奥数培优：多人多次相遇与追及（讲义）2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优专题讲义：归一归总问题 学习目标 【知识目标】1. 精准区分直线（同端/两端）、环形（同地/异地）四类场景下，多人多次相遇、追及的路程和/差通项公式，理清公式底层推导逻辑，杜绝死记硬背；2. 熟记6大高频易错陷阱，明确端点相遇、不同时出发、往返停顿的判定标准。 【能力目标】1. 掌握线段图、两两拆分两大核心解题方法，能独立拆解三人及以上复杂行程问题；2. 熟练运用行程比例法替代硬算，解决变速、相遇点间距变式题型；3. 能自主判断相遇次数、相遇位置，完成余数定位计算。 知识讲解 前置基础：行程核心比例规律 多人多次相遇追及所有题型均依托3组基础比例，是解题底层逻辑： 1.时间相同：路程比=速度比（使用频率最高，90%小升初真题用此解题） 2.速度相同：路程比=时间比 3.路程相同：速度比与时间比互为反比 定义区分：迎面相遇=两人相向而行路程和抵消距离；同向追及=两人同向而行快者路程差抵消距离；端点相遇=相遇点恰好为道路端点，需单独验证次数。 模块1：直线跑道双人多次相遇（往返） 情况1：甲乙从直线两端A、B同时出发，往返行驶 1.迎面相遇（相向）：第n次迎面相遇，两人路程和=(2n-1)个全程 2.同向追及（同方向）：第n次追及相遇，两人路程差=(2n-1)个全程 推导说明：第一次相遇合走1个全程，之后每多一次迎面相遇，需要再合走2个全程，因此第2次合计3个、第3次合计5个，通项公式(2n-1)。 情况2：甲乙从直线同一点A同时出发，往返行驶 1.迎面相遇：第n次迎面相遇，两人路程和=2n个全程 2.同向追及：第n次追及相遇，两人路程差=2n个全程 推导说明：同端出发第一次迎面相遇需要合走2个全程，后续每次依旧合走2个全程，无差值。 模块2：直线跑道三人多人相遇追及 小升初仅考查三人题型，无四人及以上，固定两种解题方法： 1.两两拆分法（主流）：先算最快与次快的相遇时间，再用该时间结合第三人速度求位置，避免同时分析三人运动 2.路程差传递法：利用甲遇乙、甲遇丙的时间差，计算乙丙初始距离差，反向求全程 核心结论：三人异地同时出发，两两相遇的时间差，本质是第三人在间隔时间内补足的路程差。 模块3：环形跑道多人多次相遇追及 设环形跑道周长为S，默认匀速、无停顿、原路折返 情况1：同地同时出发 1.背向（相向）：每迎面相遇1次，路程和=1圈；第n次相遇路程和=nS 2.同向：每追及1次，路程差=1圈；第n次追及路程差=nS 情况2：异地同时出发 先计算初始短距离间隔d，第一次相遇和/差为d，从第二次开始，后续每次和/差为1圈，不可直接套用nS公式（高频易错点） 模块4：6大高频易错陷阱 1.端点相遇：相遇在端点时，本次相遇同时满足迎面、追及条件，不能重复计数 2.时出发：需先扣除先行路程，转化为同时出发模型再套公式 3.速度变化：仅单次往返变速，比例法失效，必须分段计算 4.相遇定义：小升初官方定义“迎面相遇、背后追及均算相遇”，部分题目仅算迎面，需读题标注 5.往返停顿：到达端点停留时间，需额外计入总运动时长 6.往返折返：直线往返不可套用环形公式，二者通项完全独立 例题讲解 【典型例题1】直线两端双人多次迎面相遇（基础必考） 题目：甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，第一次在距离A地90km处相遇。两车到达对方起点后立即原路返回，第二次在距离B地40km处相遇。求A、B两地全程距离。 【跟踪训练1】 题目：甲乙两人从AB两端同时相向而行，第一次相遇距B地72米，返回后第二次相遇距A地35米，求AB距离。 【跟踪训练2】（相遇点间距变式） 题目：甲乙两车AB两端相向出发，第一次距A地68km相遇，返回后第二次距A地52km相遇，求两次相遇点之间的距离。 【典型例题2】直线同端双人多次追及（易错陷阱） 题目：甲乙两人同时从A点出发往返AB两地，AB全长400米，甲速度5m/s，乙速度3m/s。出发后多久两人第二次同向追及？ 【跟踪训练1】（端点相遇陷阱） 题目：AB相距300米，甲6m/s、乙2m/s同端往返，第3次追及时是否在端点？ 【跟踪训练2】（不同时出发追及） 题目：甲乙同端往返500米跑道，甲先出发10秒，速度4m/s，乙后出发速度6m/s，乙出发后多久第一次追及甲？ 【典型例题3】环形三人多次相遇（小升初压轴） 题目：周长1200米环形跑道，甲乙丙三人同地同时出发，甲乙反向、甲丙同向，甲速5m/s，乙速3m/s，丙速2m/s。甲第一次与乙相遇后，再过多少秒第一次与丙相遇？ 【跟踪训练1】（环形异地三人） 题目：周长800米环形跑道，甲乙相距200米异地反向出发，丙与甲同向，甲4m/s、乙2m/s、丙1m/s，甲乙第一次相遇后多久甲丙第一次追及？ 【跟踪训练2】（三人同追及） 题目：3人同地同向环形600米跑道，速度分别为6、4、2m/s，最快者第二次同时追上另外两人用时多久？ 巩固练习 一、基础巩固（1-10题，直线双人基础，校内拔高难度） 1. AB相距450米，甲乙两端相向，第一次距A地200米相遇，返回二次相遇距B地多少米？ 2. 甲乙同端往返600米直路，甲4m/s、乙2m/s，第1次迎面相遇用时？ 3. 两车AB两端同时出发，速度比2:3，二次相遇距中点20km，求全程？ 4. 甲乙往返320米直道，两端出发，甲5m/s乙3m/s，3分钟内迎面相遇几次？ 5. 甲先行80米，甲乙两端相向，甲3m/s乙5m/s，首次相遇用时？AB400米 6. 两端出发二次相遇间距50km，第一次距A110km，求全程？ 7. 同端往返，甲速度是乙1.5倍，第四次迎面相遇乙走480米，求全程？ 8. 甲乙两端相向，相遇后继续走，到达端点延迟5秒折返，二次相遇延迟多久？ 9. AB相距600米，甲从A、乙从B，甲到B停留10秒返回，首次相遇距A240米，乙速2m/s，求甲速？ 10. 两端出发，第三次迎面相遇距A地120km，速度比1:4，求全程？ 二、中档突破（11-20题，环形双人+直线追及，择校难度） 11. 400米环形跑道，同地背向，甲6m/s乙4m/s，第8次相遇甲总路程？ 12. 400米环形同向，甲5乙3，第三次追及距起点多少米？ 13. 环形相距150米异地背向，周长500米，首次相遇路程和150米，第五次相遇总路程和？ 14. 甲乙环形同向，甲每12分钟追及一次，乙速80m/min，周长480米，甲速？ 15. 直线同端往返，甲乙速度比3:1，10分钟内追及几次？全程200米 16. 环形相遇后提速20%，二次相遇用时缩短多少？原相遇10分钟 17. 两人环形同时同地，一正一反，第100次相遇，快慢路程差多少？周长600 18. 直线两端，甲到B提速50%，二次相遇距原相遇点30km，求全程？ 19. 甲乙间隔100米环形同向，甲快，首次追及用时20秒，速度差？ 20. 往返直线，两人同时端点出发，1小时内端点相遇次数？甲乙速度2:1 三、拔高压轴（21-25题，三人相遇+变速往返，分班考难度） 21. 甲乙丙速度60、50、40m/min，甲从B、乙丙从A同时相向，甲遇乙15分钟后遇丙，求AB距离？ 22. 环形1800米，甲乙同地反向，丙同地同向，甲速是乙2倍，甲遇丙用时9分钟，甲遇乙用时3分钟，丙速？ 23. 甲乙两端往返，甲去速4回速6，乙匀速5，二次相遇点间距42km，求全程？ 24. 三人环形同向，速度9、7、5m/s，求首次三人同时相遇时间，周长360米 25. 甲乙异地直线相距800米，甲先出发2分钟，后续丙从甲起点出发追两人，丙速10m/s，首次同时追上甲乙用时？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优专题讲义：归一归总问题 学习目标 【知识目标】1. 精准区分直线（同端/两端）、环形（同地/异地）四类场景下，多人多次相遇、追及的路程和/差通项公式，理清公式底层推导逻辑，杜绝死记硬背；2. 熟记6大高频易错陷阱，明确端点相遇、不同时出发、往返停顿的判定标准。 【能力目标】1. 掌握线段图、两两拆分两大核心解题方法，能独立拆解三人及以上复杂行程问题；2. 熟练运用行程比例法替代硬算，解决变速、相遇点间距变式题型；3. 能自主判断相遇次数、相遇位置，完成余数定位计算。 知识讲解 前置基础：行程核心比例规律 多人多次相遇追及所有题型均依托3组基础比例，是解题底层逻辑： 1.时间相同：路程比=速度比（使用频率最高，90%小升初真题用此解题） 2.速度相同：路程比=时间比 3.路程相同：速度比与时间比互为反比 定义区分：迎面相遇=两人相向而行路程和抵消距离；同向追及=两人同向而行快者路程差抵消距离；端点相遇=相遇点恰好为道路端点，需单独验证次数。 模块1：直线跑道双人多次相遇（往返） 情况1：甲乙从直线两端A、B同时出发，往返行驶 1.迎面相遇（相向）：第n次迎面相遇，两人路程和=(2n-1)个全程 2.同向追及（同方向）：第n次追及相遇，两人路程差=(2n-1)个全程 推导说明：第一次相遇合走1个全程，之后每多一次迎面相遇，需要再合走2个全程，因此第2次合计3个、第3次合计5个，通项公式(2n-1)。 情况2：甲乙从直线同一点A同时出发，往返行驶 1.迎面相遇：第n次迎面相遇，两人路程和=2n个全程 2.同向追及：第n次追及相遇，两人路程差=2n个全程 推导说明：同端出发第一次迎面相遇需要合走2个全程，后续每次依旧合走2个全程，无差值。 模块2：直线跑道三人多人相遇追及 小升初仅考查三人题型，无四人及以上，固定两种解题方法： 1.两两拆分法（主流）：先算最快与次快的相遇时间，再用该时间结合第三人速度求位置，避免同时分析三人运动 2.路程差传递法：利用甲遇乙、甲遇丙的时间差，计算乙丙初始距离差，反向求全程 核心结论：三人异地同时出发，两两相遇的时间差，本质是第三人在间隔时间内补足的路程差。 模块3：环形跑道多人多次相遇追及 设环形跑道周长为S，默认匀速、无停顿、原路折返 情况1：同地同时出发 1.背向（相向）：每迎面相遇1次，路程和=1圈；第n次相遇路程和=nS 2.同向：每追及1次，路程差=1圈；第n次追及路程差=nS 情况2：异地同时出发 先计算初始短距离间隔d，第一次相遇和/差为d，从第二次开始，后续每次和/差为1圈，不可直接套用nS公式（高频易错点） 模块4：6大高频易错陷阱 1.端点相遇：相遇在端点时，本次相遇同时满足迎面、追及条件，不能重复计数 2.时出发：需先扣除先行路程，转化为同时出发模型再套公式 3.速度变化：仅单次往返变速，比例法失效，必须分段计算 4.相遇定义：小升初官方定义“迎面相遇、背后追及均算相遇”，部分题目仅算迎面，需读题标注 5.往返停顿：到达端点停留时间，需额外计入总运动时长 6.往返折返：直线往返不可套用环形公式，二者通项完全独立 例题讲解 【典型例题1】直线两端双人多次迎面相遇（基础必考） 题目：甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，第一次在距离A地90km处相遇。两车到达对方起点后立即原路返回，第二次在距离B地40km处相遇。求A、B两地全程距离。 【分析】本题为两端出发二次迎面相遇标准模型。两次相遇两车合计行驶3个全程，速度不变则路程比例不变。1个全程中甲走90km，3个全程中甲走90×3=270km。结合线段图可知，甲总路程=1个全程+40km。 【详解】 1.二次相遇路程和=3个全程，甲行驶总路程：90×3=270(km) 2.全程=270-40=230(km) 【答案】230千米 【跟踪训练1】 题目：甲乙两人从AB两端同时相向而行，第一次相遇距B地72米，返回后第二次相遇距A地35米，求AB距离。 【分析】以乙为研究对象，1个全程乙走72米，3个全程乙走216米，乙总路程=1全程+35米。 【详解】72×3-35=181(米) 【答案】181米 【跟踪训练2】（相遇点间距变式） 题目：甲乙两车AB两端相向出发，第一次距A地68km相遇，返回后第二次距A地52km相遇，求两次相遇点之间的距离。 【分析】先求全程，再用全程减去两次距端点距离，得到间距。甲3个全程走204km，对应2全程-52km。 【详解】全程=(68×3+52)÷2=128km；间距=128-68-52=8km 【答案】8千米 【典型例题2】直线同端双人多次追及（易错陷阱） 题目：甲乙两人同时从A点出发往返AB两地，AB全长400米，甲速度5m/s，乙速度3m/s。出发后多久两人第二次同向追及？ 【分析】同端出发同向追及，第n次追及路程差=2n个全程。第二次追及路程差=4个全程，利用路程差÷速度差=追及时间求解。极易混淆迎面相遇、同向追及公式。 【详解】 1.第二次追及路程差=4×400=1600米 2.速度差=5-3=2m/s 3.追及时间=1600÷2=800秒 【答案】800秒 【跟踪训练1】（端点相遇陷阱） 题目：AB相距300米，甲6m/s、乙2m/s同端往返，第3次追及时是否在端点？ 【分析】先算追及时间，再分别算两人总路程，判断是否为全程整数倍。 【详解】第3次追及路程差=6×300=1800米，时间=1800÷4=450秒；甲路程=2700米=9个全程，乙路程=900米=3个全程，均在端点。 【答案】在端点相遇 【跟踪训练2】（不同时出发追及） 题目：甲乙同端往返500米跑道，甲先出发10秒，速度4m/s，乙后出发速度6m/s，乙出发后多久第一次追及甲？ 【分析】先扣除甲先行路程，转化为同时间追及模型，不属于多次公式范畴，需分段计算。 【详解】先行距离=4×10=40米，追及时间=40÷(6-4)=20秒 【答案】20秒 【典型例题3】环形三人多次相遇（小升初压轴） 题目：周长1200米环形跑道，甲乙丙三人同地同时出发，甲乙反向、甲丙同向，甲速5m/s，乙速3m/s，丙速2m/s。甲第一次与乙相遇后，再过多少秒第一次与丙相遇？ 【分析】两两拆分法，分别计算甲乙相遇时间、甲丙相遇时间，做时间差即可，无需同时分析三人运动。 【详解】 1.甲乙反向相遇时间：1200÷(5+3)=150秒 2.甲丙同向追及时间：1200÷(5-2)=400秒 3.时间差：400-150=250秒 【答案】250秒 【跟踪训练1】（环形异地三人） 题目：周长800米环形跑道，甲乙相距200米异地反向出发，丙与甲同向，甲4m/s、乙2m/s、丙1m/s，甲乙第一次相遇后多久甲丙第一次追及？ 【分析】异地相遇先算初始间距200米，不套用整圈公式，后续追及按整圈计算。 【详解】甲乙相遇时间=200÷6=100/3秒；甲丙追及时间=800÷3秒；差值=700/3秒 【答案】700/3秒 【跟踪训练2】（三人同追及） 题目：3人同地同向环形600米跑道，速度分别为6、4、2m/s，最快者第二次同时追上另外两人用时多久？ 【分析】求两两追及时间最小公倍数，第二次取2倍公倍数。 【详解】甲乙追及300秒，甲丙追及150秒，最小公倍数300秒，第二次=600秒 【答案】600秒 巩固练习 A组基础巩固（1-10题，直线双人基础，校内拔高难度） 1. AB相距450米，甲乙两端相向，第一次距A地200米相遇，返回二次相遇距B地多少米？ 【分析】1全程甲走200米，3全程600米，扣除全程即为距B地距离 【详解】200×3-450=150米 【答案】150米 2. 甲乙同端往返600米直路，甲4m/s、乙2m/s，第1次迎面相遇用时？ 【分析】同端首次迎面路程和=2全程 【详解】1200÷6=200秒 【答案】200秒 3. 两车AB两端同时出发，速度比2:3，二次相遇距中点20km，求全程？ 【分析】3个全程路程比2:3，甲走1.2全程，超出中点0.2全程 【详解】20÷0.2=100km 【答案】100km 4. 甲乙往返320米直道，两端出发，甲5m/s乙3m/s，3分钟内迎面相遇几次？ 【分析】总路程和1440米，扣除1个全程，剩余每640米相遇一次 【详解】共3次 【答案】3次 5. 甲先行80米，甲乙两端相向，甲3m/s乙5m/s，首次相遇用时？AB400米 【分析】扣除先行距离，剩余320米同时相遇 【详解】320÷8=40秒 【答案】40秒 6. 两端出发二次相遇间距50km，第一次距A110km，求全程？ 【分析】标准间距模型 【详解】(110×3+50)÷2=190km 【答案】190km 7. 同端往返，甲速度是乙1.5倍，第四次迎面相遇乙走480米，求全程？ 【分析】四次迎面路程和8全程，路程比3:2 【详解】480÷2×5÷8=150米 【答案】150米 8. 甲乙两端相向，相遇后继续走，到达端点延迟5秒折返，二次相遇延迟多久？ 【分析】延迟时间同步，相遇时间无变化 【详解】0秒 【答案】0秒 9. AB相距600米，甲从A、乙从B，甲到B停留10秒返回，首次相遇距A240米，乙速2m/s，求甲速？ 【分析】用乙的运动时间反推甲有效运动时间 【详解】3m/s 【答案】3m/s 10. 两端出发，第三次迎面相遇距A地120km，速度比1:4，求全程？ 【分析】五次全程路程分配 【详解】300km 【答案】300km B组中档突破（11-20题，环形双人+直线追及，择校难度） 11. 400米环形跑道，同地背向，甲6m/s乙4m/s，第8次相遇甲总路程？ 【分析】8次合走8圈，速度比3:2分配路程 【详解】1920米 【答案】1920米 12. 400米环形同向，甲5乙3，第三次追及距起点多少米？ 【分析】三次差3圈，算余数定位 【详解】0米（回到起点） 【答案】0米 13. 环形相距150米异地背向，周长500米，首次相遇路程和150米，第五次相遇总路程和？ 【分析】首次150，后续每次500 【详解】2150米 【答案】2150米 14. 甲乙环形同向，甲每12分钟追及一次，乙速80m/min，周长480米，甲速？ 【分析】速度差=周长÷追及周期 【详解】120m/min 【答案】120m/min 15. 直线同端往返，甲乙速度比3:1，10分钟内追及几次？全程200米 【分析】追及路程差2n全程 【详解】7次 【答案】7次 16. 环形相遇后提速20%，二次相遇用时缩短多少？原相遇10分钟 【分析】速度和提升20%，时间反比 【详解】5/3分钟 【答案】5/3分钟 17. 两人环形同时同地，一正一反，第100次相遇，快慢路程差多少？周长600 【分析】反向无路程差，差值为0 【详解】0米 【答案】0米 18. 直线两端，甲到B提速50%，二次相遇距原相遇点30km，求全程？ 【分析】分段比例计算往返速度 【详解】270km 【答案】270km 19. 甲乙间隔100米环形同向，甲快，首次追及用时20秒，速度差？ 【分析】异地首次追及差间隔距离 【详解】5m/s 【答案】5m/s 20. 往返直线，两人同时端点出发，1小时内端点相遇次数？甲乙速度2:1 【分析】端点相遇需路程均为全程整数倍 【详解】3次 【答案】3次 C组拔高压轴（21-25题，三人相遇+变速往返，分班考难度） 21. 甲乙丙速度60、50、40m/min，甲从B、乙丙从A同时相向，甲遇乙15分钟后遇丙，求AB距离？ 【分析】甲丙15分钟路程和=乙丙路程差，反求相遇时间 【详解】16500米 【答案】16500米 22. 环形1800米，甲乙同地反向，丙同地同向，甲速是乙2倍，甲遇丙用时9分钟，甲遇乙用时3分钟，丙速？ 【分析】两两拆分求速度和、速度差 【详解】100m/min 【答案】100m/min 23. 甲乙两端往返，甲去速4回速6，乙匀速5，二次相遇点间距42km，求全程？ 【分析】分段计算往返时间与路程 【详解】150km 【答案】150km 24. 三人环形同向，速度9、7、5m/s，求首次三人同时相遇时间，周长360米 【分析】两两追及时间求最小公倍数 【详解】180秒 【答案】180秒 25. 甲乙异地直线相距800米，甲先出发2分钟，后续丙从甲起点出发追两人，丙速10m/s，首次同时追上甲乙用时？ 【分析】双层追及模型，先算甲乙间距再求丙追及 【详解】220秒 【答案】220秒 学科网（北京）股份有限公司 $