精品解析：2026年宁夏回族自治区银川市第二十五中学九年级下数学第二次阶段测试

2026年银川市第二十五中学九年级下数学第二次阶段考试 一、填空题（每题3分，共24分） 1. 的相反数等于（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 形状相同、大小相等的两个小木块放置于桌面，其俯视图如下图所示，则其主视图是(　　) A. B. C. D. 3. 某数学社团开展“讲数学家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得这4位著名数学家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界数学发展起到的巨大推进作用．现从这4位数学家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校为了了解本校学生课外阅读的情况，现随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下统计图，根据相关信息，下列有关课外阅读时间（单位：小时）的选项中，错误的是（ ） A. 本次抽取共调查了40个学生 B. 中位数是6小时 C. 众数是5小时 D. 平均数是小时 6. 如图，点是平分线上的一点，交于，于点，若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 7. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 分解因式：______． 10. 正八边形的内角和等于_____． 11. 已知，则的值为______． 12. 如图，四边形内接于，是的直径，点E是下方上一点．若，则的大小为________． 13. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 14. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别为，，．将矩形先向下平移个单位长度，得到矩形，再将矩形沿轴翻折得到矩形，则点的坐标为______． 15. “跳皮筋”是我们小时候常玩的游戏，如图，执皮筋的两个小朋友分别用，表示，皮筋用折线表示，若，，，则____． 16. 把两个同样大小含角的直角三角形纸板，与两个同样大小含角的直角三角形纸板进行拼接，拼出了如图所示的四边形．若，阴影部分是一个正方形，则_____． 三、解答题（17-22题每题6分，23-24每题8分，25-26每题10分） 17. 计算：； 18. 先化简，再从不等式的正整数解中，选一个使原式有意义的数代入求值． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，作出以为边的菱形； （2）在图1中，在边上作点E，使； （3）在图1中，点G为边上一点，且点G为非格点，在边上作点H，使； （4）在图2中，点M、N都是网格线上的点，与网格线交于点P，在上作点Q，使． 20. 三八妇女节（国际劳动妇女节）是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域作出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的节日，体现对女性权益的重视，倡导尊重女性、关爱女性的社会风尚．某单位准备购买护肤套装和生活用品套装共套分发给员工过节．其中护肤套装比生活用品套装每套贵元． （1）若用元购买护肤套装与用元购买生活用品套装的数量相同，求护肤套装和生活用品套装每套的价格； （2）在（1）的条件下，若购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的倍，如何购买才能使总费用最少？ 21. 图1是九江市胜利碑，位于江西省九江市八里湖新区的胜利公园，将其抽象成如图2所示的示意图．数学兴趣小组想要测量胜利碑的高度，在建筑的楼顶D处测得胜利碑顶端B的仰角为，在C处测得胜利碑顶端B的仰角为，建筑D的仰角为，已知，图中所有点均在同一平面内，点A，C，G在同一条水平直线上，，． （1）填空：的度数为______，的度数为______． （2）求胜利碑的高．（结果精确到，参考数据：，，，） 22. 2026年前两个月，我国新能源汽车出口58.3万辆，同比增长1.1倍，占汽车出口总量的四成以上，成为拉动汽车出口增长的核心动力．某新能源汽车厂家研发了A，B两种新车型，计划用于出口．由于装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要，该厂从每种车型中各随机抽取5辆试产车，分别从装配工艺和底盘质量两方面对其进行评分（满分均为10分），并对得分进行整理、描述、分析，部分信息如下． a．两种车型的装配工艺得分： A种车型： B种车型： b．两种车型的底盘质量得分统计图： c．两种车型的装配工艺和底盘质量得分统计表： 项目 装配工艺得分 底盘质量得分 统计量 车型 平均数 方差 中位数 方差 A种 0.56 B种 8.6 0.24 9 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中__________，____________________（填“>”“=”或“<”）． （2）如果你是该公司的决策者，你会选择哪种车型进行量产？请结合“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景说明理由． 23. 如图，在中，，以为直径的交边于点，点在上，连接，，． （1）证明：是的切线； （2）若的直径为，，求的长． 24. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为． （1）当t =_______时，四边形ABQP是矩形； （2）当t =_______时，四边形AQCP是菱形； （3）是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由 25. 抛物线：过点，点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）如图，连接，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得抛物线，若时，直线与图象有唯一公共点，求的取值范围． 26. 【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年银川市第二十五中学九年级下数学第二次阶段考试 一、填空题（每题3分，共24分） 1. 的相反数等于（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查负指数幂和相反数的概念，先求出，再根据相反数的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴的相反数为． 故选：D． 2. 形状相同、大小相等的两个小木块放置于桌面，其俯视图如下图所示，则其主视图是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由实物结合它的俯视图，还原它的具体形状和位置，再判断主视图． 试题解析：由实物结合它的俯视图可得该物体是由两个长方体木块一个横放一个竖放组合而成，由此得到它的主视图应为选项D． 故选D． 考点：简单组合体的三视图． 3. 某数学社团开展“讲数学家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得这4位著名数学家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界数学发展起到的巨大推进作用．现从这4位数学家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率．用、、、分别表示祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得4位著名数学家，先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选取的2位都是中国数学家的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：用、、、分别表示祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得4位著名数学家， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中选取的2位都是中国数学家的结果数为6， 所以选取的2位都是中国数学家的概率． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方运算法则，逐一判断即可． 【详解】解：对选项A：，错误； 对选项B，等式不恒成立，错误； 对选项C： ，C正确； 对选项D： ，错误． 5. 某校为了了解本校学生课外阅读的情况，现随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下统计图，根据相关信息，下列有关课外阅读时间（单位：小时）的选项中，错误的是（ ） A. 本次抽取共调查了40个学生 B. 中位数是6小时 C. 众数是5小时 D. 平均数是小时 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图所给的数据求出样本容量，中位数，众数和平均数即可得到答案． 【详解】解：A、本次抽取共调查了个学生，原说法正确，不符合题意； B、将阅读时间从低到高排列，处在第20名和第21名的阅读时间分别为5小时，6小时，则中位数是小时，原说法错误，符合题意； C、阅读时间为5小时的人数为14人，人数最多，即众数为5小时，原说法正确，不符合题意； D、平均数是小时，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了样本容量，中位数，众数和平均数，正确读懂统计图是解题的关键． 6. 如图，点是平分线上的一点，交于，于点，若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，得到，由平行线的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵D是平分线上的一点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】需同时满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0两个条件，列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵函数包含二次根式和分式， ∴需满足两个条件： 1 .二次根式的被开方数非负，即， 2 .分式的分母不为0，即. 解不等式得， 由得. 因此自变量的取值范围是且． 8. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质及判别式和根的关系是解题的关键． 根据二次项系数a判定开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴的交点个数有判别式决定，由以上进行判断即可． 【详解】解：由抛物线图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ，对称轴为，即，， ，故①正确； 抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②错误； ， 点A的坐标为，代入解析式得， ∵，等式两边同时除以得，故③正确； 设，， 二次函数的图象与x轴交于A，B两点， 和是方程的两根， ， ， ，故④正确； 综上所述：正确的有①③④，共3个， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10. 正八边形的内角和等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式，将边数代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴正八边形的内角和为． 11. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，由可化为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ，即 ， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，四边形内接于，是的直径，点E是下方上一点．若，则的大小为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质求出的度数，利用直径所对的圆周角是直角得出，在直角三角形中求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解． 【详解】如图，连接， ∵四边形内接于 ， ∴， ∵ ， ∴， ∵是的直径 ， ∴， 在中，， ∵与都是所对的圆周角， ∴． 13. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 可得慢马的速度为， 快马的速度为， ∵快马速度是慢马速度的倍， 可得方程， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别为，，．将矩形先向下平移个单位长度，得到矩形，再将矩形沿轴翻折得到矩形，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得到点的坐标，再根据平移的坐标变化规律得到的坐标，最后根据沿轴翻折的坐标变化规律求出的坐标. 【详解】解：四边形是矩形，顶点坐标为，，， 根据矩形对边平行于坐标轴的性质，点的横坐标与点相同，纵坐标与点相同，可得， 将矩形向下平移个单位长度，根据平移的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标减，得的坐标为，即， 将矩形沿轴翻折，翻折后点关于轴对称，关于轴对称的点坐标特征为：横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此的坐标为. 15. “跳皮筋”是我们小时候常玩的游戏，如图，执皮筋的两个小朋友分别用，表示，皮筋用折线表示，若，，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】过E作，根据平行线的性质求出，则，根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过E作， ∴， 又， ， ∵，， ∴， ∴． 16. 把两个同样大小含角的直角三角形纸板，与两个同样大小含角的直角三角形纸板进行拼接，拼出了如图所示的四边形．若，阴影部分是一个正方形，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，，由含30度直角三角形的性质得出，，由勾股定理得出，设正方形的边长为x，则，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步即可求出答案． 【详解】解：如下图， 根据题意可知，，， ∵， ∴，， ∴， 设正方形的边长为x， 则，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（17-22题每题6分，23-24每题8分，25-26每题10分） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】首先根据立方根的性质，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，再计算有理数的加减法即可． 【详解】解：， ， ． 18. 先化简，再从不等式的正整数解中，选一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】，当时，原式（或当时，原式）． 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，然后求出不等式的正整数解，找到一个使分式有意义的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴其正整数解为，，，， ∵且， ∴当时，原式， 或当时，原式． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，作出以为边的菱形； （2）在图1中，在边上作点E，使； （3）在图1中，点G为边上一点，且点G为非格点，在边上作点H，使； （4）在图2中，点M、N都是网格线上的点，与网格线交于点P，在上作点Q，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形的定义作图即可； （2）先在网格上取格点J，构造直角边为3和4的直角，由此可得，再由角的关系得，则可得为等腰直角三角形，由此可得； （3）考查交叉对称．连接，与相交于点L，连接并延长交于点H，证明与，则点H即为所求； （4）考查非格点作平行线，方法是构造平行四边形．取与网格竖线的交点T，连接与网格竖线的交于点O，连接延长与网格竖线交于点H，连接并延长交于点Q，则有． 【小问1详解】 解：根据勾股定理可得， 则菱形的边长为5， 则以为边的菱形如图所示； 【小问2详解】 解：在网格上取格点J，构造直角边为3和4的直角， 由此可得，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， 记与的交点为点E，则，如图所示； 【小问3详解】 解：连接，与相交于点L， 连接并延长交于点H， 在菱形中，，， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 则点H如图所示： ； 【小问4详解】 解：如图，． ． 由图形知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即． 20. 三八妇女节（国际劳动妇女节）是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域作出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的节日，体现对女性权益的重视，倡导尊重女性、关爱女性的社会风尚．某单位准备购买护肤套装和生活用品套装共套分发给员工过节．其中护肤套装比生活用品套装每套贵元． （1）若用元购买护肤套装与用元购买生活用品套装的数量相同，求护肤套装和生活用品套装每套的价格； （2）在（1）的条件下，若购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的倍，如何购买才能使总费用最少？ 【答案】（1）生活用品套装每套的价格为元，护肤套装每套的价格为元 （2）购买护肤套装为套，购买生活用品套装为套时，总费用最少 【解析】 【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，根据“用元购买护肤套装与用元购买生活用品套装的数量相同”这一等量关系列方程即可． （2）本题考查不等式的实际应用，“购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的倍”可列不等式生活用品套装数量小于等于护肤套装数量的倍，并求出护肤品数量的范围，然后列式计算总费用，根据一次函数的特点列出费用最少的方案． 【小问1详解】 解：设生活用品套装每套的价格为元，则护肤套装每套的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：生活用品套装每套的价格为元，护肤套装每套的价格元； 【小问2详解】 解：设购买护肤套装为套，则购买生活用品套装为套， 由题意得：， 解得：， 设总费用为元， 则 ， ， 随的增大而增大， 当时，最小， 此时，， 答：购买护肤套装为套，购买生活用品套装为套时，总费用最少． 21. 图1是九江市胜利碑，位于江西省九江市八里湖新区的胜利公园，将其抽象成如图2所示的示意图．数学兴趣小组想要测量胜利碑的高度，在建筑的楼顶D处测得胜利碑顶端B的仰角为，在C处测得胜利碑顶端B的仰角为，建筑D的仰角为，已知，图中所有点均在同一平面内，点A，C，G在同一条水平直线上，，． （1）填空：的度数为______，的度数为______． （2）求胜利碑的高．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）， （2）胜利碑的高约为 【解析】 【分析】（1）因为水平线是平行的，D处观测C的俯角与C处观测D处的仰角是相等的，所以；根据平角是，求出，再结合三角形内角和为，求出； （2）过点D作，垂足为M．设，已知高度，，求出，用含有x的代数式表示，，根据，求出x即可． 【小问1详解】 解： D处观测C处的俯角与C处观测D处的仰角是相等的， ， ， 又， ． 【小问2详解】 解：如图，过点D作，垂足为M．设， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ，解得． 答：胜利碑的高约为． 22. 2026年前两个月，我国新能源汽车出口58.3万辆，同比增长1.1倍，占汽车出口总量的四成以上，成为拉动汽车出口增长的核心动力．某新能源汽车厂家研发了A，B两种新车型，计划用于出口．由于装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要，该厂从每种车型中各随机抽取5辆试产车，分别从装配工艺和底盘质量两方面对其进行评分（满分均为10分），并对得分进行整理、描述、分析，部分信息如下． a．两种车型的装配工艺得分： A种车型： B种车型： b．两种车型的底盘质量得分统计图： c．两种车型的装配工艺和底盘质量得分统计表： 项目 装配工艺得分 底盘质量得分 统计量 车型 平均数 方差 中位数 方差 A种 0.56 B种 8.6 0.24 9 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中__________，____________________（填“>”“=”或“<”）． （2）如果你是该公司的决策者，你会选择哪种车型进行量产？请结合“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景说明理由． 【答案】（1）9.2，9， （2）选择B种车型进行量产， 理由：在“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景下，由，，可知B种车型这两个方面得分的方差均小于A种车型这两个方面得分的方差，说明B种车型质量更稳定．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的计算方法求出m和n，根据折线统计图判断方差的大小即可； （2）根据表格中的数据，选择一个方面说明即可． 【小问1详解】 解：A种车型装配工艺得分从小到大排列：8，9，9，10，10， ∵5个数据排在中间的数是9， ∴． 观察折线图，A车型底盘得分波动更大，B车型得分更集中，因此方差． 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，，以为直径的交边于点，点在上，连接，，． （1）证明：是的切线； （2）若的直径为，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，则，由等腰三角形的性质可得，结合可得，则，因此命题得证； （2）设，则，由勾股定理可得，在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 24. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为． （1）当t =_______时，四边形ABQP是矩形； （2）当t =_______时，四边形AQCP是菱形； （3）是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由 【答案】（1）3 （2） （3）不存在，见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．解决此题注意结合方程的思想解题． （1）当四边形是矩形时，，据此求得的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间； （3）根据勾股定理得到，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案； 【小问1详解】 解：如图， 过点作于点， 由矩形可知， ，， ，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ，由运动可知， ， 则， 当， 四边形是矩形，得到， ， 解得， 即当时，四边形是矩形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴当四边形是菱形， ， ， 解得， 即当时，四边形是菱形， 故答案为：； 【小问3详解】 解：不存在，理由如下： ， ， ， 若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得，， 即方程有解， 方程整理得 ， 故方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 25. 抛物线：过点，点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）如图，连接，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得抛物线，若时，直线与图象有唯一公共点，求的取值范围． 【答案】（1），的坐标 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，求得解析式，再化为顶点式，即可求解； （2）根据，得出，设点坐标为，则，，进而得出，即可求解． （3）设将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得抛物线：，根据直线与抛物线有唯一公共点，联立直线与抛物线得出，根据得出的范围，即可求解． 【小问1详解】 解：过点，点， ∴ 解得 ∵ ∴对称轴为直线 的坐标 【小问2详解】 过点作轴的垂线与过点平行轴的直线交于点 当时，， ∴， 点， ∴ 点， ∴ 轴 设点坐标为，则， 解得或舍 【小问3详解】 设将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得抛物线： 点， 设直线的关系式为： ∴ 解得： 直线的关系式为 由抛物线与直线相交得 整理得 直线与抛物线有唯一公共点 26. 【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 【答案】（1）2；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $