精品解析：江苏连云港市赣榆经济开发区高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

赣榆高级中学经济开发区校区5月份学情检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2. 在锐角三角形中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在长方体中，，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，为上一点，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，则近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，且，则 B. 已知，，，则在上的投影向量是 C. 在中，若，则 D. 在中，若，则是锐角三角形 10. 已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11. 在正三棱柱中，，点、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 平面平面 C. 三棱柱外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 满足，的一个复数__________． 13. 曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置，当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是，若，，，则的值是_________． 14. 在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答． 问题：在中，角，，所对的边分别为，，，判断的形状． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 在锐角三角形中，，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，，为的中点． （1）证明：平面； （2）过，，作四棱锥的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积； （3）求二面角大小的正切值． 18. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数最小值及对应的取值集合； （3）若，求的值． 19. 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为6的棱形，，平面交平面CDEF于EF，平面平面ABCD，中BC边上的高，，． （1）求证： （2）求几何体ABCDEF的体积 （3）求直线与平面所成角的大小 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣榆高级中学经济开发区校区5月份学情检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解. 【详解】根据题意，复数是纯虚数， 所以且，解得. 故选：A 2. 在锐角三角形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】解：在锐角三角形中，，由正弦定理得， 又，所以，且，故. 故选：A. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线定理，就可以求出x的值，然后用模长公式求模长. 【详解】因为，所以，即 所以，所以 所以， 故选：B. 4. 在长方体中，，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，所以与所成角等于与所成的角，在三角形中，利用余弦定理求解． 【详解】如图，连接，． 在长方体中，因为，所以与所成角等于与所成的角； 在三角形中，， 由余弦定理得． 故选：． 5. 一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、下底半径和高，代入圆台底面积及侧面积公式，求出两底面积及侧面积，可得答案． 【详解】解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、下底半径和高． 如图示，过点作于，则中， ，， ． ． 故选：D 6. 如图，在矩形中，，，为上一点，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可． 【详解】解：由题意建立如图所示直角坐标系 因为，，则，，， 所以，，设， 因为，即，解得． 因为，所以， 所以，解得，则． 故选：． 7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，则近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆锥的体积为，故而，由可得的近似值. 【详解】设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长，所以， 所以， 令，得. 故选：B. 8. 在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用切化弦的思想以及两角和的公式，等价变形已知条件，求得，然后消元，得到，再一次化简为只有一个三角符号，再求出角A的范围，即可求解. 【详解】因为，所以 所以，又三角形ABC为锐角三角形，所以， 所以 又因为三角形ABC为锐角三角形，所以 所以 所以， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，且，则 B. 已知，，，则在上的投影向量是 C. 在中，若，则 D. 在中，若，则是锐角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数量积的运算律即可判断A，根据投影向量的定义即可求解B，由正余弦定理即可判断CD. 【详解】对于A，由得，由于，所以或者，故A错误， 对于B, 在上的投影向量是,故B正确， 对于C，由得，正弦定理可得，故C正确， 对于D,由 得，所以为锐角，但无法确定的大小，故无法确定是锐角三角形，故D错误， 故选：AD 10. 已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A选项，令，，若，则一定有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误； 对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确； 对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确； 对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、， 所以，故D项正确. 故选：BCD. 11. 在正三棱柱中，，点、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 平面平面 C. 三棱柱外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】判断出、、、四点共面，可判断A选项的正误；利用面面垂直判定定理可判断B选项的正误；求出三棱柱的外接球的半径，结合球体的表面积公式可判断C选项的正误；利用线面角的定义可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，、分别为、的中点，则， 且，故四边形为平行四边形，所以，，则， 所以，、、、四点共面，A错； 对于B选项，，为的中点，则， 平面，平面，， ，故平面， 平面，故平面平面，B对； 对于C选项，如下图所示： 圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心，则， 本题中，可将正三棱柱中，其中、 的外接圆分别为圆柱的两个底面圆， 的外接圆直径为， 故正三棱柱的外接球直径为， 因此，该三棱柱的外接球的表面积为，C对； 对于D选项，过点在平面内作，垂足为点 ， 由B选项可知，平面平面，平面 平面，， 且平面，所以，平面， 故与平面所成角为， 因为，为的中点，则 ，故， 在中，，故 与平面所成角的正弦值为，D对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 满足，的一个复数__________． 【答案】（或中的一个，答案不唯一） 【解析】 【分析】设，根据可得出或，分、两种情况讨论，结合复数的模长公式可求得复数的值. 【详解】设，则， 因为，则，即或. 当时，即，由，解得或，此时，或； 当时，即，由，解得，此时，. 综上所述，或. 故答案为：（或中的一个，答案不唯一） 13. 曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置，当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是，若，，，则的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据余弦定理解决实际问题，直接计算即可. 【详解】如下图， 在中， 由余弦定理可知， 另外，由图可知，在点与点重合时， , 故答案为：5 14. 在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 【答案】 ①. 27 ②. 【解析】 【分析】根据已知条件可得，求得三棱锥各面的面积即可求得表面积；利用线面垂直的判定定理可证明平面，设内切球半径为，利用等体积法求解内切球的半径，利用球的体积公式计算即可. 【详解】因为，，，在中，， 所以，又平面，所以， 因为平面，，，平面，所以，，， 故，又，，所以平面， 又平面，所以，所以，，，均为直角三角形， 设三棱锥的内切球的球心为，半径为，则， 即， 解得，故三棱锥的内切球的体积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答． 问题：在中，角，，所对的边分别为，，，判断的形状． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】若选条件①，等腰直角三角形；若选条件②，等腰或直角三角形；若选条件③，等腰三角形. 【解析】 【分析】若选择①，由正弦定理可得，，进而解出B,C即可得到答案； 若选择②，由正弦定理边化角，再通过降幂公式化简，即可得到A,B的关系，进而得到答案； 若选择③，由正弦定理边化角，通过两角和（差）的正弦化简，进而得到答案. 【详解】选条件①，由正弦定理知， ，又，∴知，∴，，则， 三角形为等腰直角三角形． 选条件②，由正弦定理：，即， 又因为，所以或，即或， 则三角形为等腰三角形或直角三角形. 条件③，则由正弦定理知， 即，又，所以，则由正弦定理知， 则三角形为等腰三角形． 16. 在锐角三角形中，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）求得，结合由差角正切公式求得，进而求得； （2）由可得结果. 【详解】由题意，为锐角三角形，∴，∴． ∴， ∴，∴． （2）∵，∴， ∴ ． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，，为的中点． （1）证明：平面； （2）过，，作四棱锥的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积； （3）求二面角大小的正切值． 【答案】（1）因为平面，平面，所以. 又，，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以. 因为，为的中点，所以. 又，平面，所以平面 （2） 如图，过E作，交于F，连接，则截面为四边形， 理由如下： 因为，，所以，所以，，，四点共面， 从而过，，的截面为四边形. 截面面积为； （3） 【解析】 【分析】（1）由，，结合线面垂直的判定证明即可； （2）作，得出，从而得出截面，再由梯形的面积公式得出截面面积； （3）过作于，过作于，连接，进而可证为二面角的平面角，计算求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知平面，所以， 又，，，所以四边形为直角梯形， 其面积. 【小问3详解】 过作于，过作于，连接. 因为平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为四边形是直角梯形，且， 所以四边形为矩形，所以，， 在直角三角形中，，由勾股定理得， 所以， 因为，所以， 在直角三角形中，，所以， 在直角三角形中，，所以， 所以二面角大小的正切值为． 18. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数最小值及对应的取值集合； （3）若，求的值． 【答案】（1）最小正周期； （2）函数的最小值是，此时取值集合为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的坐标表示，结合二倍角公式及辅助角公式求出，进而求出其周期. （2）由（1）的信息，利用正弦函数性质求解. （3）由（1）及已知求出，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【小问1详解】 依题意， ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 当，即时，函数取得最小值， 所以函数的最小值是，此时取值集合为. 【小问3详解】 由（1）知，则， 所以 . 19. 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为6的棱形，，平面交平面CDEF于EF，平面平面ABCD，中BC边上的高，，． （1）求证： （2）求几何体ABCDEF的体积 （3）求直线与平面所成角的大小 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理分析证明； （2）将多面体分割成两个锥体，结合锥体的体积公式运算求解； （3）利用等体积法求点到平面的距离，进而结合线面夹角的定义分析运算. 【小问1详解】 因为ABCD是菱形，则AB//CD， 平面，平面，可得AB //平面， 又因为平面平面，平面， 所以AB //EF. 【小问2详解】 连接 因为平面平面ABCD，平面平面，，平面， 所以平面ABCD， 由（1）可知：//，平面，平面， 所以//平面， 则四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积， 取的中点，连接， 由题意可知为等边三角形，则， 平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面， 又因为//，且，则三棱锥的高为， 可得三棱锥的体积， 所以几何体ABCDEF的体积. 【小问3详解】 连接， 在中，由余弦定理， 即， 由（2）可知：平面ABCD，平面ABCD，则， 所以， 在中，由余弦定理， 即为钝角，则， 设点到平面的距离为， 因为，则， 解得， 设直线与平面所成角为， 可得，则， 所以直线与平面所成角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $