精品解析：2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题

重庆南开中学九下二模数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四种物理实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对重庆市中小学生睡眠时间的调查 B. 对一批灯泡使用寿命的调查 C. 对某校初二（2）班学生视力情况的调查 D. 对全国中小学生周末上网时长的调查 5. 氯酸钾在二氧化锰的催化作用下加热到一定的温度能产生氧气．如图，折线表示在该反应过程中，收集到氧气的质量M（克）随加热时间t（分钟）的变化情况，则下列说法错误的是（ ） A. 第3分钟时未产生氧气 B. 第6分钟时开始产生氧气 C. 第10分钟时氧气质量达到最大9.6克 D. 10分钟后，氧气质量仍在增加 6. 用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有3个三角形，第③个图案中有5个三角形，．．．，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 7. 估计的值应在（ ） A. 12和13之间 B. 13和14之间 C. 14和15之间 D. 15和16之间 8. 如图，在中，，经过点C且与相切于点B，交于点D，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，O为对角线中点，将绕顶点A逆时针旋转至，使E点恰好落在上，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的整式，其中n，均为自然数，且，以下说法： ①若，则方程的解为； ②若，且方程有两个不等实根，则的最大值为9； ③若为整系数多项式，则这样的有19个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 正八边形的一个外角的度数是_____． 12. 一个口袋中装有个红球，个黄球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到黄球的概率为______． 13. 随着经济复苏，某公司年第一季度的月利润逐月增加，若该公司一月份的利润是万元，三月份的利润万元，则该公司这两个月利润的平均增长率为_____． 14. 如图，在边长为3的正方形中，点E是中点，连接，将沿翻折得到，延长交延长线于点G，则的长度为_____． 15. 如图，在中，，，点O为中点，以点O为圆心，为半径的交延长线于点E，的中垂线交于点F，交于点G，H，连接，．若，则的长度为______，的面积为______． 16. 我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为7，则称A为“积减数”，并把A分解成的过程称为“积减分解”．例如：因为，15与12的十位数字相同，个位数字5与2的和为7，所以45是“积减数”．按照这个规定，最小的“积减数”是______，把一个“积减数”A进行“积减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B与m的差除以17的余数为15，则满足条件的所有正整数A的和为_______． 三、解答题：（本大题9个小题，17题18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：． 18. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，数学兴趣小组进行了以下研究，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，是平行四边形的对角线，用尺规作的平分线，交于点E，在边上截线段，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形是矩形． 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴． ∴，， ∵， ∴② ， ∴，即． ∴③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，平分， ∴④ ， ∴， ∴四边形是矩形． 19. 化简求值：，其中． 20. 今年“五一”期间，某地各景点盛况空前，为了解游客对水崖洞和长江汇两个景点的满意程度，小明从这两个景点的游客中各随机抽取了20名游客进行满意度问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 水崖洞20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． 长江汇20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两个景点得分统计表 景点 平均数 众数 中位数 方差 水崖洞 87 a 91 121 长江汇 87 95 b 119.8 长江汇得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，_______，_______； （2）根据以上数据分析，你认为游客对水崖洞还是长江汇更满意？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知“五一”期间到水崖洞的游客有80万人次，到长江汇的游客有60万人次，估计这些游客对景点非常满意（）的共有多少万人次？ 21. 列方程（组）解应用题： 端午节食粽是我国的传统习俗，某超市根据顾客口味，上架了蜜枣粽和咸肉粽两种类型的粽子．已知顾客购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元，购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元． （1）求超市蜜枣粽和咸肉粽的单价分别是多少元？ （2）为了吸引顾客，超市对两种粽子降价销售．降价后，蜜枣粽单价是咸肉粽单价的倍，小北花了元购买蜜枣粽，元购买咸肉粽，并且购买的蜜枣粽比咸肉粽少个，则蜜枣粽的单价降低了多少元？ 22. 如图1，在矩形中，，动点P从点E出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从点E出发沿射线运动，速度为每秒2个单位长度，当点P停止运动时点Q也随之停止．连接，设点P运动时间为x秒，的面积为，的面积与的面积比值为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合的函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）． 23. 如图，A，B，C，D，E分别是某公园同一平面内的五个打卡点，B在A的正东方向，E在A的正北方向，D在A的东北方向且在E的北偏东方向，C在D的正南方向且在B的北偏西方向．经测量A，E两打卡点相距2000米．（参考数据： ） （1）求D，E两打卡点之间的距离（结果保留根号）； （2）早上9点，小王从A点出发以每分钟200米的速度沿路线匀速跑步到D点，再从D点出发坐观光车以每分钟500米的速度沿路线返回A点．已知小王在段上跑步用时是段上跑步用时的2倍，请通过计算说明小王9点45分前能否回到A点（等车上车时间忽略不计，结果保留整数） 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求的长； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点M，点N为直线上一动点，过点N作轴交PM于点Q，连接，，，．当的面积取得最大值时，求的最大值； （3）如图2，将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线过点C，点D为新抛物线的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若平分，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过程． 25. 如图，在中，，点为线段上一动点，以为边向左作等边． （1）如图1，当为边中点时，若，，求的周长； （2）若，点在线段上，且满足，线段交线段于点，连接． ①如图2，若，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②如图3，连接，，点运动过程中，当为直角三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学九下二模数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数进行比较即可求解，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数， ∴最大的数是， 故选：． 2. 下列四种物理实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】解：A项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 3. 已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．首先利用待定系数法求出的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，比较即可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， A．，故不在图象上，不符合题意， B．，故在图象上，符合题意， C．，故不在图象上，不符合题意， D．，故不在图象上，不符合题意， 故选：B． 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对重庆市中小学生睡眠时间的调查 B. 对一批灯泡使用寿命的调查 C. 对某校初二（2）班学生视力情况的调查 D. 对全国中小学生周末上网时长的调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A. 对重庆市中小学生睡眠时间的调查，适合采用抽样调查，不符合题意； B. 对一批灯泡使用寿命的调查，适合采用抽样调查，不符合题意； C. 对某校初二（2）班学生视力情况的调查，适合采用全面调查，符合题意； D. 对全国中小学生周末上网时长的调查，适合采用抽样调查，不符合题意； 故选：C． 5. 氯酸钾在二氧化锰的催化作用下加热到一定的温度能产生氧气．如图，折线表示在该反应过程中，收集到氧气的质量M（克）随加热时间t（分钟）的变化情况，则下列说法错误的是（ ） A. 第3分钟时未产生氧气 B. 第6分钟时开始产生氧气 C. 第10分钟时氧气质量达到最大9.6克 D. 10分钟后，氧气质量仍在增加 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，从图象中得出有效信息是解题关键； 根据图象提供的信息逐项判断即可得到答案. 【详解】解：由图象可得：第6分钟时开始产生氧气，第3分钟时未产生氧气，到第10分钟时氧气质量达到最大9.6克，10分钟后，氧气质量不再增加，仍然是9.6克， 故选项ABC的说法正确，D选项的说法错误； 故选：D. 6. 用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有3个三角形，第③个图案中有5个三角形，．．．，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形类变化，正确找出规律是解题关键．根据前三个图形中三角形的个数分别为，，个，得出第个图形三角形为个，即可得答案． 【详解】解：∵第①个图案中有个三角形， 第②个图案中有个三角形， 第③个图案中有个三角形 …… ∴第个图形中三角形的个数为个， ∴第⑦个图案中三角形的个数是， 故选：B． 7. 估计的值应在（ ） A. 12和13之间 B. 13和14之间 C. 14和15之间 D. 15和16之间 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据二次根式的混合运算法则化简，然后利用无理数的估算求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴估计的值应在12和13之间． 故选：A． 8. 如图，在中，，经过点C且与相切于点B，交于点D，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角．利用切线的性质求得，求得，利用等边对等角求得，利用三角形内角和定理求得，利用圆周角定理求得，再利用等边对等角和圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，在菱形中，O为对角线中点，将绕顶点A逆时针旋转至，使E点恰好落在上，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质．作于点，根据平行线分线段成比例结合菱形的性质求得，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质，求得，再证明，求得，，据此计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵O为菱形对角线中点， ∴， ∴， ∵将绕顶点A逆时针旋转至，使E点恰好落在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 已知关于x的整式，其中n，均为自然数，且，以下说法： ①若，则方程的解为； ②若，且方程有两个不等实根，则的最大值为9； ③若为整系数多项式，则这样的有19个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化规律探究、整式运算、一元二次方程的根的判别式等知识．①根据题意得到，推出，即可求得方程的解为；②方程整理得，利用根的判别式列式计算可求得，，据此计算可求解；③求得，分、1、2、3、4五种情况讨论，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， 又∵，为自然数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ②若，则， ∵， ∴， 整理得， ∵方程有两个不等实根， ∴，， ∴，， ∵，均为自然数， ∴， 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，不符合题意，舍去； 若，则， 又， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为2， ∴的最大值为9，②正确； ③∵均为自然数，且， ∴均从最小的数取起，则，，，，，（舍去）， ∴， 当时，，是单项式，不符合题意； 当时，， ∵是多项式， ∴， ∴时，可取2、3、4，有3个； 时，可取3、4，有2个； 时，可取4，有1个； 故：当时，共6个； 当时，， ∴时，取1，可取2、4，有2个；取2，可取4，有1个；取3，可取4，有1个； 时，取2，可取4，有1个；取3，可取4，有1个； 时，可取3，可取4，有1个； 故：当时，共7个； 当时，， 只有，取1，取2，取3，这1种； 同理，当时，， 只有，取1，取2，取3，取4，这1种； 综上，共个，故③错误， 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 正八边形的一个外角的度数是_____． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记任何一个多边形的外角和都是是解题的关键．利用多边形的外角和等于即可得出答案． 【详解】解：任何一个多边形的外角和都是， 正八边形的每个外角的度数是：． 故答案为：． 12. 一个口袋中装有个红球，个黄球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到黄球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到黄球有种等可能结果，然后利用概率公式计算即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，两次都摸到黄球有种等可能结果， ∴两次都摸到黄球的概率为， 故答案为：． 13. 随着经济复苏，某公司年第一季度的月利润逐月增加，若该公司一月份的利润是万元，三月份的利润万元，则该公司这两个月利润的平均增长率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用——增长率问题，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设平均增长率为，然后根据“一月份的利润是万元，三月份的利润万元”列方程进行求解即可． 【详解】解：设平均增长率为， ∵公司一月份的利润是万元，三月份的利润万元， ∴， 解得：，（舍去）． 故答案为： 14. 如图，在边长为3的正方形中，点E是中点，连接，将沿翻折得到，延长交延长线于点G，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 先根据正方形的性质和折叠的性质证明，得，设，则，利用勾股定理列方程求出x，再证明，利用相似三角形的性质求解即可 【详解】解：设交于点H，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵沿翻折得到，点E是中点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 15. 如图，在中，，，点O为中点，以点O为圆心，为半径的交延长线于点E，的中垂线交于点F，交于点G，H，连接，．若，则的长度为______，的面积为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．作于点，利用三角函数的定义求得，再利用勾股定理求得的半径，解，求得，据此可求得的长；作于点，记与交于点，连接，利用垂径定理求得，证明，求得，，再证明，求得，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴； 作于点，记与交于点，连接， ∵， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的面积为， 故答案为：． 16. 我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为7，则称A为“积减数”，并把A分解成的过程称为“积减分解”．例如：因为，15与12的十位数字相同，个位数字5与2的和为7，所以45是“积减数”．按照这个规定，最小的“积减数”是______，把一个“积减数”A进行“积减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B与m的差除以17的余数为15，则满足条件的所有正整数A的和为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式的运算，设m的十位数字为a，个位数字为b，可得，然后求出“积减数”最小时，，；表示，即可得到余数为且，然后对a，b取不同的整数解计算得到A的值求和即可． 【详解】解：， 设m的十位数字为a，个位数字为b，则，， ∴， ∵“积减数”最小，又是正整数， ∴，， ∴最小的“积减数”是； ∵， ∴， ∴，且， 当时，余数为， 即，则； 当时，余数为， 即，则； 当时，余数为，无解； 当时，余数为， 即，则； 满足条件的所有正整数A的和为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题9个小题，17题18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出两个不等式的解集，然后找出两个解集的公共部分即可得答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，数学兴趣小组进行了以下研究，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，是平行四边形的对角线，用尺规作的平分线，交于点E，在边上截线段，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形是矩形． 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴． ∴，， ∵， ∴② ， ∴，即． ∴③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，平分， ∴④ ， ∴， ∴四边形是矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意利用尺规作图作出的平分线，即可； （2）利用平行四边形的性质求得，，利用证明，推出，，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用等腰三角形的性质求得，即可证明四边形是矩形． 【详解】解：（1）所作图形如图所示： 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了尺规作图，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． 19. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，以及负整数指数幂，零指数幂，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据分式的混合运算法则化简分式，再结合负整数指数幂，零指数幂算出的值，将的值代入化简后的式子求解，即可解题． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 20. 今年“五一”期间，某地各景点盛况空前，为了解游客对水崖洞和长江汇两个景点的满意程度，小明从这两个景点的游客中各随机抽取了20名游客进行满意度问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 水崖洞20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． 长江汇20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两个景点得分统计表 景点 平均数 众数 中位数 方差 水崖洞 87 a 91 121 长江汇 87 95 b 119.8 长江汇得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，_______，_______； （2）根据以上数据分析，你认为游客对水崖洞还是长江汇更满意？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知“五一”期间到水崖洞的游客有80万人次，到长江汇的游客有60万人次，估计这些游客对景点非常满意（）的共有多少万人次？ 【答案】（1） （2）我认为游客对水崖洞更满意，理由见解析 （3）这些游客对景点非常满意的共有万人次 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、利用中位数来决策、利用样本估计总体，解题的关键是掌握各种数相应的概念，会用统计量来决策； （1）直接利用众数，中位数，扇形统计图来求相应的量； （2）利用平均数和中位数一起分析满意度的情况； （3）分别求出各自非常满意的人数，然后相加即可． 【小问1详解】 解：出现最高次数为3次，所以众数， D组数据个数为：， C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88， 故中位数， B组中的数据占总体的比例为：， 故， 故答案为：； 【小问2详解】 解：我认为游客对水崖洞更满意，理由如下； 根据数据中平均数相等，当水崖洞的中位数大于长江汇的中位数， 故对水崖洞更满意的人数会比长江汇的人数多，结合中位数与平均数来分析，我认为游客对水崖洞更满意； 【小问3详解】 解：到水崖洞非常满意的游客有：万人次， 到长江汇非常满意的游客有：万人次， 所以这些游客对景点非常满意的共有万人次． 21. 列方程（组）解应用题： 端午节食粽是我国的传统习俗，某超市根据顾客口味，上架了蜜枣粽和咸肉粽两种类型的粽子．已知顾客购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元，购买个蜜枣粽和个咸肉粽需要元． （1）求超市蜜枣粽和咸肉粽的单价分别是多少元？ （2）为了吸引顾客，超市对两种粽子降价销售．降价后，蜜枣粽单价是咸肉粽单价的倍，小北花了元购买蜜枣粽，元购买咸肉粽，并且购买的蜜枣粽比咸肉粽少个，则蜜枣粽的单价降低了多少元？ 【答案】（1）蜜枣粽单价为元，咸肉粽的单价是元； （2）蜜枣粽的单价降低了元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程（组）是解题的关键． （）设超市蜜枣粽单价为元，咸肉粽的单价是元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设降价后咸肉粽的单价为元，则蜜枣粽单价是元，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设超市蜜枣粽单价为元，咸肉粽的单价是元， 根据题意得，， 解得：， 答：超市蜜枣粽单价为元，咸肉粽的单价是元； 【小问2详解】 解：设降价后咸肉粽的单价为元，则蜜枣粽单价是元， 根据题意得，， 解得：， ∴蜜枣粽单价是， ∴蜜枣粽的单价降低了， 答：蜜枣粽的单价降低了元． 22. 如图1，在矩形中，，动点P从点E出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从点E出发沿射线运动，速度为每秒2个单位长度，当点P停止运动时点Q也随之停止．连接，设点P运动时间为x秒，的面积为，的面积与的面积比值为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合的函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）． 【答案】（1），，； （2）见解析，当时，函数值随自变量的增大而增大；（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）分点P在与点P在上两种情况，即可求得；分别求出的面积与的面积，即可求得； （2）根据一次函数与反比例函数的图象画出两个函数的图象即可；利用一次函数的性质即可写出的一条性质； （3）根据所画的函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：在矩形中，， ∴； 当点P在上时，则，此时，； 当点P在上时，则，此时，； 即； 的面积为，而，， ∴的面积为， ∴，其中； 【小问2详解】 解：画图如下： 当时，函数值随自变量的增大而增大； 【小问3详解】 解：由图象知，当时，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，求动点问题的函数解析式，画函数图象，一次函数与反比例函数的图象与性质等知识，掌握一次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 23. 如图，A，B，C，D，E分别是某公园同一平面内的五个打卡点，B在A的正东方向，E在A的正北方向，D在A的东北方向且在E的北偏东方向，C在D的正南方向且在B的北偏西方向．经测量A，E两打卡点相距2000米．（参考数据： ） （1）求D，E两打卡点之间的距离（结果保留根号）； （2）早上9点，小王从A点出发以每分钟200米的速度沿路线匀速跑步到D点，再从D点出发坐观光车以每分钟500米的速度沿路线返回A点．已知小王在段上跑步用时是段上跑步用时的2倍，请通过计算说明小王9点45分前能否回到A点（等车上车时间忽略不计，结果保留整数） 【答案】（1）米 （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，由题意得，分别解即可； （2）如图：延长交于，由题意得：，，，在中，，那么，设，则，则，解，得，则，解得，则，求得，而，即可求解时间． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题意得：， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴米， 答：D，E两打卡点之间的距离米； 【小问2详解】 解：小王9点45分前能回到A点，理由如下： 如图：延长交于， 由题意得：，， ∴在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴（分钟）， 而早上9点，小王出发，则大概9点42分能回到点A， ∴小王9点45分前能回到A点． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求的长； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点M，点N为直线上一动点，过点N作轴交PM于点Q，连接，，，．当的面积取得最大值时，求的最大值； （3）如图2，将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线过点C，点D为新抛物线的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若平分，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过程． 【答案】（1）4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）令，解得点A和点B即可求得； （2）过点P作轴交于点K，则，可知当取得最大值时，的面积取得最大值，利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则点，那么，，可知点时，的面积取得最大值，根据题意求得直线的解析式为，则有点，进一步将点P向右平移个单位得到，即四边形为平行四边形，则，作点A关于直线的对称点，则，直线的解析式为，并求得，连接交于点Q，可知，利用勾股定理求得即可； （3）根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则，根据角平分的性质和平行线的性质得，过点C作于点H，设点，则，利用勾股定理求得m即可． 【小问1详解】 解：令，解得， ∴点， 则； 【小问2详解】 解：过点P作轴交于点K，如图， 则， 即当取得最大值时，的面积取得最大值， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， 那么，直线的解析式为， 设点，则点， ， 则点时，的面积取得最大值为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， 则直线的解析式为， ∴点， ∴， 将点P向右平移个单位得到， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 则， 作点A关于直线的对称点，连接交于点O，交轴于点G， 则， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则点，点， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， ，解得， 则点， 那么，点， 连接交于点，如图， 则， 当Q点与点重合时，取得最大值，且最大值为线段的长； ∵， ∴的最大值； 【小问3详解】 解：根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则， ∴点F的横坐标为， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点H，如图， 设点，则， 在中，， 则，解得， 那么，或． 【点睛】本题主要考查二次函数和特殊四边形的综合，涉及二次函数的性质、二次函数与坐标轴的交点、一次函数的性质、平移的性质、平行四边形的判定和性质、三角形三边关系、勾股定理、角平分的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移的性质，本题难度较大． 25. 如图，在中，，点为线段上一动点，以为边向左作等边． （1）如图1，当为边中点时，若，，求的周长； （2）若，点在线段上，且满足，线段交线段于点，连接． ①如图2，若，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②如图3，连接，，点运动过程中，当为直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）①，理由见解析；②或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角函数，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）在中，利用三角函数求得，由勾股定理得，再利用直角三角形斜边中线的性质得，最后利用等边三角形性质求解； （2）①在上取一点，使，连接，，延长交于点，利用倒角得，可得是等边三角形，结合等边，利用手拉手模型证明，可得，，通过倒角可得，则，，则可证，则，，得，，再证明，，，易得，利用，倒角可得，则，即可证明； ②同①在上取一点，使，连接，，延长交于点，同①可得，，设，则，分两种情况：当时和当时，分别作图计算即可 ． 【小问1详解】 解：在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵为边中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长； 【小问2详解】 解：①，理由如下： 在上取一点，使，连接，，延长交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴； ②同①在上取一点，使，连接，，延长交于点， 同①可得，， 设， ∴， 当时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $