江苏省连云港市赣榆第一中学2024-2025学年高一下学期5月质检数学试题

⾼⼀数学试题 第 1⻚ 共 4⻚ 2024-2025学年度连云港市赣榆第一中学第二学期质检 高一数学试题 注意事项 1.本试卷共 8页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。 ⼀、单项选择题（共 8⼩题 满分 40分） 1．如图所示的正⽅形 的边⻓为 1cm，它是⽔平放置的⼀个平⾯图形的直观图，则原图形的⾯积为（ ） A． B． C． D． 2．已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线 是两条不同的直线，平⾯ 是三个不同的平⾯，下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 4．已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 5． 的三个内⻆A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 ，则 的形 状是（ ） A．等腰⾮直⻆三⻆形 B．直⻆⾮等腰三⻆形 C．等边三⻆形 D．等腰直⻆三⻆形 6．已知三棱锥 的底⾯ 是正三⻆形， 平⾯ ， ， ， ， 四点都在以 为球⼼的 球⾯上， ，则 与平⾯ 所成⻆的正切值为（ ） A． B． C． D． 7．已知 的内⻆ 所对的边分别为 ，若 ，则 边上中线⻓ 度的最⼤值为（ ） A． B． C． D． ⾼⼀数学试题 第 2⻚ 共 4⻚ 8．⾦刚⽯是由碳元素组成的单质，具有极⾼的硬度，在⼯业中有⼴泛的应⽤，如图 1所示，组成⾦刚⽯的 每个碳原⼦都与其相邻的 4个碳原⼦以完全相同的⽅式连接．从⽴体⼏何的⻆度，可以认为 4个碳原⼦分布 在⼀个正四⾯体的 4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原⼦处于与这 4个碳原⼦距离都相等的位置（点 E 处），如图 2所示，设 ，则E到平⾯ 的距离为（ ） A． B． C． D． ⼆、多选题（共 3⼩题 满分 18分） 9．关于平⾯向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A．点 ，与向量 共线的单位向量为 B．⾮零向量 和 满⾜ ，则 与 的夹⻆的余弦值为 C．已知向量 ，若向量 与 的夹⻆为锐⻆，则 且 D．向量 ，则 在 上的投影向量的坐标为 10．已知 a，b，c分别为 内⻆A，B，C的对边，下⾯四个结论正确的是（ ） A．在锐⻆ 中，不等式 恒成⽴ B．若 ， ，且 有两解，则 的取值范围是 C．若 ，且 ，则 是等边三⻆形 D．已知点 是 所在平⾯内⼀点，满⾜ ，则 与 ⾯积之⽐是 11．如图，在棱⻓为 4的正⽅体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，点 为 线段 上的动点，则（ ） ⾼⼀数学试题 第 3⻚ 共 4⻚ A．两条异⾯直线 和 所成的⻆为 B．存在点 ，使得 平⾯ C．对任意点 ，平⾯ 平⾯ D．点 到直线 的距离为 4 三、填空题（共 3⼩题 满分 15分） 12．已知⾮零向量 满⾜ ，且 ，则 与 的夹⻆为 ． 13．折扇（图 1）是具有独特⻛格的中国传统⼯艺品，炎炎夏季，⼿拿⼀把折扇，既可解暑，⼜有雅趣.图 2 中的扇形 为⼀把折扇展开后的平⾯图，其中 ， ，点 在弧 上（包括端点） 运动，其中 ， 分别是 ， 的中点，则 的范围为 . 14．如图，已知 ， 为 边 上的两点，且满⾜ ，则当 取 最⼤值时， 的⾯积等于 . 四、解答题（共 5⼤题 满分 77分） 15.（13分）已知复数 ， （ ， 为虚数单位）． (1)若 为纯虚数，求实数 的值； (2)若 在复平⾯内所对应的点位于第四象限，求 的取值范围． 16．（15分）如图，在四棱锥 中，平⾯ 平⾯ ，四边形 是梯形， ， 是棱 上的⼀点. (1)若 ，求证： 平⾯ ； (2)若 平⾯ ，且 ，求直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值. ⾼⼀数学试题 第 4⻚ 共 4⻚ 17．（15分）在 中， 内⻆ 的对边分别为 ，且 ． (1)求⻆B； (2)若边 的⾯积为 ⻆A的平分线交边 于点D，求 ． 18．（17分）如图，在三棱锥 中，平⾯ 平⾯ ， ， 为 的中点. （1）证明： ； （2）若 是边⻓为 1的等边三⻆形，点 在棱 上， ，且⼆⾯⻆ 的⼤⼩为 ， 求三棱锥 的体积. 19．（17分）若函数 满⾜ ，且 ， ，则称 为“ 型 函数”. (1)判断函数 是否为“ 型 函数”，并说明理由； (2)设 ，且 为“ 型 0函数”.若存在 ，使不 等式 成⽴，求实数 的取值范围； (3)已知 为定义域为 的奇函数，当 时， ，函数 为“ 型 函数”，当 时， ，若函数 在 上的零点个数为 9，求 的取值范围. 2024-2025学年度连云港市赣榆第一中学第二学期质检 高一数学试题 注意事项 1.本试卷共 8页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 一、单项选择题（共8小题 满分40分） 1．如图所示的正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．已知三棱锥的底面是正三角形，平面，，，，四点都在以为球心的球面上，，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 7．已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题 满分18分） 9．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ） A．点，与向量共线的单位向量为 B．非零向量和满足，则与的夹角的余弦值为 C．已知向量，若向量与的夹角为锐角，则且 D．向量，则在上的投影向量的坐标为 10．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A．在锐角中，不等式恒成立 B．若，，且有两解，则的取值范围是 C．若，且，则是等边三角形 D．已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是 11．如图，在棱长为4的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为线段上的动点，则（    ） A．两条异面直线和所成的角为 B．存在点，使得平面 C．对任意点，平面平面 D．点到直线的距离为4 三、填空题（共3小题 满分15分） 12．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 ． 13．折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，点在弧上（包括端点）运动，其中，分别是，的中点，则的范围为 . 14．如图，已知，为边上的两点，且满足，则当取最大值时，的面积等于 .    四、解答题（共5大题 满分77分） 15.（13分）已知复数，（，为虚数单位）． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点. (1)若，求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分）在 中， 内角的对边分别为，且． (1)求角B； (2)若边的面积为角A的平分线交边于点D，求． 18．（17分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 19．（17分）若函数满足，且，，则称为“型函数”. (1)判断函数是否为“型函数”，并说明理由； (2)设，且为“型0函数”.若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (3)已知为定义域为的奇函数，当时，，函数为“型函数”，当时，，若函数在上的零点个数为9，求的取值范围. 高一数学试题 第1页 共3页 高一数学试题 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$- 1 - ⾼⼀数学⽉考参考答案（5.12) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A A C C C BCD ACD 题号 11 答案 BCD 12． 13． 14． 15.（1）解：由复数 ， ， 可得 ， 因为复数 为纯虚数，所以 ，解得 ． （2）解：由 ， 可得 ， 因为 在复平⾯内所对应的点位于第四象限，可得 ，解得 所以实数 的取值范围为 ． 16.（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，如图所示. 因为 ，易得 ，所以 ， ⼜ ， ，所以 ， ⼜ 平⾯ 平⾯ ，所以 平⾯ ； - 2 - （2）取 中点 ，连接 交 于点 ，连接 ， 则 ，且 ，所以四边形 是平⾏四边形， 为 中点， .因为 平⾯ ， 所以直线 是直线 在平⾯ 内的射影， 所以 是直线 与平⾯ 所成的⻆， 即为直线 与平⾯ 所成⻆的平⾯⻆. 如图所示，过点 作 ，垂⾜为 ，连接 ， 因为 ，所以 ,易得 ， 因为平⾯ 平⾯ ，平⾯ 平⾯ 平⾯ ， 所以 平⾯ ， ⼜ 平⾯ ，所以 ，所以 ， 在直⻆ 中，由 平⾯ 平⾯ ，则 ，解得 ， 所以 .所以直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值为 . 17.（1） 所以 或 ，即 或 （舍），所以 ． （2） ， 由 得， ，解得 ． 18．（1）因为 ，O是 中点，所以 ， 因为 平⾯ ，平⾯ 平⾯ ， 且平⾯ 平⾯ ，所以 平⾯ ． 因为 平⾯ ，所以 . (2)如图所示，作 ，垂⾜为点G． 作 ，垂⾜为点 F，连结 ，则 ． - 3 - 因为 平⾯ ，所以 平⾯ ， 为⼆⾯⻆ 的平⾯⻆． 因为 ，所以 ． 由已知得 ，故 ． ⼜ ，所以 ． 因为 ， ． 19.（1）函数 是“ 型 函数”； 因为 ，所以 的图象关于直线 对称， ⼜ 的最⼩正周期为 ，所以函数 是“ 型 函数”. （2） 为“ 型 0函数”，所以函数 满⾜ ，且 ， 函数周期为 ，所以 ，函数为偶函数，且 ，所以 ，所以 ， ， ， 因为 ，所以 ， ， 当 时取 ， 存在 ，使不等式 成⽴， 所以 ，所以 ，即 ； - 4 - （3）令 ，得 ，因为 是定义域为 的奇函数，所以 的零点为 . 令 ，所以 或 0或 1，即 或 或 . 画出 在 上的图象，由 的图象关于直线 对称， 可画出 在 上的图象.由 的最⼩正周期为 ， 可画出 在 上的图象. 故 在 上的图象如图所示， 所以函数 在 上的零点个数等于 在 上的图象与直线 ， ， 的交点个数之和. 由函数图像可知 的取值范围为 .