广东中山市广东博文学校2025-2026学年高二下学期4月考数学试卷

2026年广东省中山市广东博文学校高二下学期数学4月考 一、单选题 1.下列求导结果正确的是() A.(sin3)'=cos3 B (cosx) C.(elnz'=nx+元 1 e(x-1) D x x2 2.在等差数列an中，a7+a8=16,则a2+a13=（） A.12 B.16 C.20 D.24 3.函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是() A.3是f()的极小值 B.f(x)的极值点有3个 C.f(x)在区间(-∞，3)上单调递减 D.曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率 小于零 3 4.已知数列{an}满足 as= an+1=1+ (n∈N+,n≥2)，则ag的值为() 8 B. 5 3 C.2 13 D. 5已知等比数列}首项为-1，前项和为8，者受-分则公比内() A.1 B.1 2 C.-1 D-2 1 6.已知函数f(z)=x3-az2+az是R上的增函数，则a的取值范围（) A.(0,3) B.(-o,0)U(3,+∞) C.[0,3] D.(-∞，0]U3,+∞) 7.若f=,e<a<b,则() A.f(a)>f(6) B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1 8.已知Sn是等差数列[a}的前项n和，设Tn为数列} 的前项n和，若S4=12,58=40,则Sm= I n () A.(n+2)n B.n(n+1) 2 C.n(n-2) D.n(n-1) 2 2 二、多选题 9.已知函数f(x)=x3-3x+2,则（) A.f(x)在区间(-1,1)上单调递减B.f(x)的最小值为0 C.f(a)的对称中心为(0,2) D.方程f(x)=0有3个不同的解 10.己知数列{an}满足a2=4,an+1=2an+2”,则() an A.a1=2 2n-1 是等差数列 D. 2n 数列 的前99项和为 c.{} 定是等比数列 (n+1)an 99 100 11.已知数列{an}满足a1+3a2十…+3n-lan=n·3+1(n∈N*),设数列{an}的前n项和为Sn,则下 列结论正确的是() A.数列{an}为等差数列 C.数列(-1)”an}的前10项和为30 吕松+的前20项和为34 三、填空题 12.已知数列{an}是等差数列，a4,a17是方程x2-6x+8=0的两实数根，则数列{an}的前20项和为 13.函数f回=2空的极大值为 14.设函数f(x)=e2-e+1(e为自然对数的底数)·若f(a)+f(a-2)<2,则实数a的取值范围 是 四、解答题 15.已知函数fe)=x3-4红+4 31 (1)求函数的极值 (2)求函数在0,3上的最大值与最小值 16已知数列a的首项=言且满足a1=双2a∈) (①求证：数列上 -1}为等比数列： an (2)若1+ 1+1 1 <100,求满足条件的最大整数n. a1 a2 a3 an 17.己知数列{an}的首项a1=2,且满足an+1+an=4×3” (I)求证：{an-3”}是等比数列，并求出{an}的通项公式： (2)设bm=am-（-1)”,求数列{nbn}的前n项和Sn: 18.给定函数f(x)=xe 3 2 3210 -3 (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； 2)画出函数f(x)的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）； (3)求出方程f(c)=a(a∈R)的解的个数. 19.已知函数f(x)=ae2m+(a-2)e-x(a∈). (1)当a=0时，求f(x)在(0，f(O)处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性： (3)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 2026年广东省中山市广东博文学校高二下学期数学4月考 参考答案 【答案】 1.D 2.B 3.D 4.C 5.D 6.C 7.A 8.A 9.A,C 10.B,C 11.A,B,C 12.60 /8e?【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参、求已知函数的极值 14.(-o∞，1)【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 28 15.(1)f()极大值为f(-2)= 3 f@投小值为f包)=青 ②)最大值为f0)=4,最小值为f②)=-号 16.(1)证明如下： (2)满足条件的最大整数n=99. 17.(1)证明如下，an=3”+(-1)”. @8=×31+景 18.(1)x∈(-o,-1)时，(x)单调递减，x∈（-1，+o∞)时，f(x)单调递增 函数在x=-1处取得极小值为-e1,无极大值. (2)如下图 (3)若a<-e1,则方程有0个解； 若-e1<a<0,则方程有2个解； 若a=-e1或a≥0，则方程有1个解. 19.(1)切线方程为y=-3c-2. (2）当a≤0时，f(x)在(-∞，+∞)上单调递减； 当a>0时，f(x)在(-o,-lna)上单调递减，在(-lna,+oo)上单调递增. (3)若f(x)有两个零点，实数a的取值范围为(0,1). 【解析】 1.对于A,(sin3)'=0,故A错误； 对于B,(cosc)'=-sinx,故B错误； 对于C,(xlnc)'=x'lnx+x(nc)/=ln+l,故C错误； 对于D, e (e)'x-x'e2_e(c-1) 22 ,故D正确 x2 2.等差数列an中，a7+a8=16,则a2十a13=a7十a8=16. 故选：B. 3.A选项：由导函数图象可知3是函数f(c)的极小值点， f(c)的极小值为f(3),A选项错误； B选项：f(c)的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当x∈(-∞，-3)时，f(c)>0,函数单调递增， 当x∈(-3,3)时，f'(x)<0,函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知f(1)<0,即函数f(x)在x=1处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 4.因为5=1+1=8， a4=后所以a4= 又a,=1+古名所以m=子 3 故选：C 5.当公比g=1时， 0=2,不满足题意，当≠1时，50=g°-1，品=-1 1-q 1-g q0-1 所以S0 1-9 g-1 =+1-解得= 1-g 故选：D 6.函数f(x)=x3-ax2+ax,求导得：f”(x)=3x2-2ax+a. 由函数f(c)=x3-ax2+ac是R上的增函数，可得f(x)≥0在R上恒成立. 即3x2-2a+a≥0，所以有：△=4a2-12a≤0. 解得0≤a≤3.故选C 7.因为fe=z-1m-1- 2 .当x∈(e,+o∞)时，1-lnx<0,所以f(c)<0,所以f(c)在(e,+o∞)上为单调递 减函数.故f(a)>fb) 故选：A. 8.{an}是等差数列， {会 也为等差数列， S8=5, 8 设等若数列合}的公为4则=8子-日 .=3+n-42= 1-n+2 2 (n+2)n ∴.Sm= 2 故选：A. 9.对于A:f(x)=3x2-3,令f(x)>0→x<-1或x>1,令f(c)<0→-1<x<1, ∴.函数f(x)在(-∞，-1)，(1，+o∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，且f(-1)=4>0,f(1)=0, 可画出函数f(x)的大致图象如图所示，故A正确： 对于B:此函数无最小值，故B错误： 对于C:根据解析式易知f(x)+f(-c)=4,故C正确： 对于D:根据图象可知f(x)有2个不同的解，故D错误， 故选：AC 10.对A选项：令n=1可得：a2=2a1+22→4=2a1+2→a1=1,故A错误； 对选项邀推公式两边同除以2”，可得学-兰气+1，即学-2合 on 2n-7-1, 又=1，所以{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，故B正确： 20 2n-1 对C选项：由B可知： an 2n-1 =1+(m-1)×1=n,所以an=n.2n-1, 所以气=2”，所以{产}是以1为首项，2为公比的等比数列，故c正确 对D选项：因为 2n 32 2 (n+1)an n+2(信) 所以数列 2n 的前99项和为： (n+1)an 2(-+…+) 99 501 故D错误。 故选：BC 11.由题意， A项，a1+3a2+…+3m-1an=n·3m+1(n∈N*), 设bn=3”-1aw,则b1+b2+…+bn=n…3+1, 所以当n≥2时，b1+b2+…+bm-1=(m-1)3”, 两式相减得，bm=(2n+1)·3”, 当n=1时，b1=a1=9也适合上式。 则bm=(2n+1).3”=3n-1an, 解得：an=3(2m+1), 所以an+1-an=6, 故数列{an}是以9为首项，6为公差的等差数列，an=9+6(n-1)=6n+3, 故A正确； B项，3n=n(9+6m+3) 2 =3nm+2)=3n2+6m,故B正确： 选项C,数列{(-1)”an}的前10项和为： (-9+15)+(-21+27)+·+(-57+63)川=6×5=30，故C正确： 选项D, an-20=6n-17=17-6n,n≤26n-17,n≥3，n∈N*, 则{lan-20}前20项和为： N=11+5+1+7+13+.…+103=16+18(1+103)2=952 故D错误. 故选：ABC. 12.因为a4,a17是方程x2-6x+8=0的两实根，所以a4+a17=6, 又{an}是等差数列，所以a1十a20=a4十a17=6, 故数列a}的前20项和为50=20(a1+a0)=10×6=60. 2 13.f回-2二求导得，了回=红g-2-222- (e)2 e 则当x<0时，f(c)<0:0<<2时，f(x)>0;x>2时，f()<0. 即函数f回)=-2二在(-0,0)和2，+0)上单调递减，在0,2)上单调递增。 故函数f(z)= 答在=-2地取得极大值，为fen=阳=急 故答案为：立· 8 14.令g(x)=f(x)-1=e-e”,则g(x)是奇函数，且在R上是增函数. f(a)+f(a-2)<2台g(a)+g(a-2)<0台g(a-2)<-g(a)台g(a-2) 故答案为：(-∞，1)： 15.(1)根据题意可得f(c)=x2-4=(c-2)(c+2),令f'()=0,则x=2,c=-2. .x∈（-∞，-2)和(2，+∞)上，f()>0,f(c)在(-o,-2)、(2,+o∞)上单调递增. ·x∈(-2,2)上，f()<0,f(x)在(-2,2)上单调递减. 当x=-2时，寸@)有极大值，f()极大值为f(-2)=2 3 当：=2时，于a有极小值，于回极小值为fg)=专 (2)由(1)可知，在区间[0,2上单调减，在区间2,3]上单调增.且f(0)=4,f(3)=1, 放f回在0,3上最大值为fO=4最小值为f②)=专 16.1)1=30+1-31 an+14an4千4an 1 -1= 3a+1=3+1-1, an+1 4an 4+4n -1=- an+1 4 an a4-11 1 -1 =4 所以，数列1 1 l an -1小为等比数列，首项子-1=子公比= a1 n-1 ②)-1= 所以-() +1, 月月月川 6,=n+-()门 1-A=+1+1-()"---()门]-1-() 因为n∈N+, 所1-() n+1 >0, 所以数列bn}是单调递增数列， 又因为b9=99+ -()]s1bm=1m+ 部-（份）]m 故满足条件的最大整数n=99. 17.()证明：41-301=-0十4×30-3+1 =-4m+4×3”-3×3”=-4m+3” an -3n an -3n an-3n 3-1 所以{an-3”}是以a1-3=-1为首项，-1为公比的等比数列. 所以am-3”=（-1)”，所以am=3m+(-1)” (2)因为bn=an-（-1)=3”,所有nbn=n3”, Sm=1×31+2×32+3×33+4×34+…+n3m, 3Sn=1×32+2×33+3×34+…+(m-1)3”+n3n+1, 作差可得-2S=3+32+33+34++3”-n×3+1=3×(1-3”) -n×3m+1, 1-3 所以-×1+是 18.(1)x∈R,f()=(+1)e,x∈(-∞，-1)时，f(c)<0,f(x)单调递减，x∈(-1，+oo)时，f(e)>0,f()单 调递增，故函数在x=-1处取得极小值为f(-1)=一e1，无极大值. 3 1,e) 2 (2) 321 -1e) -2 作图说明：由(1)可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点(1，e);当x→+∞时，函 数增加得越来越快，当x→-o时，函数越来越接近于0. (3)结合图象可知，若a<-e1,则方程f(x)=a(aeR)有0个解；若-e1<a<0,则方程f()=a(aeR)有2 个解；若a=-e1或a≥0，则方程f(x)=a(a∈R)有1个解. 19.(1)当a=0时，函数f()=-2e-c,f(0)=-2, 又f(x)=-2e2-1,则f(0)=-2-1=-3. 所以f(x)在点(0，f(O)处的切线方程为y=-3x-2. (2)由题意知，f(c)的定义域为(-o∞，+∞)， f(c)=2ae2x+(a-2)e-1=(2e2+1)(ae2-1),显然2e2+1>0恒成立， ①若a≤0，则f(c)<0,此时f(x)在(-o∞，+o∞)上单调递减； ②若a>0,令f(x)=0,解得=-lna. 当c∈(-oo,-lna)时，f(x)<0,当x∈(-lna,+oo)时，f(x)>0: 所以f(x)在(-o,-lna)上单调递减，在(-na,+oo)上单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在(-∞，十∞)上单调递减： 当a>0时，f(c)在(-oo,-lna)上单调递减，在(-lna,+oo)上单调递增. (3)若a≤0，由(2)知，f(x)至多有一个零点： 若a>0,由2)知，当z=-a时，fe取得最小值为f(-)=1-君+lm g刻=1-+，则ga)=+日 2>0, 放g回国=1-兰+1c0+o)上单润递猫，又g0)=0 (i)当a∈山，十o∞)时，f-1na)=1-】+1na≥0，故此时f包)没有两个零点： (ii)当a∈(0,1)时，f(-na)=1-三+lna<0, a 又f(-2)=ae4+(a-2)e2+2>-2e2+2>0, 故f(c)在(-oo,-lna)上有一个零点； 当e>子由e>e可得e>2即ae>3,得ae-3>0,则ae+a-3>0 故e2(ae2+a-3)>0,即ae2z+ae”-3e2>0,又易知e>x, 则ae2x+aer-3e+e-x>0,即ae2r+(a-2)e-x>0, 因此f(x)在(-lna,+∞)上也有一个零点. 综上，若f(x)有两个零点，实数a的取值范围为(0,1).