精品解析：浙江宁波市镇海蛟川书院2025学年第二学期学科素养大比拼2初二数学试卷

蛟川书院（甬江校区）2025学年第二学期学科素养大比拼2 初二数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应假设（　　） A. 四边形中所有角都是锐角 B. 四边形中至多有一个角是钝角或直角 C. 四边形中没有一个角是锐角 D. 四边形中所有角都是钝角或直角 3. 将一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线，那么平移前抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，商用手扶梯的坡比为，已知扶梯的长为12米，则小明乘坐扶梯从处到处上升的高度为（ ） A. 6米 B. 米 C. 12米 D. 米 5. 北仑某酒店第2季度的总营业额为240万元，其中4月份的营业额是100万元，设5、6月份的平均月增长率为x，可列方程为（　　） A. 100（1+x）2＝240 B. 100+100（1+x）2＝240 C. 100+100x+100（1+x）2＝240 D. 100+100（1+x）+100（1+x）2＝240 6. 已知抛物线＝a+2ax+c经过点(3，m)和点(﹣2，n)，且函数y有最大值，则m和n的大小关系为（ ） A. m＞n B. m＜n C. m＝n D. 与a的值有关 7. 对于实数a、b定义新运算“”如下：，如，，若一元二次方程的两根为 (),则的 结果是（ ） A. B. C. D. 2 8. 如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 9. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路．四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为．设道路宽为，则以下方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，E，F，G分别是边上的动点，且，将沿EF向内翻折至，连结，则当最大时，的最小值为（ ） A. B. 5.6 C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：_______________． 12. 一组数据，，，，的平均数是，这组数据的方差为______． 13. 已知α、β是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则α2+2α+β﹣1＝_____． 14. 如图，在中，为对角线，E为边上一点，连接，且．若平分，，则________． 15. 图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连接，则的最小值为_____． 16. 如图，平行四边形中，点是对角线的中点，点为上一点，连接，且，点为中点，，连接，延长交于点，，，，则________ 三．解答题（共8小题，共72分，其中17-21题每题8分，22-23题10分，24题12分） 17. 计算： （1）； （2）. 18. 解下列一元二次方程. （1）. （2）. 19. 在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解学生捐款金额(单位:元)，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图7的统计图图甲和图乙请根据相关信息，解答下列问题: 本次接受调查的学生人数为_ ，图甲中的值为__ ； 求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数. 20. 如图，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求ABCD的面积． 21. 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）．设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元， （1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 22. 如图，已知地物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），直线与x轴和y轴分别交于C，D两点． （1）若抛物线经过点D，且A点的坐标是，求抛物线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，点P是在直线下方二次函数图像上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积； （3）当时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值． 23. 我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做“对垂四边形”． （1）如图1，四边形ABCD为“对垂四边形”．求证：AB2+CD2＝BC2+AD2． （2）如图2，E是四边形ABCD内一点，连结AE，BE，CE和DE，AC与BD交于点O．若∠BEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠1+∠2＝∠3．求证：四边形ABCD为“对垂四边形”． （3）如图3，四边形ABCD为“对垂四边形”，AB＝AC，∠ADC＝120°，AD＝3，BC＝DC，求CD的长． 24. 如图1，绕点旋转得到，当点落在边上时，连接． （1）求证：平分； （2）连接交于点． ①如图2，若为长方形，则和之间的等量关系为 ，并说明理由； ②如图3，若，，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蛟川书院（甬江校区）2025学年第二学期学科素养大比拼2 初二数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则依次对每个选项进行计算，即可得到正确解答 ．　 【详解】解：A、原式=，正确； B、原式=，错误； C、原式=，错误； D、原式=，错误； 故选A ． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 2. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应假设（　　） A. 四边形中所有角都是锐角 B. 四边形中至多有一个角是钝角或直角 C. 四边形中没有一个角是锐角 D. 四边形中所有角都是钝角或直角 【答案】A 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中每个角都是锐角． 故选：A． 【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 3. 将一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线，那么平移前抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次函数平移规律进而将y＝2x2，先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到即可． 【详解】解：将先向上平移2个单位长度，得到抛物线，（上加下减）， 再向右平移1个单位长度得到抛物线，（左加右减）， ∴平移前抛物线的解析式是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 4. 如图，商用手扶梯的坡比为，已知扶梯的长为12米，则小明乘坐扶梯从处到处上升的高度为（ ） A. 6米 B. 米 C. 12米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡比的定义可知，设AC=x，则BC=x，由勾股定理求出AB=2x=12，得出x=6即可． 【详解】解：∵商用手扶梯AB的坡比1：， 设AC=x米，则BC=x米， ∴， 解得：x=6， ∴AC=6米， 故选：A． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理．理解坡度的定义是解此题的关键． 5. 北仑某酒店第2季度的总营业额为240万元，其中4月份的营业额是100万元，设5、6月份的平均月增长率为x，可列方程为（　　） A. 100（1+x）2＝240 B. 100+100（1+x）2＝240 C. 100+100x+100（1+x）2＝240 D. 100+100（1+x）+100（1+x）2＝240 【答案】D 【解析】 【分析】根据4月份的销售额及第2季度的总销售额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：100+100(1+x)+100(1+x)2=240． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 已知抛物线＝a+2ax+c经过点(3，m)和点(﹣2，n)，且函数y有最大值，则m和n的大小关系为（ ） A. m＞n B. m＜n C. m＝n D. 与a的值有关 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知a＜0，求得对称轴，利用二次函数的对称性和增减性，即可得到结论． 【详解】解：∵函数y有最大值， ∴a＜0， ∵y＝a+2ax+c的对称轴为直线＝﹣＝﹣1， ∴当x＞﹣1，y值随x值的增大而减小． ∴点（﹣2，n）关于对称轴的对称点是（0，n），且0＜3， ∴m＜n． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，二次函数的增减性，对称轴，熟练掌握二次函数的增减性，对称轴是解题的关键． 7. 对于实数a、b定义新运算“”如下：，如，，若一元二次方程的两根为 (),则的 结果是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出已知方程的解得到x1与x2的值，利用题中新定义计算即可得到结果． 【详解】解：方程变形得：， ∵ ∴解得：，， ∴ 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程及新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8. 如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长BN交AC于D， 在△ANB和△AND中， ， ∴△ANB≌△AND， ∴AD=AB=8，BN=ND， ∵M是△ABC的边BC的中点， ∴DC=2MN=4， ∴AC=AD+CD=12， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 9. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路．四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为．设道路宽为，则以下方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路宽为，则中间正方形的边长为，根据道路占地总面积为，即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 整理得． 故选：B． 10. 如图，正方形的边长为4，E，F，G分别是边上的动点，且，将沿EF向内翻折至，连结，则当最大时，的最小值为（ ） A. B. 5.6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当四边形为正方形时，最大，作C关于的对称点，则，即的最小值为，利用勾股定理即可求解． 【详解】解，如图，当四边形为正方形时，最大， ∴， ∵， ∴， ∴E，F分别是边上的中点， 过点作于点H， 则， 作C关于的对称点，连接， ∴， ∴，即的最小值为， 在中，， 由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 12. 一组数据，，，，的平均数是，这组数据的方差为______． 【答案】0.8 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式先求出a的值，再根据方差公式代数计算即可． 【详解】解：∵3，5，a，4，3的平均数是4， ∴（3+5+a+4+3）÷5=4， 解得：a=5， 则这组数据的方差S2= [（3-4）2+（5-4）2+（5-4）2+（4-4）2+（3-4）2]=0.8， 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，此题难度不大． 13. 已知α、β是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则α2+2α+β﹣1＝_____． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解写出关于α的等式，再根据一元二次方程的根与系数的关系求出α与β之和，最后代入计算即可． 【详解】解：∵α、β是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握这些知识点是解题关键． 14. 如图，在中，为对角线，E为边上一点，连接，且．若平分，，则________． 【答案】70 【解析】 【分析】首先证明△ABE是等边三角形，再证明△AED≌△DCA，可得∠AED=∠DCA，求出∠DCA即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AB=CD， ∴∠DAE=∠AEB， ∵∠EAB=∠EAD， ∴∠EAB=∠AEB， ∴BA=BE， ∵AB=AE， ∴AB=BE=AE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠B=∠BAE=∠AEB=60°， ∴∠EAD=∠CDA=60°， ∵EA=AB，CD=AB， ∴EA=CD， ∵AD=DA， ∴△AED≌△DCA， ∴∠AED=∠DCA， ∵， ∴∠ACD=∠BAC=60°+10°=70°， ∴∠AED=70°． 故答案为：70． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 15. 图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过作， 正方形， ，， ， ， ，且，， ， ，， 当时，的最小值为 故答案为 【点睛】本题考查正方形的性质，关键是利用正方形的性质和全等三角形的判定得出． 16. 如图，平行四边形中，点是对角线的中点，点为上一点，连接，且，点为中点，，连接，延长交于点，，，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于交的延长线于，先由三线合一、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形性质及矩形的判定与性质得到相关角及线段的相等关系，再由三角形全等的判定与性质得到，，进而通过正方形的判定与性质得到，数形结合得到，从而有，然后证得，得出，代入计算即可． 【详解】解：连接，作于交的延长线于，如图所示： 在中，，点为中点，则由三线合一可知， 在中，，则， ， 在平行四边形中，， ， ，即， ， 四边形是矩形，则， ， ， 在和中， ， ，， 矩形是正方形， 在正方形中，对角线平分对角和，， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ， ，即， ， 在平行四边形中，点是对角线的中点，，则，， 在和中， ， ， ， ． 三．解答题（共8小题，共72分，其中17-21题每题8分，22-23题10分，24题12分） 17. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式得到，然后合并同类二次根式即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式和根据二次根式的乘除法运算得到，然后合并． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的相关法则． 18. 解下列一元二次方程. （1）. （2）. 【答案】（1）， （2）无实数解 【解析】 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）先将方程变为一般形式，然后用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴一元二次方程的解为： ，． 【小问2详解】 解：， 将一元二次方程变为一般形式为：， ∵， ∴原方程无实数解． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求根公式． 19. 在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解学生捐款金额(单位:元)，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图7的统计图图甲和图乙请根据相关信息，解答下列问题: 本次接受调查的学生人数为_ ，图甲中的值为__ ； 求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数. 【答案】（1）50，30；（2）平均数是29.2，众数是30，中位数是30 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次调查的人数，再根据扇形统计图中的数据，可以得到m的值； （2）根据条形统计图中的数据，可以得到这组数据的平均数、众数和中位数； 【详解】解：（1）8+12+15+10+5＝50（人）， m%＝1﹣16%﹣24%﹣20%﹣10%＝30%， 故答案为：50，30； （2）这组数据的平均数是：20×16%+25×24%+30×30%+35×20%+40×10%＝29.2， 众数是30，中位数是30； 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20. 如图，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求ABCD的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE⊥AB，可得结论； （2）先求得∠ADE＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质可求AE的长度，再由勾股定理求得DE的长，则可得BF的长度，再根据含30度角的直角三角形的性质可求AF的长度，由勾股定理求得AB的长，即可求得▱ABCD的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DCAB，DC＝AB， ∵CF＝AE， ∴CD﹣CF＝AB﹣AE， ∴DF＝BE且DCAB， ∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴平行四边形BFDE是矩形； 【小问2详解】 解：∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB， ∴∠ADE＝30°， ∴AE＝AD＝2，DE＝， 由（1）得：四边形DFBE是矩形， ∴BF＝DE＝2，∠ABF＝90°， ∵AF平分∠DAB， ∴∠FAB＝∠DAB＝30°， ∴AF＝2BF=4， ∴AB＝， ∴▱ABCD的面积＝AB×DE＝6×2＝12． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，运用含30度角的直角三角形解决问题是本题的关键． 21. 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）．设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元， （1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】（1）（且x为正整数） （2）每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据每天的利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键． （1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式． （2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式，进而得出当时得出y的最大值． 【小问1详解】 解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：元，总销量为：件， 商品利润为：， ， ． ∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元， ∴且x为正整数； 【小问2详解】 ， ， ． 故当时，最大月利润元． 这时售价为（元） 答：每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元． 22. 如图，已知地物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），直线与x轴和y轴分别交于C，D两点． （1）若抛物线经过点D，且A点的坐标是，求抛物线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，点P是在直线下方二次函数图像上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积； （3）当时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值． 【答案】（1）； （2）点P的坐标是时，的面积最大，最大面积是； （3）-1或5． 【解析】 【分析】（1）先求出直线与y轴交点D的坐标，把点D和点A的坐标代入，求出t的值，即可得到抛物线的函数解析式； （2）先求出点D和点E的坐标，在过P作轴，交直线于点K，设点P的坐标为，其中，则，表示出PK，求出PK的最大值，进一步求得点P的坐标； （3）根据t的范围分三种情况讨论，即可解答． 【小问1详解】 解：在直线中， 令，得， ∴点D的坐标是（0，3）， 将点坐标代入， 得 ∴， ∴ ∴， 所以， 即抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：在直线中，令得，， ∴点C的坐标是（5，0） 直线交抛物线于D，E两点，联立方程组 解得， ∴点D的坐标为，点E的坐标为（，） 过P作轴，交直线于点K，如图1， 设，其中，则， ， ∵， ∴当时，． 设点D和点C到的距离分别是，， 则， ∴， ∴当时，， 把代入得， ∴此时点P的坐标是． ∴点P的坐标是时，的面积最大，最大面积是． 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线． ①如图2，若，则当时，y有最小值． ∴， 解得， ∵， ∴ ②如图3，若，则当时，y有最小值． 此时，，不合题意，舍去． ③如图4，若，则当时，y有最小值． ∴， 解得， ∵， ∴． 综上所述，t的值为或5． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握函数的性质是基础，数形结合的方法是关键，还用到了分类讨论的方法． 23. 我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做“对垂四边形”． （1）如图1，四边形ABCD为“对垂四边形”．求证：AB2+CD2＝BC2+AD2． （2）如图2，E是四边形ABCD内一点，连结AE，BE，CE和DE，AC与BD交于点O．若∠BEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠1+∠2＝∠3．求证：四边形ABCD为“对垂四边形”． （3）如图3，四边形ABCD为“对垂四边形”，AB＝AC，∠ADC＝120°，AD＝3，BC＝DC，求CD的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD为“对垂四边形”， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）证明：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠COD， ∴∠3＝∠ACD， ∵∠3＝∠1+∠2，∠ACD＝∠ACE+∠2， ∴∠1＝∠ACE， ∴∠BOC＝∠BEC＝90°， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD为“对垂四边形”； （3）1 【解析】 【分析】（1）由“对垂四边形”的定义得出AC⊥BD，则∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理可得∠3＝∠ACD，由角的数量关系可得∠1＝∠ACE，可得∠BOC＝∠BEC＝90°，可得结论； （3）过点A作AH⊥DC，交CD延长线于点H，设CD＝x，则BC＝DC＝x，由“对垂四边形”的定义可得AB2＝9+5x2﹣x2＝9+4x2＝AC2，由直角三角形的性质可求DH＝AD＝，AH＝DH＝，由勾股定理可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点A作AH⊥DC，交CD延长线于点H， 设CD＝x，则BC＝DC＝x， ∵四边形ABCD为“对垂四边形”，AD＝3， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2， ∴AB2＝9+5x2﹣x2＝9+4x2， ∵AB＝AC， ∴AC2＝9+4x2， ∵∠ADC＝120°， ∴∠ADH＝60°，∠DAH＝30°， ∴DH＝AD＝，AH＝DH＝， ∵AC2＝AH2+CH2， ∴9+4x2＝+（x+）2， ∴x1＝0（舍去），x2＝1， ∴CD的长度1． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理、三角形内角和、直角三角形的性质、一元二次方程、等量代换等知识，灵活、综合运用定理，进行相关角的等量代换是解题关键． 24. 如图1，绕点旋转得到，当点落在边上时，连接． （1）求证：平分； （2）连接交于点． ①如图2，若为长方形，则和之间的等量关系为 ，并说明理由； ②如图3，若，，，请直接写出的面积． 【答案】（1）证明：由旋转的性质可得，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即平分． （2）①，理由如下： 如图，作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， 由（1）可知，， ∵， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质和旋转的性质可得，因此命题得证； （2）①作于点，由矩形的性质和角平分线的性质可得，由旋转的性质可得，，从而可证明，因此； ②过点作，交于点，作于点，连接，利用（1）的结论容易证明是等边三角形，则，．利用平行四边形的性质和旋转的性质容易证明，则，，进而证明四边形是平行四边形，因此．利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可计算出，最后计算的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②如图，过点作，交于点，作于点，连接， ∵，且， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $