精品解析：2026年陕西西安市工业大学附属中学九年级下学期 阶段性教学诊断数学试题（8）

九年级阶段性教学诊断 数学 一、单选题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，比﹣3小的数是( ) A. ﹣5 B. ﹣1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】-5＜-3＜-1＜0＜1， 所以比-3小的数是-5， 故选A． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中首创的榫卯结构，图②是图①六根鲁班锁中一个构件，从前面看得到的图形，则这个构件的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：该构件的主视图为． 3. 如图，已知，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求出的度数，利用角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可求出的度数． 【详解】解：∵在同一直线上，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，∴A错误； B、与不是同类项，不能合并，∴B错误； C、，∴C错误； D、，∴D正确． 5. 如图，已知在中，，，线段、分别是三角形边、上的高线和中线，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】线段是边上的高，运用勾股定理，求出、，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出． 【详解】解：线段是边上的高， ，即， 在中，， ， 在中，， 是的中线， 在中，． 6. 在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象向左平移3个单位长度经过点，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，再将已知点代入解析式，用待定系数法求解的值即可． 【详解】解：根据一次函数图象平移规则，原函数向左平移3个单位后，对加3，可得平移后的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴把，代入解析式得， 整理得， 解得． 7. 如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】位似图形的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标满足“对应点坐标比等于位似比（符号有位置决定）” ． 【详解】解：如图： ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点，若点，的对应点为点， ∴位似比为， ∵点与点是位似图形的对应点，且在同一个象限内， ∴点的坐标，即， ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合， ∴点与点关于原点成中心对称， ∴点的坐标为． 8. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：下列选项正确的是（ ） x 1 y 0 5 9 5 A. 二次函数的图象开口向上 B. 二次函数的图象与x轴没有交点 C. 当时， D. 若点，均在二次函数图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】先利用表格中y值相等的对称点求出二次函数的对称轴和解析式，再结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：∵当和时，y值均为， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 设二次函数解析式为，将代入得：， 解得， ∴二次函数图象开口向下，选项A错误． 整理解析式得， ∵判别式， ∴二次函数图象与轴有两个交点，选项B错误． ∵二次函数与轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴另一个交点横坐标为，即另一个交点为． 又∵开口向下， ∴当时，，选项C正确． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴两点到对称轴距离相等，，选项D错误． 二、填空题（共6题，每小题3分，计18分） 9. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解： 解得． 10. 生活中，我们所见到的地面常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则n的值为 _____． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意求出，再求出该正多边形的一个外角，即可求出n的值． 【详解】解：∵是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成， ∴， ∴该正多边形的一个外角， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形每个内角都相等． 11. 互联网“微商”经营已成为大众创业新途径．线上平台上有一种标价为元的商品，若按标价的八折销售，每件商品的利润率为，则这种商品每件的成本价为___元． 【答案】 【解析】 【分析】设成本为，由利润率计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设这种商品每件的成本价为元，则 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 12. 如图，A、B、C、D在上，点C为的中点，，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点为的中点，利用圆周角定理及弧、弦的关系可得，进而推出，，根据三线合一可得，通过作高构造直角三角形，利用锐角三角函数计算的长． 【详解】解：点为的中点， ， ， 由图可得，， ， ， 过点作于点，如图， ，， ， 在中，，， ， ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则________． 【答案】48 【解析】 【分析】在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【详解】解：在中，点为的中点，， ， 点的坐标为， ， ， ， 点的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点， ． 14. 如图，已知在四边形中，，，点、分别在边、上，，，点在边上，点为边的中点，当线段取最小值时，线段的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长至点使得，连接、、，容易证明四边形是矩形，则，．由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得．容易证明，则，因此，当、、、四点共线时，取得最小值．当、、、四点共线时，容易证明，因此． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接、、， ∵，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，点为斜边的中点， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值， 如图，、、、四点共线时， 在和中， ， ∴， ∴． 三、解答题（共12小题，计78分．解答题应写过程） 15. 计算：． 【答案】. 【解析】 【详解】解：原式 16. 解一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程， 先配方，再开方，求出解即可． 【详解】解：， 配方，得， 即， 开方，得， ∴． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 当时，原式． 18. 如图，已知中，，，请你用尺规作图法在内部求作一点P，使得，且（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【解析】 【分析】作的平分线与线段的垂直平分线的交点即为点，由角平分线可得，由线段的垂直平分线可得，则，再由三角形内角和定理可得． 【详解】略 19. 如图，在中，，点D，F分别在，上，，连接，且，连接．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据和证得，再利用可证，可得． 【详解】略 20. 一个不透明的袋子里有除颜色外完全相同的5个小球，其中2个红球，2个白球，1个黑球．将袋子中的小球摇匀，从中随机摸一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次． （1）小天随机摸球8次，其中3次为白球，则8次摸球中，小天摸到白球的频率为________； （2）若小天一次随机拿出两个小球，请用列表或画树状图的方法，求恰好有一球是红色的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率频数总试验次数直接计算即可； （2）通过列表列出所有可能的拿球结果，找出恰好有一球是红色的结果数，再代入概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵摸球总次数为8次，摸到白球的频数为， ∴摸到白球的频率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 红 红 白 白 黑 红 红，红 红，白 红，白 红，黑 红 红，红 红，白 红，白 红，黑 白 白，红 白，红 白，白 白，黑 白 白，红 白，红 白，白 白，黑 黑 黑，红 黑，红 黑，白 黑，白 由表格可得，共有20种可能的结果，其中恰好有一球是红色的结果共12种， 恰好有一球是红色的概率为． 21. 某班数学小组在数学实践活动中尝试测量操场上旗杆的高度，小航通过调整自己的位置，站在地面上的点C处，使得在太阳光下自己影子的末端与旗杆影子的末端在点E处重合，他又在旗杆和所站位置之间的点F处放置平面镜，恰好在平面镜里看到旗杆绳索固定扣点G，经测量得小航身高米，影长米，与平面镜距离米，小航眼睛到地面的距离米，旗杆绳索固定扣点G距离地面的距离米．已知，，点B、F、C、E在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小航计算旗杆的高度．（平面镜的宽度不计） 【答案】旗杆AB的高度为． 【解析】 【分析】(1) 利用镜面反射：绳结G处的光线经平面镜F反射后到达小航眼睛H， 由入射角等于反射角得，求出的长． (2) 利用影子相似：旗杆影子末端与小航影子末端重合于E，A、D、E三点共线， 由，求出旗杆高度． 【详解】解：，， ，， 平面镜放在地面上的点F处，入射角等于反射角， ， ， ， m，m，m， ， m， 点B、F、C在同一直线上， m， 小航的影子末端与旗杆的影子末端重合于点E， A、D、E三点共线， ，， ， 又为公共角， ， ， ，，， ， ， 答：旗杆的高度为． 22. 在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，在弹性限度范围内，他把得到的弹簧长度（）和所悬挂物体的质量（）的数据用电脑绘制成如图所示的图象． （1）求弹簧长度（）关于所悬挂物体的质量（）的函数表达式． （2）若所挂物体的质量为，求弹簧伸长了多少厘米？ 【答案】（1） （2）弹簧伸长了厘米 【解析】 【分析】（1）图像为一次函数，设解析式，从图像读取两个定点坐标，代入列方程组求解、即可得到函数式； （2）先将代入函数求出此时弹簧总长度，弹簧原长为时的长度，总长度减去原长即为伸长量． 【小问1详解】 解：由图像可知，函数为一次函数， 设， 图像过两点、，代入解析式： 将代入：，得， 将、点代入： ， ， 因此弹簧长度关于物体质量的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：把代入： ， 弹簧原长：时，， 弹簧伸长长度现长原长： ， 所以弹簧伸长了厘米． 23. 水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这30个数据进行整理，绘制了如下统计图表： 组别 用水量 组内平均数 根据以上信息，解答下列问题： （1）这30个数据的中位数落在_____________组；（填组别） （2）求这30户家庭去年7月份的总用水量； （3）该小区有700户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量比去年7月份的用水量节约，请估计这700户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少？ 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定中位数对应的数据位置（第15、16位），结合各组户数范围判断所在组． （2）利用“总用水量每组户数组内平均数”，累加各组结果． （3）用样本总用水量估计700户去年总用水量，再计算其即为节约总量． 【小问1详解】 解：中位数是将 30 个数据从小到大排列后，第 15 和第 16 个数据的平均数． 由条形统计图可知：A组10户（数据），B组12户（数据），C组6户（数据），D组2户（数据）． 第 15和第16个数据均在B组， 故中位数落在B组． 【小问2详解】 解：总用水量为各组户数与组内平均数的乘积之和： 【小问3详解】 解：样本中 30 户总用水量为，则 700 户去年总用水量为． 今年每户节约， 故总节约量为． 24. 如图，是的直径，点C、D在上，平分，分别过B、D作的切线相交于点E，、分别交直线于点F，G． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）证明：连, 为的直径， ， 平分， ， ，为弧的中点， ，， 切于，切于， ，， ， 又， 四边形为正方形， ， ． （2） 【解析】 【分析】(1) 由为直径得，平分得， 从而为弧中点，，两条切线构成正方形． (2) 利用切线垂直于直径得，结合推导， 在和中分别利用正切值求出、． 再由切线长定理得，利用得相似三角形，求出和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：切于， ，， 为直径， ， 在中，， 射线在内部， ， ， ， ， 在中，， ， 设，，则， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， ， 由(1)知四边形为正方形， ， ， 为水平直径，为过的水平切线， ， 在和中， ，为公共角， ， ， ， ， ． 25. “两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）设，则，得出纵坐标为：，即，确定，再根据题意得出，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：轴垂直平分，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将代入， ， 解得： 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示： 设， ∴， ∴点E的横坐标为x， ∴纵坐标为：，即， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴． 26. 问题发现： （1）如图①，中，，，，则的长度为________； 问题探究： （2）如图②，已知中，，，点D为边AB上一点，，连接，过A作于点E，且，，求的值； 问题解决： （3）如图③，某公园计划在长为60米走道一侧打造一片五边形区域种植花卉供游客观赏，并在花卉四周建立不同展廊，书画长廊和科技长廊的拐角，并满足，科技长廊与公益宣传走廊的拐角．为方便游客游览，需修建步道，并保持步道与公益宣传走廊平行，且满足． 请问五边形花卉区域的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（步道、走廊宽度不计） 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）过点C作，根据题意得出，，确定垂直平分，即可求解； （2）根据三角形面积得出，再由勾股定理确定，得出，结合等腰直角三角形的性质得出，求三角形面积即可； （3）根据题意得出，作于G，设，，，设，连接，得出，作于F，确定，，确定，的值最大时，S四边形的值最大，此时五边形的面积最大，结合题意得出点E的运动轨迹为的外接圆的优弧，连接，作于M交于，利用垂径定理及勾股定理得出，再结合图形求解即可 【小问1详解】 解：过点C作，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴； 【小问2详解】 解：∵于点E，且，， ∴即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， 作于G， 设， ， ∵， ， ∵， ∴设， 连接， ， 作于F， ， ， ， ， ∴的值最大时，S四边形的值最大，此时五边形的面积最大， 在中，， ∴点E的运动轨迹为的外接圆的优弧， 连接，作于M交于， 此时 ∴， ， ， ， ， ∴的面积最大值为： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性教学诊断 数学 一、单选题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，比﹣3小的数是( ) A. ﹣5 B. ﹣1 C. 0 D. 1 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中首创的榫卯结构，图②是图①六根鲁班锁中一个构件，从前面看得到的图形，则这个构件的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知在中，，，线段、分别是三角形边、上的高线和中线，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象向左平移3个单位长度经过点，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：下列选项正确的是（ ） x 1 y 0 5 9 5 A. 二次函数的图象开口向上 B. 二次函数的图象与x轴没有交点 C. 当时， D. 若点，均在二次函数图象上，则 二、填空题（共6题，每小题3分，计18分） 9. 不等式的解集为________． 10. 生活中，我们所见到的地面常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则n的值为 _____． 11. 互联网“微商”经营已成为大众创业新途径．线上平台上有一种标价为元的商品，若按标价的八折销售，每件商品的利润率为，则这种商品每件的成本价为___元． 12. 如图，A、B、C、D在上，点C为的中点，，若，则的长为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则________． 14. 如图，已知在四边形中，，，点、分别在边、上，，，点在边上，点为边的中点，当线段取最小值时，线段的长为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答题应写过程） 15. 计算：． 16. 解一元二次方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知中，，，请你用尺规作图法在内部求作一点P，使得，且（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，，点D，F分别在，上，，连接，且，连接．求证：． 20. 一个不透明的袋子里有除颜色外完全相同的5个小球，其中2个红球，2个白球，1个黑球．将袋子中的小球摇匀，从中随机摸一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次． （1）小天随机摸球8次，其中3次为白球，则8次摸球中，小天摸到白球的频率为________； （2）若小天一次随机拿出两个小球，请用列表或画树状图的方法，求恰好有一球是红色的概率． 21. 某班数学小组在数学实践活动中尝试测量操场上旗杆的高度，小航通过调整自己的位置，站在地面上的点C处，使得在太阳光下自己影子的末端与旗杆影子的末端在点E处重合，他又在旗杆和所站位置之间的点F处放置平面镜，恰好在平面镜里看到旗杆绳索固定扣点G，经测量得小航身高米，影长米，与平面镜距离米，小航眼睛到地面的距离米，旗杆绳索固定扣点G距离地面的距离米．已知，，点B、F、C、E在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小航计算旗杆的高度．（平面镜的宽度不计） 22. 在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，在弹性限度范围内，他把得到的弹簧长度（）和所悬挂物体的质量（）的数据用电脑绘制成如图所示的图象． （1）求弹簧长度（）关于所悬挂物体的质量（）的函数表达式． （2）若所挂物体的质量为，求弹簧伸长了多少厘米？ 23. 水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这30个数据进行整理，绘制了如下统计图表： 组别 用水量 组内平均数 根据以上信息，解答下列问题： （1）这30个数据的中位数落在_____________组；（填组别） （2）求这30户家庭去年7月份的总用水量； （3）该小区有700户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量比去年7月份的用水量节约，请估计这700户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少？ 24. 如图，是的直径，点C、D在上，平分，分别过B、D作的切线相交于点E，、分别交直线于点F，G． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 25. “两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度． 26. 问题发现： （1）如图①，中，，，，则的长度为________； 问题探究： （2）如图②，已知中，，，点D为边AB上一点，，连接，过A作于点E，且，，求的值； 问题解决： （3）如图③，某公园计划在长为60米走道一侧打造一片五边形区域种植花卉供游客观赏，并在花卉四周建立不同展廊，书画长廊和科技长廊的拐角，并满足，科技长廊与公益宣传走廊的拐角．为方便游客游览，需修建步道，并保持步道与公益宣传走廊平行，且满足． 请问五边形花卉区域的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（步道、走廊宽度不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $