式得 ， 因此的取值范围是． 12. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】原式 ． 13. 若不等式组的解集是，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了已知不等式组的解集求字母参数的值，代数式求值，解答关键是根据数轴比较解集得到字母参数的值． 解出不等式组的解集，与已知解集比较，得到，，求出， ，然后代入求解即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为 ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 14. 已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为6，则其底面圆半径为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】设底面圆半径为 ，根据题意列方程 求解即可． 【详解】解：如图所示， 设该圆锥底面圆半径为 ， 由题意得，侧面展开半圆的弧长为， 根据侧面展开扇形弧长等于圆锥底面周长，可得 ， 解得 ， 该圆锥底面圆半径为． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握处理增根问题的步骤：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，把代入整式方程计算求出m的值即可． 【详解】解： ， 由分式方程有增根，得到，即， 将，代入上式得，． 故答案为：． 16. 在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑤有____架无人机． 【答案】50 【解析】 【分析】根据前3个图无人机的数量，推算出第n个图无人机的数量为架，再将代入，即可求解． 【详解】解：第①个图无人机的数量为（架）， 第②个图无人机的数量为（架）， 第③个图无人机的数量为（架）， …… 第n个图无人机的数量为架， 当时，（架）． 17. 如图，在矩形中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，以点为圆心，的长为半径作弧，在矩形的内部与直线相交于点 ，连接并延长，交于点 ．若 是的中点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据作图可知为的垂直平分线，再由勾股定理可表示 的长度，由此可表示 的长度，结合三角形相似边成比例求解即可． 【详解】解：在矩形中，， 记与的交点为M，与 的交点为N，如图， 根据作图可知，为的垂直平分线，且， ∴为 的垂直平分线，四边形 是矩形， ∴，且， 设， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理可得， 两边同时平方可得， 则，即， ∴． 18. 对于二次函数，当自变量x的取值范围为（）时，对应的函数值y的取值范围也恰好是，我们称为该二次函数的“保值范围”．若二次函数存在“保值范围”，且，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到二次函数的顶点坐标为，结合条件可知最小值可取到顶点处，再根据二次函数的性质和最值解题． 【详解】解：二次函数，顶点坐标为； ∴当且时，二次函数的最小值为， ∵函数存在“保值范围”， ∴， ∴； 则或， 对于，则， 整理得：， ∵， ∴ ，， 此情况对应， 由及，可得， ∴， 即， 由于，则， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 故此情况下； 对于，则， ∵， 此情况对应， 由及，得， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴，即， 则； 综上所述，合并两种情况的范围，可得． 三．解答题：本题10小题，共66分． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握各运算法则、特殊角的三角函数值及运算顺序是解题的关键．先计算出乘方、立方根、特殊角的三角函数值及绝对值，再按运算顺序计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】括号里先通分进行分式加减运算，然后再进行分式乘除运算，根据特殊角的三角函数值求出x的值后代入，即可得出最后结果． 【详解】解： ， 当时， ， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟记分式混合运算的运算法则以及特殊的三角函数值是解答本题的关键． 21. 为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务，求原计划平均每月建成多少座充电站？ 【答案】原计划平均每月建成200座充电站 【解析】 【分析】设原计划平均每月建成座充电站，分别表示出原计划和实际的时间，再根据“提前3个月完成任务”建立分式方程求解． 【详解】解：设原计划平均每月建成座充电站，根据题意可列方程为 ， 解得 ， 经检验 是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每月建成200座充电站． 22. “手臂机器人”大家可能听说过，如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上胶类似，这种机器人一般由大、小臂组成，立柱与大臂间形成肘关节，可使大臂作回转运动和俯仰运动，小臂作俯仰摆动，如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，是垂直于工作台的移动基座，分别为机器人的大，小臂，其中小臂米，大臂米，移动基座米，当，时，求点C到工作台的距离的长（参考数据：， ， ） 【答案】 米 【解析】 【分析】延长，，过点B作的平行线，与，分别交于M，N，在中，解直角三角形得到，在中，解直角三角形得到，从而得到． 【详解】解：如图，延长，， 过点B作的平行线，与，分别交于M，N， 则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， ∴的长为 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 23. 每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读 小时，C：每周课外阅读 小时，D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______，______； （2）直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______， （4）若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人． 【答案】（1）50，32 （2） 补全条形统计图如下： （3） （4）每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名 【解析】 【分析】（1）用A的人数除以占比即可求出样本容量；用B的人数除以样本容量即可求出n； （2）用样本容量乘以D的占比求出D的人数，然后求出C的人数，然后补全统计图； （3）用乘以C的占比即可求出对应扇形的圆心角； （4）用2000乘以C和D的占比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是 ； ∴ ； 【小问2详解】 解：D的人数为 （人） ∴C的人数为 （人） 补全条形统计图略 【小问3详解】 解：扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为 ； 【小问4详解】 解： （名）． 答：每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名． 24. 如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接 并延长，交的延长线于点E，连接 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质及勾股定理， （1）根据平行四边形性质得出，证明，得出即可证明结论； （2）先求出，，根据勾股定理求出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即 ， ∴， ∵点F是的中点， ∴ ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 25. 为支持大学生勤工俭学，市政府向某大学生提供了万元的无息贷款用于销售某种自主研发的产品，并约定该学生用经营的利润逐步偿还无息贷款，已知该产品的生产成本为每件 元．每天还要支付其他费用元．该产品每天的销售量件与销售单价元关系为． （1）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润为多少元？注：每天的利润每天的销售利润一每天的支出费用 （2）若销售单价不得低于其生产成本，且销售每件产品的利润率不能超过 ，则该学生最快用多少天可以还清无息贷款？ 【答案】（1）当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元；（2）该生最快用100天可以还清无息贷款． 【解析】 【分析】（1）计算利润=销量×每件的利润-支付的费用，化为顶点式，可得结论； （2）先得出每日利润的最大值，即可求解． 【详解】(1) ∵＜0， ∴当x=25时，日利润最大，为200元， ∴当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元； (2) 由题意得：， 解得：， ， ∵＜0， ∴抛物线开口向下，当时，随的值增大而增大， ∴当x=15时，日利润最大为100元， ∵10000 100=100， ∴该生最快用100天可以还清无息贷款． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）． 26. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点 ，且点 的纵坐标为8．过点 作轴于点 ． （1）求的值： （2）点在线段 上，若 ， ①求的长： ②点为轴负半轴上动点，当与 的面积相等时，请直接写出所有符合题意的点的坐标． 【答案】（1）-32；（2）①5；② 或， 【解析】 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出，把点 的坐标代入反比例函数解析式求出； （2）①根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案； ②根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出符合题意的点的坐标． 【详解】解：（1）设点 的坐标为， 点 在正比例函数上， ， 解得，， 点 的坐标为， ； （2）①设，则， 点 的纵坐标为8， ， 在中，，即， 解得，，即； ②设点的坐标为，， 则，， 由（2）可知，， 由题意得，， 解得，或， 当与的面积相等时，点的坐标为 或， ． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图形和性质、三角形的面积计算、勾股定理是的应用，掌握反比例函数的性质、一次函数的性质是解题的关键． 27. 如图，是圆O的切线，A为切点，过点P作圆的直径交圆于点B，C两点，M为上一点，连接并延长交圆于点N，E为 上一点，且，连接并延长交圆于点D，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若， ，求圆的直径． 【答案】（1）证明：如图，连接、、 ， ∵是圆O的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 又∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，即； （3）5 【解析】 【分析】（1）连接、、，根据圆周角定理和三角形的外角的性质证明； （2）证明，即可得解； （3）根据计算． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由（1）知， 又∵是圆O的直径， ∴ ， ∴， ∴， ∴圆的直径为5． 28. 在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上． （1）请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； （2）如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点 在射线上，当与相似时，请求点 的坐标． 【答案】（1） （2）① ②， 【解析】 【分析】（1）把解析式设为交点式，再把代入解析式中求解即可； （2）①过点E作于H，由角平分线的性质得到．利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出 ，则，求出直线解析式为，再求出对称轴为直线 ，由此即可求出；②先求出，设，则，，分当时， 当时，两种情况根据相似三角形的性质建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：①过点E作于H， ∵射线平分，， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 设直线解析式为 ， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当 时， ， ∴； ②∵， ∴， 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祥阁学校九年级数学学科模拟训练（一） 一．选择题：本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求 1. 是（ ） A. B. 2026 C. D. 2. 随着“一带一路”走深走实，中国已成为多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年均增长，达到元，是全球经济发展的最大动力源．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个博物馆的标志中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 墀头（chítóu）是中国古代传统建筑构件，特指山墙伸出檐柱外的部分，具有支撑屋檐和排水挡水的功能．如图，是墀头中的一块部件，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（   ） A. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离 B. 平分直径的弦会垂直于这条直径 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. A，B两组学生身高的平均数相同，方差分别为 ，则A组学生的身高较整齐 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于y轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 7. 如下图所示，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将 沿着 翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的为（ ） A. B. C. D. 8. 在化学实验中，酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．小明在实验中看到实验台上有四瓶没有标签的无色溶液，他只知道它们分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小明随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形中，，点是边上的点，， ，点是上的一点，是以点 为直角顶点，为角的直角三角形，连结 ．当点在直线上运动时，线段 的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 二．填空题：本题8小题，每小题3分，共24分． 11. 要使代数式有意义，则x的取值范围是________． 12. 因式分解：___________． 13. 若不等式组的解集是，则__________． 14. 已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为6，则其底面圆半径为___________． 15. 若关于 的分式方程有增根，则的值是_______． 16. 在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑤有____架无人机． 17. 如图，在矩形中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，以点为圆心，的长为半径作弧，在矩形的内部与直线相交于点 ，连接并延长，交于点 ．若 是的中点，则_______． 18. 对于二次函数，当自变量x的取值范围为（）时，对应的函数值y的取值范围也恰好是，我们称为该二次函数的“保值范围”．若二次函数存在“保值范围”，且，则实数m的取值范围是______． 三．解答题：本题10小题，共66分． 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务，求原计划平均每月建成多少座充电站？ 22. “手臂机器人”大家可能听说过，如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上胶类似，这种机器人一般由大、小臂组成，立柱与大臂间形成肘关节，可使大臂作回转运动和俯仰运动，小臂作俯仰摆动，如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，是垂直于工作台的移动基座，分别为机器人的大，小臂，其中小臂米，大臂米，移动基座米，当，时，求点C到工作台的距离的长（参考数据：， ， ） 23. 每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读 小时，C：每周课外阅读 小时，D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______，______； （2）直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______， （4）若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人． 24. 如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接 并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求线段的长． 25. 为支持大学生勤工俭学，市政府向某大学生提供了万元的无息贷款用于销售某种自主研发的产品，并约定该学生用经营的利润逐步偿还无息贷款，已知该产品的生产成本为每件 元．每天还要支付其他费用元．该产品每天的销售量件与销售单价元关系为． （1）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润为多少元？注：每天的利润每天的销售利润一每天的支出费用 （2）若销售单价不得低于其生产成本，且销售每件产品的利润率不能超过 ，则该学生最快用多少天可以还清无息贷款？ 26. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点 ，且点 的纵坐标为8．过点 作轴于点 ． （1）求 的值： （2）点在线段 上，若 ， ①求的长： ②点为 轴负半轴上动点，当与 的面积相等时，请直接写出所有符合题意的点的坐标． 27. 如图，是圆O的切线，A为切点，过点P作圆的直径交圆于点B，C两点，M为上一点，连接并延长交圆于点N，E为 上一点，且，连接并延长交圆于点D，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若， ，求圆的直径． 28. 在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上． （1）请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； （2）如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点 在射线上，当与相似时，请求点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $