精品解析：重庆市巴川中学校2026年初中毕业生学业水平暨高中招生考试数学模拟测试卷(二)

重庆市巴川中学校2026年初中毕业生学业水平暨高中招生考试数学模拟测试卷（二） （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的基本性质，根据绝对值的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且 ， ∴ ． 2. 篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻进了千年文脉里．下列四个选项中的字分别“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形； B．不是轴对称图形； C．不是轴对称图形； D．不是轴对称图形． 3. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 了解两江新区的空气质量 B. 调查华为三折叠手机屏幕的使用寿命 C. 调查重庆市所有九年级学生视力的情况 D. 我国新一代核潜艇下水前的检查 【答案】D 【解析】 【分析】普查适用于范围较小、无破坏性且意义重大的调查，抽样调查适用于范围大、有破坏性的调查． 【详解】解：A选项两江新区范围大，空气质量调查适合抽样调查； B选项测试手机屏幕使用寿命具有破坏性，适合抽样调查； C选项重庆市九年级学生人数多、范围大，适合抽样调查； D选项核潜艇下水前检查意义重大，需全面排查，适宜采用普查． 4. 如图，四边形与四边形是以点为位似中心的位似图形，且四边形与四边形的周长之比为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的性质可知，位似图形一定是相似图形，且相似多边形的周长比等于相似比，对应点到位似中心的距离之比也等于相似比，据此即可求解． 【详解】四边形与四边形是以点为位似中心的位似图形，  四边形 四边形，  四边形与四边形的周长之比为，  四边形与四边形的相似比为，  位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比，  ． 5. 如图，点，，均在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的倍直接求解即可． 【详解】与是同弧所对的圆周角和圆心角，， ． 6. 如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按照这一规律，第8个图案中基本图形的个数为（ ） A. 22 B. 25 C. 28 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】根据前三个图形中基本图形的个数得出第n个图案中基本图形的个数即可解答． 【详解】解：观察发现第n个图案由个基本图形组成， ∴第8个图案中基本图形的个数为． 故选：B． 7. 某新能源公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的x倍，最终能量密度达到，则x的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程求解，解题思路是先依次推出两次升级后的能量密度，列出方程后求解正的x值即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为， 第二次升级后的能量密度为， ∵最终能量密度达到， ∴可列方程为， ∵，两边同除以得， 又∵为倍数，， ∴． 8. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C. 点可能在该函数图象上 D. 若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，结合图象上点的坐标满足，逐一判断选项即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中． ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，A错误． ∵， ∴只有在每个象限内，随的增大而增大，并非在整个的取值范围内随增大而增大，B错误． 若点在该函数图象上，则， 整理得， 配方得，等式左边恒大于0，无实数解， 因此该点不可能在函数图象上，C错误． 若点在函数图象上，则， 对于点，有，满足的关系， 因此点也在该函数图象上，D正确． 9. 如图，在正方形中，点E是延长线上一点，连接，点F是的中点，过点F作的垂线分别交于点P，交于点G，交于点H．连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用线段垂直平分线性质及勾股定理求出正方形边长与k的关系，进而求出的长；利用求出与的关系，构造直角三角形分别求出和的长度，最后计算比值． 【详解】解：如图，连接，，， 设，则， 设正方形边长为a， ∵点F是的中点，，  ∴是线段的垂直平分线，  ∴，， 在中，， 在中，，  ∴， 解得（舍去负值）， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即， ∵ ， ， ∴，  ∴，即， ∴，， 过点H作于N， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，  ∴， 在中，，  ∴， 过点G作于M，  在中，， ∵，，  ∴， ∴， 在中，， ∴． 10. 已知整式，其中n为正整数，均为整数，，，，下列说法： ①n的最大值为5； ②当，，满足条件的整式M共有14个； ③当，若x取任意实数时，M的值一定为正数，则W的值至少为6． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分别对三个说法逐一验证，结合整数性质，二次函数性质计算判断． 【详解】解：①要得到最大的，需让个递增整数的绝对值和最小，最小绝对值和为包含的连续递增整数． 若，共个系数，取，满足，，且，符合条件； 若，共个递增整数，最小绝对值和为，不存在符合条件的情况，故最大值为，故①正确； ②当时，，满足，，，分类计数： ，则，得，符合条件的共个； ，得，符合条件的整数对共个； ，得，符合条件的整数对共个； 总个数为，故②正确； ③当时，， 对任意实数，恒为正数，则，且， 若，则，，不满足条件，故； 由，且均为整数，得最小取值为， 此时，满足条件， 此时，不存在更小的，故至少为，故③正确． 综上所述，正确个数为． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. 截至年底，我国高铁营业里程达公里，超过世界上其他国家高铁营业里程总和，数据用科学记数法表示是______． 【答案】 【解析】 【详解】． 12. 已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和定理．根据已知，求这个多边形的一个内角的邻补角，即可得这个多边形的一个外角的度数，结合多边形的外角和，即可得这个多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角为， ∴其一个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 故答案为：． 13. 有四张分别标有氢、碳、钾、铁的化学元素周期表中的四种元素的卡片，若一次性从中随机选取两张卡片，则这两张卡片恰好都是金属元素的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定四张卡片中金属元素的个数，再画树状图表示出所有等可能结果数，以及两张都是金属元素的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】四张卡片中，金属元素为钾、铁，共个， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两张恰好都是金属元素的情况有种， 这两张卡片恰好都是金属元素的概率是． 14. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题采用整体代入法求解，先根据已知等式整理得到与的等量关系，再将所求分式变形为含和的形式，整体代入约去即可得到结果． 【详解】，由分式有意义的条件可知，， ， 等式两边同乘得，即， ． 15. 如图，的，，三点都在上，是的切线，延长交于点，连接，，与交于点．若，，则的长为______，的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据切线性质和平行四边形性质证明，利用垂径定理求出的一半及的长，根据与相交判断圆心与弦的位置关系，进而求出的长．连接，过点作于点，根据得出，设，则，得出，证明得出，进而求得，得出，证明得出，则，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接  是的切线，  ．  四边形是平行四边形，  ．  ． ． 在中，，，  ．  ． 在中，． 如图，连接，过点作于点 ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∵，即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴．  16. 我们规定：一个各个数位数字均不为的四位数，如果满足，则称这个四位数为“二七数”，例如四位数，因为，所以是“二七数”．按照这个规定，最小的“二七数”是______；已知一个“二七数”的千位数字等于十位数字与个位数字之和，将的首位数字放在末尾产生第一个新数，记为，再将新数首位的数字放在末尾，产生第二个新数，记为，以此类推得到，记，，若，均是整数，则满足条件的所有的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】找最小“二七数”，需让千位、百位依次取最小满足条件的正整数，个位取最小非零数即可；先化简得出是的倍数，结合和为整数的条件，枚举所有符合条件的数后求和． 【详解】四位数各个数位数字均不为，即，，，且为整数，满足， 要使四位数最小，先让千位尽可能小，当时，， 再让百位尽可能小，当时，，得，满足条件， 个位最小取， 最小的“二七数”是； 设，则，，， ， ， 是整数，与互质， 是的倍数， 的千位数字等于十位数字与个位数字之和， ， ，，且为整数， ， 代入得，， ， ， 是的倍数； ， 是整数， 是整数， ，， ， ， 的可能值为，，， 分情况讨论： 当时，， 且为整数， ， 为整数， 整除，验证所有可能的均不满足条件，全部舍去； 当时，， 为整数，且整除， 时，，，代入得，，符合条件，得； 时，，，代入得，，符合条件，得； 当时，得，，代入得，不符合各数位不为的要求，舍去； 满足条件的所有的和为． 三、（本大题9个小题，第17，18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 借助数轴解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 把不等式①，②的解集在数轴上表示出来，如图所示： ∴该不等式组的解集为． 18. 如图，是菱形的一条对角线，完成以下作图和填空： （1）用尺规作边的垂直平分线，交于点E，交于点，连接和（不写作法，保留作图痕迹） （2）证明：． 证明：四边形是菱形， ，①______． 在与中， ， ． 垂直平分， ③______， ． 【答案】（1） （2）① ② ③ 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作的垂直平分线交于点，交于点，连接、； （2）根据菱形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，根据线段垂直平分线的性质可证，等量代换可证． 【小问1详解】 解：如下图所示， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接，交于点，交于点， 即为的垂直平分线， 连接、； 【小问2详解】 证明：四边形是菱形， ，， 在与中，， ， ， 垂直平分， ， ． 19. 炎炎夏日，要清凉更要安全．某校开展了七、八年级学生“六不两会”的防溺水安全知识竞赛，从中各随机选出名同学的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析，成绩均不低于分，用表示，共分成四个等级：D．；C．；B．；A．，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：81，82，83，86，87，87，89． 八年级20名学生的竞赛成绩是：68，70，71，73，77，80，82，83，84，86，88，90，92，92，92，92，93，94，96，97． 七年级抽取的学生竞赛成绩扇形图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85 91 八年级 85 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级在此次防溺水安全知识竞赛中的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生，请估计该校七、八年级参加此次防溺水知识竞赛成绩为等级的学生共有多少人． 【答案】（1）；； （2）八年级在此次防溺水安全知识竞赛中的成绩较好， 理由：七八年级平均分相等，但八年级的中位数和众数均高于七年级 （3）人 【解析】 【分析】（1）先求出七年级学生的竞赛成绩在组和组的人数，然后根据中位数和众数的定义即可得、的值；再用减去其他三个等级所占的百分比即可得的值； （2）从平均数、中位数与众数的角度进行分析即可得； （3）分别利用该校七、八年级参加了此次防溺水安全知识竞赛的总人数乘以对应年级参加此次防溺水安全知识竞赛成绩为等级的学生人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：七年级学生的竞赛成绩在组和组的人数为（名）， 七年级学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，位于第和第个数据是、， 中位数； 八年级名学生的竞赛成绩中出现了次，出现的次数最多， ； 七年级学生的竞赛成绩在组的人数为名， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：估计该校七、八年级参加此次防溺水安全知识竞赛成绩为等级的学生共有（人）． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，原式 【解析】 【分析】先根据整式乘法法则和分式混合运算法则化简原式，再计算出的值，代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：原式       ； ， 把代入得，原式． 21. 列方程解下列问题： 重庆坐拥“世界摩托之都”美誉，一年一度的重庆国际摩博会享誉海内外，本土摩托品牌赛场夺冠、远销海内外，尽显重庆制造实力．某本土摩托制造企业生产通勤代步摩托与赛道竞速摩托两类车型，已知该厂每日生产竞速摩托数量比通勤摩托多台，天生产通勤摩托的总产量与天生产竞速摩托的总产量相等． （1）求该厂每天生产通勤摩托、竞速摩托各多少台； （2）该厂紧跟产业升级浪潮，工厂完成智能生产线改造，升级后每日只生产一种车型，日产能大幅提升．升级后每日竞速摩托增产数量是通勤摩托增产数量的倍．现生产台通勤摩托、台竞速摩托总共用时天，求每日通勤摩托的增产数量． 【答案】（1）该厂每天生产通勤摩托台，竞速摩托台 （2）每日通勤摩托的增产数量为台 【解析】 【分析】（1）根据“每日生产竞速摩托比通勤摩托多台，天生产通勤摩托总产量等于天生产竞速摩托总产量”的等量关系，列一元一次方程求解； （2）根据“生产台通勤摩托和台竞速摩托总用时天”的等量关系，列分式方程求解，检验后得到结果． 【小问1详解】 解：设该厂每天生产通勤摩托台，则每天生产竞速摩托台． 根据题意得： 解得 则 答：该厂每天生产通勤摩托台，竞速摩托台． 【小问2详解】 设每日通勤摩托的增产数量为台，则每日竞速摩托的增产数量为台，升级后每日生产通勤摩托台，每日生产竞速摩托台 根据题意得： 方程两边同时乘得： 整理得 解得 检验：当时，，所以是原方程的解，符合题意． 答：每日通勤摩托的增产数量为25台． 22. 如图，在中，，点是的中点，且，，动点以每秒个单位长度的速度沿方向运动．连接，，设运动时间为秒（），的面积记为，的面积与点运动的路程的比值记为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 【答案】（1）； （2）画出函数，的图象如图所示；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得的长，分两种情况讨论：当点在上时，过点作于，根据等面积法求出的长，再由三角形面积公式列式即可；当点在上时，直接根据三角形面积公式列式即可； （2）根据所求函数表达式画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，再根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时对应自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：点是的中点，， ， 在中，，，， ， 当点在上时，过点作于，如图所示， ，即， ， ， 当点在上时，如图所示， 则； ； ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：联立， 整理得， 此时， 原方程无解； 联立， 整理得，即， 解得（舍去）或； 由函数图象可知，当时，． 23. 随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，在同一平面内设置了四个智能站点，，，．如图，点在点的南偏东方向米处，点在点的东南方向且在点的正东方向，点在点的正东方向且与点相距米．（参考数据：，，） （1）求，两点的距离（结果保留整数）； （2）两个物流机器人同时以相同的速度从不同站点出发执行任务，甲机器人从出发沿着方向前往取货，乙机器人从出发沿着方向前往卸货（卸货时间忽略不计），卸货完成后，乙机器人立即沿着方向前往装货，在执行本次任务的过程中，甲机器人的通信模块受自身结构遮挡，在其正南方向存在以自身为圆心，圆心角为的扇形信号盲区（扇形的对称轴始终指向正南方向）．当乙机器人刚好进入甲机器人信号盲区时，求甲机器人与乙机器人的距离（结果保留整数）． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，根据方向角确定和的度数，证明四边形是矩形得到对应边相等，分别在两个直角三角形中利用三角函数求出、、的长度，再在中用勾股定理求出，最后将与相加并代入参考数据计算即可得到、两点的距离； （2）设甲机器人为，乙机器人为，由（1）得出、、的长度，根据和两机器人速度相同，推出甲行驶到点时乙刚好到达点，设此后甲再行驶米则乙也从点向行驶米，过点作于点，求出的度数，在中用三角函数表示出和，进而表示出，根据乙刚好进入盲区的条件推出，得到是等腰直角三角形，利用列方程求出的值，最后代入的表达式并结合等腰直角三角形的性质求出的近似值即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵点在点的南偏东方向，点在点的东南方向， ∴，， ∵，，、均为正东方向， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，米，， ∴米， 米， 在中，，， ∴米， ∴米，米， 在中，米，， ∴米， ∴米； 答：，两点的距离约为米； 【小问2详解】 解：设甲机器人为，乙机器人为， 由（1）得米，米，， 在中，米， ∴， ∵两机器人同时出发且速度相同，即任意时刻两者行驶的总路程相等， ∵当甲行驶到点时，此时乙刚好走完到达点，即与重合时，与重合， 如图，设此后甲再行驶米，则乙也从点向行驶米，即米， 过点作于点， ∵为正东方向，为的南偏东方向， ∴， ∵， 在中，，， ∴， ∵甲的信号盲区是圆心角为、对称轴指向正南的扇形，乙刚好进入盲区， ∴与正南方向的夹角为， ∴与夹角的锐角为，即， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴米． 答：甲机器人与乙机器人的距离约为米． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，． （1）求该抛物线的表达式； （2）是直线上方抛物线上一动点，且点位于抛物线对称轴左侧，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最大值； （3）直线上有一点，直线上有一点，连接，点是线段的中点．将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上一点．连接，，，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），的最大值为 （3）解：点的坐标为或． ，，点向右平移个单位，向上平移个单位得到点， ， 抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， ， 对于，令，得， ， ，对称轴为直线， ， ，， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 设，， 点是线段的中点，， ，解得， ，，则点与点重合， ，， ， ， 当点在轴下方时，则点、、共线， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得（不合题意，舍去），， ； 当点在轴上方时，设，如图，设抛物线与轴的一个交点为， ，， ， ， ，即， 整理得， 解得（不合题意，舍去）或， ； 综上，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先求出直线的解析式，再求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的表达式； （2）设出点的坐标，然后表示出点和点的坐标，进而表示出，根据二次函数的性质即可求得点的坐标；再根据三角形两边之差小于第三边可确定的最大值； （3）根据平移方式可确定抛物线的解析式，利用待定系数法可求得直线和的解析式，结合点是线段的中点可求得点和点的坐标，通过解直角三角形证明，得到，将转化为，然后分两种情况讨论：当点在轴下方时，根据点、、共线求解即可；当点在轴上方时，通过锐角三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线得，，解得， ， 令得，，解得， ， 将，代入抛物线得， ，解得， ； 【小问2详解】 解：对于， 对称轴为直线； 设，则，， 是直线上方抛物线上一动点，且点位于抛物线对称轴左侧， ， ，， ， ， 抛物线开口向下， ， 当时，取得最大值，此时， ，， 如图，作关于轴的对称点， 由三角形两边 之差小于第三边，的最大值为的长度： ， 即的最大值为； 【小问3详解】 略 25. 如图，在中，，，点是边上一点，过点作直线的垂线，垂足为点．连接． （1）如图1，当，时，求的度数； （2）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为边上一点，连接，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，已知，点是直线上一点，连接，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，在射线上取点，连接，使得的面积与面积相等，连接，当取得最大值时，延长交直线于点．将沿着所在直线翻折到所在平面内，得到，连接，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）解：如图，连接，设中点，连接，过点作于点，过点作于点， ∵，且， ∴、、、四点共圆，且为直径，为圆心， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， 即， ∴， ∴， 由题意可得，，， 且， ∴，， ∴在中，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）因为是的等腰三角形，所以，可设为未知数，结合得与互余，再利用得为等腰三角形，结合的度数，根据平角或三角形内角和列方程求解； （2）由得G、D、E、C四点共圆，且直径为，圆心为的中点O，利用直径所对的圆周角是直角可得，利用圆周角和圆心角的关系，利用三角函数可表示出与的关系，在中，，，同理可利用三角函数可表示出与的关系，最终得到和的数量关系； （3）先代入，确定各角的度数，结合（2）的结论得到相关线段的比例关系；根据和面积相等，推导与相关线段的关系，确定点的运动轨迹，找到最大时的位置；进而确定点的位置；因为点是边上一点，且，，可知点的运动轨迹，最后利用点到直线的距离找到最小时的位置，最后计算与的比值． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， ，即， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意可作出以下图形，设， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴，， 由旋转可得， ∵， ∴， 若点与点重合，即， ∴，解得， 若点与点重合，即， ∴，解得， 若，则在中，， ∴，解得， 连接，，，，，，与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， 即点绕着点分别旋转了， 又∵， ∴，， 且，， ∴，， ∴，， ∴垂直平分， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点、、、四点共圆，且以为直径， 如图所示，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∴当点、、三点共线时，取得最大值， 如图所示，已知，， ∴， 作于点， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴比值为定值，且， ∵， ∴点、、、四点共圆，且， ∴或， 当平分时，，此时点与点重合， ∴点的轨迹为直线：过点的一条直线，且与的夹角为， ∴当时，取得最小值，如图所示， 过点作延长线于点，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接， 在上截取一点，使得，连接， ∵垂直平分，且， ∴， ∴，， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴， 且，， ∴， ∴， ∵翻折 ∴， ∴，， 连接，延长交于点， ∴垂直平分， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴设，则， ∴， ∴, ∴中，， 且， ∴， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， 过点作于点，延长交延长线于点， ∴在中，， 设，则， ∴， 即， 解得， ∴，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴川中学校2026年初中毕业生学业水平暨高中招生考试数学模拟测试卷（二） （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻进了千年文脉里．下列四个选项中的字分别“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 了解两江新区的空气质量 B. 调查华为三折叠手机屏幕的使用寿命 C. 调查重庆市所有九年级学生视力的情况 D. 我国新一代核潜艇下水前的检查 4. 如图，四边形与四边形是以点为位似中心的位似图形，且四边形与四边形的周长之比为，则为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，，均在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按照这一规律，第8个图案中基本图形的个数为（ ） A. 22 B. 25 C. 28 D. 31 7. 某新能源公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的x倍，最终能量密度达到，则x的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C. 点可能在该函数图象上 D. 若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 9. 如图，在正方形中，点E是延长线上一点，连接，点F是的中点，过点F作的垂线分别交于点P，交于点G，交于点H．连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n为正整数，均为整数，，，，下列说法： ①n的最大值为5； ②当，，满足条件的整式M共有14个； ③当，若x取任意实数时，M的值一定为正数，则W的值至少为6． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. 截至年底，我国高铁营业里程达公里，超过世界上其他国家高铁营业里程总和，数据用科学记数法表示是______． 12. 已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 13. 有四张分别标有氢、碳、钾、铁的化学元素周期表中的四种元素的卡片，若一次性从中随机选取两张卡片，则这两张卡片恰好都是金属元素的概率是______． 14. 若，则的值是______． 15. 如图，的，，三点都在上，是的切线，延长交于点，连接，，与交于点．若，，则的长为______，的长为______． 16. 我们规定：一个各个数位数字均不为的四位数，如果满足，则称这个四位数为“二七数”，例如四位数，因为，所以是“二七数”．按照这个规定，最小的“二七数”是______；已知一个“二七数”的千位数字等于十位数字与个位数字之和，将的首位数字放在末尾产生第一个新数，记为，再将新数首位的数字放在末尾，产生第二个新数，记为，以此类推得到，记，，若，均是整数，则满足条件的所有的和为______． 三、（本大题9个小题，第17，18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 借助数轴解不等式组：． 18. 如图，是菱形的一条对角线，完成以下作图和填空： （1）用尺规作边的垂直平分线，交于点E，交于点，连接和（不写作法，保留作图痕迹） （2）证明：． 证明：四边形是菱形， ，①______． 在与中， ， ． 垂直平分， ③______， ． 19. 炎炎夏日，要清凉更要安全．某校开展了七、八年级学生“六不两会”的防溺水安全知识竞赛，从中各随机选出名同学的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析，成绩均不低于分，用表示，共分成四个等级：D．；C．；B．；A．，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：81，82，83，86，87，87，89． 八年级20名学生的竞赛成绩是：68，70，71，73，77，80，82，83，84，86，88，90，92，92，92，92，93，94，96，97． 七年级抽取的学生竞赛成绩扇形图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85 91 八年级 85 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级在此次防溺水安全知识竞赛中的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生，请估计该校七、八年级参加此次防溺水知识竞赛成绩为等级的学生共有多少人． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 重庆坐拥“世界摩托之都”美誉，一年一度的重庆国际摩博会享誉海内外，本土摩托品牌赛场夺冠、远销海内外，尽显重庆制造实力．某本土摩托制造企业生产通勤代步摩托与赛道竞速摩托两类车型，已知该厂每日生产竞速摩托数量比通勤摩托多台，天生产通勤摩托的总产量与天生产竞速摩托的总产量相等． （1）求该厂每天生产通勤摩托、竞速摩托各多少台； （2）该厂紧跟产业升级浪潮，工厂完成智能生产线改造，升级后每日只生产一种车型，日产能大幅提升．升级后每日竞速摩托增产数量是通勤摩托增产数量的倍．现生产台通勤摩托、台竞速摩托总共用时天，求每日通勤摩托的增产数量． 22. 如图，在中，，点是的中点，且，，动点以每秒个单位长度的速度沿方向运动．连接，，设运动时间为秒（），的面积记为，的面积与点运动的路程的比值记为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 23. 随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，在同一平面内设置了四个智能站点，，，．如图，点在点的南偏东方向米处，点在点的东南方向且在点的正东方向，点在点的正东方向且与点相距米．（参考数据：，，） （1）求，两点的距离（结果保留整数）； （2）两个物流机器人同时以相同的速度从不同站点出发执行任务，甲机器人从出发沿着方向前往取货，乙机器人从出发沿着方向前往卸货（卸货时间忽略不计），卸货完成后，乙机器人立即沿着方向前往装货，在执行本次任务的过程中，甲机器人的通信模块受自身结构遮挡，在其正南方向存在以自身为圆心，圆心角为的扇形信号盲区（扇形的对称轴始终指向正南方向）．当乙机器人刚好进入甲机器人信号盲区时，求甲机器人与乙机器人的距离（结果保留整数）． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，． （1）求该抛物线的表达式； （2）是直线上方抛物线上一动点，且点位于抛物线对称轴左侧，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最大值； （3）直线上有一点，直线上有一点，连接，点是线段的中点．将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上一点．连接，，，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，，点是边上一点，过点作直线的垂线，垂足为点．连接． （1）如图1，当，时，求的度数； （2）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为边上一点，连接，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，已知，点是直线上一点，连接，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，在射线上取点，连接，使得的面积与面积相等，连接，当取得最大值时，延长交直线于点．将沿着所在直线翻折到所在平面内，得到，连接，当取得最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $