精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟三县多校联考2025-2026学年七年级下学期第三次阶段检测数学试题

2025-2026学年度锡林郭勒盟三县多校联考 七年级数学第三次月考 考试范围：第七--十一章第一节；考试时间：100分钟；考试分数：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 如图，在下列给出的条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 2. 为喜迎“全国两会”胜利召开，某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲活动，现计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的同学，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，设甲种奖品买件，乙种奖品买y件，得方程，则下列说法正确的是（ ） A. 1件乙种奖品的价格可以是20元 B. 若1件甲种奖品的价格是9元，则1件乙种奖品的价格是10元 C. 若是方程的解，则m，n可以表示甲、乙两种奖品的件数 D. 若m，n分别表示购买甲、乙两种奖品的件数，则，一定是方程的解 3. 如图，在平面直角坐标系中，动点P按箭头所示的方向做折线运动，第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，第六次从运动到……，按这样的运动规律（向右始终保持运动一个单位长度，向上或向下比前一次的向下或向上都多运动一个单位长度），经过第2024次，点P的坐标是（ ） A. (1011，506) B. (1011，) C. (1012，506) D. (1012，) 4. 下列说法： ①不相交的两条直线叫做平行线； ②若与是内错角，且，则； ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④在同一平面内，如果，，那么； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑦在同一平面内，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c一定相交； ⑧若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直； ⑨若两个角的两边分别平行，则这两个角相等． 其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 如图，直线，点C、A分别在直线a、b上，连接，过点C作，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 7. 已知整式，，其中为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，已知，H，J，G分别为，，上一点（），平分，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ②④ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①②④⑤ 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 若，则的值为_______________． 10. 醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则__________度． 11. 如图，在平面直角坐标系中，，，，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，，则根据图示规律，点的坐标为______ 12. 某班学生参加智力竞赛，共10道题，答题情况统计如下： 答对题数 0 1 2 3 … 8 9 10 人数 0 2 5 7 … 8 4 1 （1）对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题； （2）对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题． 该班学生共有____________人参加智力竞赛． 三、解答题（共64分） 13. 解下列方程（组）； （1）； （2）． 14. 2025年国际大体联足球世界杯在大连成功举办，为借助赛事热度抢抓商机，某体育用品商场购进并销售A，B两款足球已知该商场在10月份购进20个A款足球和40个B款足球，一共花费4400元；11月份购进10个A款足球和30个B款足球，一共花费3000元已知两次购进的足球价格一致． （1）A，B两款足球的进价分别为多少元？ （2）该商场决定12月份再购进一批A，B款足球（A，B两款足球都需要购买），另购进C款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款为4800元为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个A款足球送1个C款足球，买3个B款足球送2个C款足球．若12月份该商场购进的A，B两款足球均按此方案全部售罄，且C款足球恰好全部赠出，求12月份该商场购进A，B，C三款足球各多少个． 15. 如图，这是某学校操场旁的一太阳能智能路灯的侧面示意图，是太阳能电池板，，为支架，为固定支撑杆，灯体是，其中，平行于水平地面． （1）在不添加字母和辅助线的前提下，图中与构成同旁内角的角共有________个． （2）若，，．求证：． 16. 阅读下列材料：名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 17. 【概念学习】 我们知道：求几个相同加数的和的简便运算是乘法，也可以叫做连加． 例如：， 类似地，求若干个相同的有理数的减法运算叫做连减，例如，记作． 一般地，把个连减记作，（为整数，且） 【初步探究】直接写出计算结果：______，______；______； 【深入思考】：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，相同加数的加法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的连减运算如何转化为乘法运算呢？ 例如：， （1）试一试：将下列连减运算直接写成两数相乘的形式． ______，______，______（为整数，且） （2）算一算： 18. 已知，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，且，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点B作交于点M，若，，当的面积为8时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度锡林郭勒盟三县多校联考 七年级数学第三次月考 考试范围：第七--十一章第一节；考试时间：100分钟；考试分数：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 如图，在下列给出的条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了平行线的判定．根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：A、若，无法得到，故本选项不符合题意； B、若，无法得到，故本选项不符合题意； C、若，无法得到，故本选项不符合题意； D、若，则，故本选项符合题意； 故选：D 2. 为喜迎“全国两会”胜利召开，某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲活动，现计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的同学，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，设甲种奖品买件，乙种奖品买y件，得方程，则下列说法正确的是（ ） A. 1件乙种奖品的价格可以是20元 B. 若1件甲种奖品的价格是9元，则1件乙种奖品的价格是10元 C. 若是方程的解，则m，n可以表示甲、乙两种奖品的件数 D. 若m，n分别表示购买甲、乙两种奖品的件数，则，一定是方程的解 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，理解未知数的含义是解题的关键．根据未知数的含义逐一分析即可判断． 【详解】解：设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件， 由题意得：， 由价格已知， ∴A，B不符合题意； ∵是方程的解， ∴可以出现负数解， ∴m，n可以表示甲、乙两种奖品的件数，错误，C不符合题意； ∴m，n分别表示购买甲、乙两种奖品的件数，则，一定是方程的解，正确，符合题意， 故选D 3. 如图，在平面直角坐标系中，动点P按箭头所示的方向做折线运动，第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，第六次从运动到……，按这样的运动规律（向右始终保持运动一个单位长度，向上或向下比前一次的向下或向上都多运动一个单位长度），经过第2024次，点P的坐标是（ ） A. (1011，506) B. (1011，) C. (1012，506) D. (1012，) 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中坐标规律问题，根据题意得到第次的横坐标为，第次的横坐标也为，第次和第次纵坐标的为即可求解，正确探索变换规律时解题的关键． 【详解】根据题意可得， 第一次从原点运动到， 第二次从运动到， 第三次从运动到， 第四次从运动到， 第五次从运动到， 第六次从运动到， 第七次从运动到， 第八次从运动到， 第九次从运动到， … ∴第一次和第二次的横坐标都为1， 第三次和第四次的横坐标都为2， 第五次和第六次的横坐标都为3， ∴第次的横坐标为，第次的横坐标也为； ∴第2024次的横坐标为； 第二次和第三次的纵坐标都是1， 第四次和第五次的纵坐标都是， 第六次和第七次的纵坐标都是2， 第八次和第九次的纵坐标都是， ∴从第二次开始纵坐标依次为1，1，，，2，2，，，3，，… ∵第四次和第五次的纵坐标都是，第八次和第九次的纵坐标都是， ∴第次和第次纵坐标的为， ∴第2024次和第2025次的纵坐标都是， ∴经过第2024次，点P的坐标是． 故选：D． 4. 下列说法： ①不相交的两条直线叫做平行线； ②若与是内错角，且，则； ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④在同一平面内，如果，，那么； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑦在同一平面内，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c一定相交； ⑧若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直； ⑨若两个角的两边分别平行，则这两个角相等． 其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【详解】解：①平行线的定义要求“在同一平面内”，故①错误． ②只有两直线平行时，内错角才相等，原命题未说明两直线平行，无法推出，故②错误． ③“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的前提是在同一平面内，故③错误． ④在同一平面内，，，，故④正确． ⑤点到直线的距离是“直线外一点到这条直线的垂线段的长度”，故⑤错误． ⑥应为“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，若点在已知直线上，无法作出平行线，故⑥错误． ⑦同一平面内，与相交，与相交，与可以平行，故不一定相交，⑦错误． ⑧两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的和为，两个角的一半和为，因此两条角平分线互相垂直，故⑧正确． ⑨若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故⑨错误． 综上，正确的共2个． 5. 如图，直线，点C、A分别在直线a、b上，连接，过点C作，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质，两直线平行内错角相等，利用垂线的性质可得，利用平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了命题真假的判断，平行线的性质，点到直线的距离，垂线的相关知识等根据平行线的性质，点到直线的距离，垂线的相关知识一一判断即可． 【详解】解：．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故该选项符合题意； ．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 7. 已知整式，，其中为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键． ①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；假设存在，此时使得，可得，从而得到，再由为自然数，可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∵当时，，， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ②当时，， ∵为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有 即当时，满足条件的整式共有10个，故②正确； 假设存在，此时使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为自然数， ∴或或或， 即不存在任何，使得，故③正确； 故选：D 8. 如图，已知，H，J，G分别为，，上一点（），平分，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ②④ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①先根据同旁内角互补，可得，再根据平行的传递性即可得到答案； ②根据平行线的性质和角平分线的性质可得到答案； ③根据平行线的性质和角平分线的性质即可得到答案； ④先作出辅助线，多次运用平行线的性质即可得到答案； ⑤辅助线和④中的一样，推导过程仿照④即可得到答案； 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， 即，故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 即，故③正确； ④如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 题目中未说明， 即不一定等于，故④错误； ⑤过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 即，故⑤正确； 综上，正确的有①③⑤． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 若，则的值为_______________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，得出x和y的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0． 10. 醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则__________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质等知识，作，，，，由题意得到，进而得到，由角平分线的性质得到，，再得到即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作，，，，如图： ∵， ∴， ∴，，，，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，，，，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，，则根据图示规律，点的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律问题，由已知点的坐标可得点的坐标为，进而即可求解，找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， 故答案为：． 12. 某班学生参加智力竞赛，共10道题，答题情况统计如下： 答对题数 0 1 2 3 … 8 9 10 人数 0 2 5 7 … 8 4 1 （1）对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题； （2）对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题． 该班学生共有____________人参加智力竞赛． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设答对4～7题的有x人，共答对y题，根据“对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题”可得方程，根据“对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题”可得方程，联立组成方程组，求解即可得到对4～7题的人数，进而可求出学生总数． 【详解】解：设答对4～7题的有x人，共答对y题，则 ， 解得：， ∴参加竞赛的学生人数为（人）． 故答案为：55． 三、解答题（共64分） 13. 解下列方程（组）； （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次方程以及解二元一次方程组，熟练掌握方程的相关解法和步骤是解题关键． （1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 【小问2详解】 解：， 由②得：， ，得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解是． 14. 2025年国际大体联足球世界杯在大连成功举办，为借助赛事热度抢抓商机，某体育用品商场购进并销售A，B两款足球已知该商场在10月份购进20个A款足球和40个B款足球，一共花费4400元；11月份购进10个A款足球和30个B款足球，一共花费3000元已知两次购进的足球价格一致． （1）A，B两款足球的进价分别为多少元？ （2）该商场决定12月份再购进一批A，B款足球（A，B两款足球都需要购买），另购进C款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款为4800元为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个A款足球送1个C款足球，买3个B款足球送2个C款足球．若12月份该商场购进的A，B两款足球均按此方案全部售罄，且C款足球恰好全部赠出，求12月份该商场购进A，B，C三款足球各多少个． 【答案】（1）每个A款足球的进价为60元，每个B款足球的进价为80元 （2）该商场共有三种购进方案：方案一：该商场购进A款足球51个，B款足球15个，C款足球27个；方案二：该商场购进A款足球30个，B款足球30个，C款足球30个；方案三：该商场购进A款足球9个，B款足球45个，C款足球33个 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键； （1）设每个A款足球的进价为x元，每个B款足球的进价为y元，根据购进20个款足球和40个款足球共需4400元；购进10个款足球和30个款足球共需花费3000元，列出方程组进行求解即可； （2）设12月份该商场购进A款足球个，B款足球个，根据“总进货款为4800元，买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，赋值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每个A款足球的进价为x元，每个B款足球的进价为y元． 根据题意，得 解得 答：每个A款足球的进价为60元，每个B款足球的进价为80元． 【小问2详解】 解：设12月份该商场购进A款足球个，B款足球个． 根据促销方案：买3个A款足球送1个C款足球，买3个B款足球送2个C款足球． 该商场购进C款足球个． 根据题意，得， ． ． A，B两款足球都需要购买， 或或 该商场共有三种购进方案： 方案一：该商场购进A款足球51个，B款足球15个，C款足球27个； 方案二：该商场购进A款足球30个，B款足球30个，C款足球30个； 方案三：该商场购进A款足球9个，B款足球45个，C款足球33个． 15. 如图，这是某学校操场旁的一太阳能智能路灯的侧面示意图，是太阳能电池板，，为支架，为固定支撑杆，灯体是，其中，平行于水平地面． （1）在不添加字母和辅助线的前提下，图中与构成同旁内角的角共有________个． （2）若，，．求证：． 【答案】（1）3 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据同旁内角的含义求解即可； （2）过点C作，可知，根据平行线的性质得到，进而求出，证明，可知． 【小问1详解】 解：在不添加字母和辅助线的前提下，图中与构成同旁内角的角有，，； ∴共有个； 【小问2详解】 证明：如图，过点C作． ， ． ， ． ， ∴， ． ， ， ． 16. 阅读下列材料：名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【答案】（1）图3：，图4：，两个方程的公共解为，；（2） 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组， （1）根据图3和图4分别列出两个方程，然后利用加减法求出由所列出的两个方程所构成的方程组的解即可； （2）设被墨水所覆盖部分所表示的数是m，根据图5列出方程组，将代入方程求，然后将，代入方程组即可求出 找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：（1）由图3得，①， 由图4得，②， 将这两个方程组成方程组得：， 将①②，得：， 解得：， 将代入②，得：， 解得：， ∴这个方程组的解是， 即这两个方程的公共解是，； （2）设被墨水所覆盖部分所表示的数是， 由题意得，图5中表示的方程组可表示为， 由题意可知，， 将代入①，得：， 解得：， 将，代入②，得：， 解得：， ∴被墨水所覆盖部分的符号所表示的数是． 17. 【概念学习】 我们知道：求几个相同加数的和的简便运算是乘法，也可以叫做连加． 例如：， 类似地，求若干个相同的有理数的减法运算叫做连减，例如，记作． 一般地，把个连减记作，（为整数，且） 【初步探究】直接写出计算结果：______，______；______； 【深入思考】：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，相同加数的加法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的连减运算如何转化为乘法运算呢？ 例如：， （1）试一试：将下列连减运算直接写成两数相乘的形式． ______，______，______（为整数，且） （2）算一算： 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】初步探究：根据连减的概念进行代入计算即可得到结果； 深入思考：（1）根据示例进行计算，最后得出连减规律即可； （2）运用规律进行计算即可． 初步探究：； ； ； 故答案为：，，； 【小问1详解】 解：； ； （为整数，且） 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：原式 【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；关键是正确理解题意． 18. 已知，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，且，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点B作交于点M，若，，当的面积为8时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行公理，加减消元法解二元一次方程组． （1）在右边作，得到，，即可得到，再根据求证； （2）在右边作，在右边作，则，设，，由，得到，，由，得到，即，代入各个角整理即可得到； （3）由（2）可得，再由，得到，根据，得到，再结合解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 证明：在右边作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在右边作，在右边作，则， 由（1）可得，， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴两个式子相减得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $