精品解析：浙江省宁波市镇海蛟川书院2024-2025学年八年级下学期3月 月考数学试卷

浙江省宁波市镇海蛟川书院2025年3月数学试题卷 满分120分，考试时间为90分钟 一、选择题（每题4分，共16分） 1. 设，，则a与b大小关系是（ ） A B. C. D. 2. 已知▱ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造▱AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中，▱AEFG面积变化情况是（　　） A. 一直增大 B. 保持不变 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 3. 已知二次函数的图象经过，，，四点，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 4. 如图，锐角中，分别是边上的点，，，，的平分线交边于点，，，分别是线段上的动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共16分） 5. 如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________________________________． 6. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象与矩形的边分别交于点G，H，点G与B关于x轴对称，点H与D关于y轴对称．若的面积为2，矩形的面积为17，则的值是____________． 7. 如图，点是以为直径的半圆上的两点，，则的长为______． 8. 如图，点D，F把线段分成三条线段，分别以这三条线段为一条对角线作菱形，菱形，菱形，连结组成四边形．若菱形的边长为，，则四边形的面积是______________． 三、计算技巧考察（第9题每小题5分，第10题每小题6分，共38分） 9 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 10. 解方程： （1）； （2）； （3）． 四、解答题（第11题10分，第12～13题每题12分，第14题16分，共50分） 11. 如图，12个边长为1正方形摆放在平面直角坐标系中，直线平分这12个正方形组合图形的面积，且与轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第二象限的图象交于点．若的面积之比为． （1）求直线解析式． （2）求的值． 12. 解方程：． 13. 已知关于x的二次方程至少有一个整数根，试求出所有满足条件的正整数a． 14. 已知凸四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度．请画出图形，并求这个四边形的最大内角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省宁波市镇海蛟川书院2025年3月数学试题卷 满分120分，考试时间为90分钟 一、选择题（每题4分，共16分） 1. 设，，则a与b的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，代数式之间大小关系的比较．根据题意先计算出，再利用作差法即可比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2. 已知▱ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造▱AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中，▱AEFG面积变化情况是（　　） A. 一直增大 B. 保持不变 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】B 【解析】 【分析】延长BE，与GF的延长线交于点P，先证明四边形ADPE是平行四边形，再证明△AGD≌△EFP，得出平行四边形AGFE的面积等于平行四边形ADPE的面积，又AD∥BP，根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．所以根据图示进行判断即可． 【详解】解：设△ABE，△ECH，△HFD，△DGA的面积分别为S1、S2、S3、S4， 延长BE，与GF的延长线交于点P． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BP，∠ADG＝∠P． ∵四边形AEFG是平行四边形， ∴AG∥EF，AE∥DP，AG＝EF， ∴∠G＝∠EFP． ∵AD∥BP，AE∥DP， ∴四边形ADPE是平行四边形． 在△AGD与△EFP中， ∴△AGD≌△EFP（AAS）， ∴S4＝S△EFP， ∴S4+S四边形AEFD＝S△EFP+S四边形AEFD， 即S▱AEFG＝S▱ADPE， 又∵▱ADPE与▱ADCB的一条边AD重合，且AD边上的高相等， ∴S▱ABCD＝S▱ADPE， ∴平行四边形ABCD的面积＝平行四边形AEFG的面积． 故▱AEFG面积不变， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形面积变化情况，解题的关键是根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积． 3. 已知二次函数的图象经过，，，四点，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据题意可求出对称轴为直线，再利用二次函数开口向上即可得到本题答案． 【详解】解：∵图象经过，， ∴对称轴为直线， ∴与是对称的两点， ∵， ∴图象开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 4. 如图，锐角中，分别是边上的点，，，，的平分线交边于点，，，分别是线段上的动点，且，则的最小值是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，可证，根据全等三角形的性质可得：，再根据两点之间线段最短和垂线段最短得到当点、、三点共线且时，的值最小，根据四边形内角和定理可求，时，的值最小，利用勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：如下图所示，连接， ，平分， ， ， 在和中，， ， ， 根据两点之间线段最短，可得：当点、、三点共线时，的值最小， 根据垂线段最短，可得：当时，的值最小， ，， 在四边形中，， ， ， 在中，， 当时，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、四边形的内角、直角三角形的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 二、填空题（每题4分，共16分） 5. 如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________________________________． 【答案】且k≠0． 【解析】 【详解】试题解析：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且. 故答案为:且. 6. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象与矩形的边分别交于点G，H，点G与B关于x轴对称，点H与D关于y轴对称．若的面积为2，矩形的面积为17，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形的面积，解题的关键是由已知条件列出方程．由题意设，求得，再通过已知面积列出方程，进而求得的值． 【详解】解：, 在反比例函数图像上， 设， 点G与B关于x轴对称，点H与D关于y轴对称, ， 四边形是矩形， 轴, 轴, 则 , 的面积为 2，矩形的面积为 17， 即, 两式相减得，, ． 故答案为：． 7. 如图，点是以为直径的半圆上的两点，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，设与相交于点，连接， 由圆周角定理的得，即得，又由圆周角定理得，即可得和均为等腰直角三角形，得到，，即得，得到，再根据勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设与相交于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 如图，点D，F把线段分成三条线段，分别以这三条线段为一条对角线作菱形，菱形，菱形，连结组成四边形．若菱形的边长为，，则四边形的面积是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，解题关键是运用菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键． 连接、、，分别交于点、、，设，，求出，，，运用勾股定理求得，，即可得解． 【详解】解：连接、、，分别交于点、、，如图所示， ， ， ， 设，， 即， 四边形、、都是菱形， ，，， ，， ，， 菱形的边长为，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、计算技巧考察（第9题每小题5分，第10题每小题6分，共38分） 9. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式及完全平方公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）化简分式后，化简二次根式求解即可； （2）运用平方差公式运算求解即可； （3）运用平方差公式运算求解即可； （4）利用完全平方公式运算求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 =； 【小问3详解】 解：原式 = ； 【小问4详解】 解：∵， ∴ 原式= ． 10. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，直接开方法解一元二次方程等． （1）先将等式左侧因式分解，再将右侧移项后提公因式，继而计算即可； （2）先计算，再直接开方法即可； （3）先将第二个括号内展开合并再去括号，再用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 提公因式得：， 移项得：， 提公因式得：， 即：或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， 即：，； 【小问3详解】 解：， 去括号得：， 即：， 因式分解得：， 即：或， 解得：，． 四、解答题（第11题10分，第12～13题每题12分，第14题16分，共50分） 11. 如图，12个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，直线平分这12个正方形组合图形的面积，且与轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第二象限的图象交于点．若的面积之比为． （1）求直线的解析式． （2）求值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，待定系数法求函数解析式，熟悉掌握函数的表达式是解题的关键． （1）利用面积关系求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）利用比值关系求出点坐标，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，如图所示进行标注， ∵直线平分这12个正方形组合图形的面积， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵与的面积之比为，， ∴到轴的距离为， ∴把代入可得：， ∴， ∵反比例函数在第二象限且过点， ∴． 12. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解无理方程，方程移项得，两边平方得，平方整理得，解得，，经检验，是方程的解． 【详解】解：， 移项得，， 方程两边平方，整理得，， 平方整理得， 解得， 经检验得，是方程的解， 所以，方程的解为． 13. 已知关于x的二次方程至少有一个整数根，试求出所有满足条件的正整数a． 【答案】1，3，6或10 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次不等式的解法等知识，先根据得到，，再根据a是正整数得到，从而求出x的取值范围，从而到x的所有可能整数解，继而求出对应的a值，即可的解．根据题意得到x的所有整数解是解题的关键． 【详解】解：原方程可化为， 当时，代入得：， ∴， ∴， ∵a是正整数， ∴且为整数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵且x为整数， ∴，，，0，1，2， 依次代入，得：， ， ， ， ， ， ∴满足条件的正整数的值有4个，分别为：1，3，6或10． 14. 已知凸四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度．请画出图形，并求这个四边形的最大内角的度数． 【答案】图形见解析；四边形的最大内角的度数分别是，，和． 【解析】 【分析】本题考查了根据题意画出图形，解题关键是正确理解题意． 分四种情况： 四边形中，四边相等，两条对角线相等，求出度数即可； 四边形的四条边与一条对角线相等，求出度数即可； 四边形的两条边与两条对角线相等，另两条边相等，求出度数即可； 四边形的一条边与两条对角线相等，另三边相等，求出度数即可． 【详解】解：分四种情况： 如图所示， ， 在四边形中，四边相等，两条对角线相等， 即，， 四边形是正方形， ， 正方形符合题意， ， 即这个四边形的最大内角为； 如图所示， ， 四边形的四条边与一条对角线相等， 即， ∵在中，， ∴是等边三角形， ， 同理，， ， 这个四边形的最大内角为； 如图所示， ， 四边形的两条边与两条对角线相等，另两条边相等， 即，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ； 这个四边形的最大内角为； 如图所示， ， 四边形的一条边与两条对角线相等，另三边相等， 即，， 则四边形是梯形，与平行， ， ，　　　　　　　　 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 四边形的最大内角的度数分别是，，和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$