精品解析：2026年陕西西安市西北工业大学附属中学九年级下学期阶段性教学诊断数学试卷

九年级阶段性教学诊断 数 学 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 3的算术平方根为（ ） A. B. C. D. －3 2. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点在同一条直线上，，，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 3. “一夜看尽长安景，不负唐风不负春．”2026年西安大唐不夜城春节期间累计接待游客约1280万人次，数据1280万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 以下运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形和菱形中，，，点E是的中点，点G在的延长线上，连接、、，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 若点在直线上，且是二元一次方程的解，则点P的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象上有两个点和，当时，始终有，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程没有实数根 C. 该函数图象的顶点位于第三象限 D. 该函数的最大值不小于5 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若，则______． 10. 从八边形的一个顶点出发可以引______条对角线． 11. 在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 12. 如图，已知，，，，点为边上的中点，连接，若为的角平分线，则的面积为______． 13. 如图，点在反比例函数 的图象上，轴于点，轴于点，．一次函数的图象与交于点， 若为的中点，则的值为_________． 14. 如图，在矩形中，，，点P是对角线上一动点，点Q是上一动点，连接、，若，则的最小值是______． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组： 17. 解分式方程：． 18. 如图，在中，点D在上，将沿着过D的直线l翻折后，点A恰好落在上，请画出直线l．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在矩形中，点分别在边上，连接，求证：． 20. 小秦和小岭所在班级要组织集体观影活动．备选影片有《疯狂动物城》、《寻梦环游记》、《心灵奇旅》、《超能陆战队》、《大鱼海棠》这5部适合中学生观看的电影．记《疯狂动物城》为A、《寻梦环游记》为B、《心灵奇旅》为C、《超能陆战队》为D、《大鱼海棠》为E，最终观看影片由全班同学投票决定，每人只能选择1部电影． （1）小秦选中《寻梦环游记》的概率为______； （2）用画树状图或列表格的方法，求小秦和小岭至少有一个人选《疯狂动物城》的概率． 21. 西安沣邑大桥主桥塔竖直垂直于河面，是西安高新区地标性三塔斜拉桥，也是全球最宽全漂浮体系多塔斜拉桥．某数学兴趣小组利用无人机测量桥面上桥塔的高度．如图，无人机在桥塔上方点C处时，测得桥塔顶部A处的俯角，测得桥塔底部B处的俯角，无人机沿水平方向由点C飞行到达点D处，在D处测得A处的俯角．已知图中各点均在同一竖直平面内．桥塔垂直于地面，请根据以上数据求桥塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，） 22. 西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售A品牌头盔，该头盔的进价为60元/个．经测算，当售价为89元/个时，平均日销售量为20个．该经销商为了响应政府号召让更多人戴盔出行，决定降价促销头盔．经市场调研发现该头盔每降价1元，平均日销售量增加2个． （1）若该头盔每个降价元，平均日销量为，写出与的函数关系式． （2）为使日销售利润达到756元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. 为传承中华经典诗词文化，增强学生文化自信，学校举办了一场诗词知识竞赛．满分100分，85分及以上获奖．现从甲，乙两班各随机抽取8名学生的竞赛成绩： 甲班8名学生竞赛成绩（分）：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩（分）：100，90，79，90，83，85，56，75． 甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 甲班 80 n 乙班 m 90 请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，______（填“”“”或“”）； （2）你认为哪个班成绩比较好，并说明理由（写出一条即可）； （3）甲班有学生48人，乙班有学生46人，按竞赛规定：85分及85分以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 24. 如图，为的直径，点B为延长线上一点，与相切于点C，，点E在上，连接，． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 25. 交互绳是花样跳绳中非常具有观赏性的项目．如图1是同学们练习交互绳示意图，两位摇绳同学左右手交互摇两根绳，其他同学依次钻进绳子跳跃．左边摇绳同学的双手分别记为A，，右边摇绳同学的双手分别记为B，，且保持点A、点B的高度相同，点、点的高度相同，以与的中点连线所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图2所示平面直角坐标系，甩绳位于竖直平面内的形状可以近似看成关于x轴对称的两条抛物线，．经测量，，，的最低点C接触地面时距离x轴为．（绳子粗细忽略不计） （1）求抛物线的函数表达式． （2）同学们依次钻进绳子跳跃，为防止同学们进入后头脚挂绳，两绳间的竖直距离应至少为，为了安全，每两人之间的空隙也至少为，请问在此条件下最多能同时容纳多少名同学进入绳内跳跃？ 26. 问题提出 （1）在直角坐标系中，已知点和点．将线段平移到线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D．若点D的坐标为，则C点的坐标为______． 问题探究 （2）如图1，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，连接．当点D落在线段上，此时，求的度数． 问题解决 （3）如图2，四边形ABCD为某公园的地形平面图，其中米，米，，且米，公园出口Q位于边上，且米．规划局计划设计花卉观赏区，其中点E和点F分别在边和上，且满足，，．规划局想在EP的上方修一条长60米且平行于的观赏桥．游客观赏完花卉从点P出发，通过观赏桥再从出口Q出园，游客所走总路程是否存在最短路程？如果存在，请画出设计图，并求出总路程的最小值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性教学诊断 数 学 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 3的算术平方根为（ ） A. B. C. D. －3 【答案】C 【解析】 【分析】区分平方根与算术平方根的定义，明确算术平方根是一个非负数． 【详解】解：∵，且， ∴的算术平方根为． 2. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点在同一条直线上，，，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用可得，再利用三角形外角的性质即可解得. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 3. “一夜看尽长安景，不负唐风不负春．”2026年西安大唐不夜城春节期间累计接待游客约1280万人次，数据1280万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求，为整数，正确确定和的值即可． 【详解】解： ∵万， ∴，，即． 4. 以下运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据运算法则，逐个验证选项即可得到正确结果． 【详解】解：对于选项A，∵合并同类项，系数相加，字母和指数不变，，A错误； 对于选项B，，，，B错误； 对于选项C，∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，C正确； 对于选项D，∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，，D错误． 5. 如图，菱形和菱形中，，，点E是的中点，点G在的延长线上，连接、、，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质和已知角度证明是等边三角形，求出的长和的度数；再根据菱形的性质求出的长和的度数，进而证明，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， 是等边三角形， ，， 点在的延长线上， ， 点是的中点， ， 四边形是菱形， ，平分， ，， 如图，连接交于点， ，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，， 在中，， ， ， 在中，． 6. 若点在直线上，且是二元一次方程的解，则点P的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到关于的方程组，解方程组得到点的坐标，再根据象限坐标的符号特点判断即可． 【详解】解：∵ 点在直线上，且是方程的解， ∴联立方程组得 解得 ∴点的坐标为 ∵，， ∴点在第一象限． 7. 如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，令的交点为，先求出，再利用垂径定理及三角形内角和定理得到，最后求出等腰三角形的底角的度数即可. 【详解】解：连接， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴即：， ∴， ∵， ∴. 8. 已知二次函数的图象上有两个点和，当时，始终有，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程没有实数根 C. 该函数图象的顶点位于第三象限 D. 该函数的最大值不小于5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件得出时随增大而减小，进而推出，对称轴，得到，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵当时，始终有， ∴时，随的增大而减小， ∴二次函数开口向下，即，对称轴为直线， ∵，， ∴， 对于选项A，∵，∴A错误； 对于选项B，方程的判别式， ∵， ∴， 又， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，B错误； 对于选项C，二次函数顶点坐标为，化简得， ∵，，， ∴， ∴， ∴顶点横坐标，纵坐标，顶点位于第二象限或轴正半轴，C错误； 对于选项D，二次函数开口向下，最大值为顶点纵坐标， ∵， ∴函数最大值不小于，D正确． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将所求分式拆分变形，再代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式 得原式． 10. 从八边形的一个顶点出发可以引______条对角线． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了多边形对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，即可得出答案． 【详解】解：从八边形一个顶点出发可以引条对角线． 故答案为：5． 11. 在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列式为，由此即可求解． 【详解】解：车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：50 ． 12. 如图，已知，，，，点为边上的中点，连接，若为的角平分线，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先用勾股定理算出长，借助直角三角形斜边中线性质得到与面积；再过作两条垂线，利用角平分线性质设高为，拆分面积列方程求，最后计算面积． 【详解】解：由勾股定理得， 是中点， ， ∴， ， 过作、于、， 平分， 设， ， ， 解得， ． 13. 如图，点在反比例函数 的图象上，轴于点，轴于点，．一次函数的图象与交于点， 若为的中点，则的值为_________． 【答案】16 【解析】 【分析】设一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，易得到和的坐标，易证得四边形是正方形，进而可证得，求得，由为的中点，可知为的中点，得出，从而得出点的坐标，再利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为， 则，， ∴． ∵轴于点，轴于点，， ∴四边形是正方形， ∴轴，， ∴， ∴ ∴． ∵为的中点， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵点在反比例函数)的图象上， ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式的求法，正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，，点P是对角线上一动点，点Q是上一动点，连接、，若，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过四边形内角和求出是解题的关键，构造“一线三直角”模型证明三角形相似，证明，利用垂线段最短求最小值即可． 【详解】解：过点作于点，于点， 四边形是矩形， ，，， 在四边形中，， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ， ， 点在对角线上， ， ， 当时，的值最小，此时的值最小， 在中，， ， ， 的最小值为． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算绝对值、三角函数、零指数幂、二次根式化简，最后算加减即可. 【详解】解：原式 . 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则得到最终结果，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此，原不等式组的解为． 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先对分母因式分解得到最简公分母，将分式方程化为整式方程求解，最后检验所得根是否使分母不为零，得到原方程的解． 【详解】解： 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 18. 如图，在中，点D在上，将沿着过D的直线l翻折后，点A恰好落在上，请画出直线l．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【解析】 【分析】以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点，连接，过点D作的垂直平分线即可． 【详解】略 19. 如图，在矩形中，点分别在边上，连接，求证：． 【答案】证明：四边形是矩形， ，即． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】证明，即可得证. 【详解】略 20. 小秦和小岭所在班级要组织集体观影活动．备选影片有《疯狂动物城》、《寻梦环游记》、《心灵奇旅》、《超能陆战队》、《大鱼海棠》这5部适合中学生观看的电影．记《疯狂动物城》为A、《寻梦环游记》为B、《心灵奇旅》为C、《超能陆战队》为D、《大鱼海棠》为E，最终观看影片由全班同学投票决定，每人只能选择1部电影． （1）小秦选中《寻梦环游记》的概率为______； （2）用画树状图或列表格的方法，求小秦和小岭至少有一个人选《疯狂动物城》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）概率等于所求情况数与总情况数之比； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小秦从5部电影中随机选择部，选中《寻梦环游记》的结果只有种， 故小秦选中《寻梦环游记》的概率为； 【小问2详解】 解：列表可得： A B C D E A B C D E 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中小秦和小岭至少有一个人选《疯狂动物城》的情况有种， 故小秦和小岭至少有一个人选《疯狂动物城》的概率为． 21. 西安沣邑大桥主桥塔竖直垂直于河面，是西安高新区地标性三塔斜拉桥，也是全球最宽全漂浮体系多塔斜拉桥．某数学兴趣小组利用无人机测量桥面上桥塔的高度．如图，无人机在桥塔上方点C处时，测得桥塔顶部A处的俯角，测得桥塔底部B处的俯角，无人机沿水平方向由点C飞行到达点D处，在D处测得A处的俯角．已知图中各点均在同一竖直平面内．桥塔垂直于地面，请根据以上数据求桥塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，由题意知，设，则，根据得出，利用的正切函数求出，利用的正切函数求出的长即可． 【详解】解：延长交于点，由题意知， 设，则， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， ， 解得， 答：桥塔的高度约为． 22. 西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售A品牌头盔，该头盔的进价为60元/个．经测算，当售价为89元/个时，平均日销售量为20个．该经销商为了响应政府号召让更多人戴盔出行，决定降价促销头盔．经市场调研发现该头盔每降价1元，平均日销售量增加2个． （1）若该头盔每个降价元，平均日销量为，写出与的函数关系式． （2）为使日销售利润达到756元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2） 该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】（1）根据降价和日销量的变化关系，直接写出与的函数关系式； （2）根据“总利润=单个头盔利润×日销售量”列一元二次方程求解，结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择降价更多的解，再计算出实际售价． 【小问1详解】 已知售价为89元/个时，日销售量为20个，每降价1元，日销售量增加2个， 当降价元时，增加的日销售量为个， 因此可得， 结合实际意义，降价， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 设该头盔每个降价元， 由题意可知，单个头盔的利润为元，日销售量为个，日总利润为756元， 因此列方程得：   整理得：   解得  要尽可能让顾客得到实惠，因此选择降价更多的， 实际售价为(元/个) 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 23. 为传承中华经典诗词文化，增强学生文化自信，学校举办了一场诗词知识竞赛．满分100分，85分及以上获奖．现从甲，乙两班各随机抽取8名学生的竞赛成绩： 甲班8名学生竞赛成绩（分）：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩（分）：100，90，79，90，83，85，56，75． 甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 甲班 80 n 乙班 m 90 请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，______（填“”“”或“”）； （2）你认为哪个班成绩比较好，并说明理由（写出一条即可）； （3）甲班有学生48人，乙班有学生46人，按竞赛规定：85分及85分以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）84，80， （2）乙班成绩比较好，理由：甲乙两班平均数相同，但乙班中位数比甲班高； （3）41人 【解析】 【分析】（1）按照求中位数与众数的方法进行即可；根据两个班抽取学生成绩的波动程度可判断方差的大小； （2）从中位数考虑或方差考虑即可； （3）样本估计总体，求出甲班优秀人数与乙班优秀人数的和即可． 【小问1详解】 解：将乙班学生成绩按高低排列，第4、5两个数分别为85、83， ∴； 甲班抽取的学生成绩中，80分出现的次数最多，则； 由折线统计图知，甲班的成绩波动程度小于乙班，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：这两个班获奖的总人数是41人． 24. 如图，为的直径，点B为延长线上一点，与相切于点C，，点E在上，连接，． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，，再由圆周角定理得出，确定，利用直径所对的圆周角为直角确定，得出，再由等边对等角得出，即可证明； （2）设，得出，，，结合图形，建立方程得出，确定，再由余弦函数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴即， 解得：， ∴， 由（1）得， ∴． 25. 交互绳是花样跳绳中非常具有观赏性的项目．如图1是同学们练习交互绳示意图，两位摇绳同学左右手交互摇两根绳，其他同学依次钻进绳子跳跃．左边摇绳同学的双手分别记为A，，右边摇绳同学的双手分别记为B，，且保持点A、点B的高度相同，点、点的高度相同，以与的中点连线所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图2所示平面直角坐标系，甩绳位于竖直平面内的形状可以近似看成关于x轴对称的两条抛物线，．经测量，，，的最低点C接触地面时距离x轴为．（绳子粗细忽略不计） （1）求抛物线的函数表达式． （2）同学们依次钻进绳子跳跃，为防止同学们进入后头脚挂绳，两绳间的竖直距离应至少为，为了安全，每两人之间的空隙也至少为，请问在此条件下最多能同时容纳多少名同学进入绳内跳跃？ 【答案】（1） （2）在此条件下最多能同时容纳7名同学进入绳内跳跃 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，最低点即顶点的坐标为，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出点F的纵坐标为，得出，确定，然后利用无理数估算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，的最低点C接触地面时距离x轴为． ∴，最低点即顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点A代入得：， 解得：， ∴ 【小问2详解】 如图所示： 设上有轴，轴，且， ∴点F和点的纵坐标为， 当时，， 解得：，， ∴， ∵每两人之间的空隙也至少为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在此条件下最多能同时容纳7名同学进入绳内跳跃． 26. 问题提出 （1）在直角坐标系中，已知点和点．将线段平移到线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D．若点D的坐标为，则C点的坐标为______． 问题探究 （2）如图1，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，连接．当点D落在线段上，此时，求的度数． 问题解决 （3）如图2，四边形ABCD为某公园的地形平面图，其中米，米，，且米，公园出口Q位于边上，且米．规划局计划设计花卉观赏区，其中点E和点F分别在边和上，且满足，，．规划局想在EP的上方修一条长60米且平行于的观赏桥．游客观赏完花卉从点P出发，通过观赏桥再从出口Q出园，游客所走总路程是否存在最短路程？如果存在，请画出设计图，并求出总路程的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 最短路程为米 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得出线段向右平移3个单位长度，即可求解； （2）根据旋转的性质得出，确定，再由等量代换确定，得出，，即可求解； （3）以为边作矩形，连接，得出，，，再由相似三角形的判定和性质得出，，，确定，得出无论点E、F如何运动，点P为定点，过点P作，取点K，使得，连接，结合图形利用平行四变形的性质得出点P、M、K在同一直线上，取得最小值，然后结合图形及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵点和点，线段平移到线段，点B的对应点为点D，点D的坐标为， ∴线段向右平移3个单位长度， ∴C点的坐标为； 【小问2详解】 ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 以为边作矩形，连接，如图所示： ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴无论点E、F如何运动，点P为定点， 过点P作，取点K，使得，连接，如图所示： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 此时点P、M、K在同一直线上，取得最小值， ∴， ∵，， ∴，， 同理得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $