精品解析：河南洛阳市强基联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

洛阳强基联盟高一6月检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第八章~第九章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列调查中，适合用普查的是（ ） A. 调查全国居民的食品消费结构 B. 调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标 C. 调查某款新能源汽车电池的使用寿命 D. 检查某载人飞船零部件的质量情况 2. 某小学有学生3300人，卫生部门为了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本，则适合的抽样方法是（ ） A. 抽签法 B. 随机数法 C. 简单随机抽样 D. 分层随机抽样 3. 已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 6. 如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知8个样本数据，，，…，的平均数为4，其中，则这8个数据的方差为（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 28 8. 如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，M为的中点，Q为上一动点，若平面平面，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的极差为 B. 该组数据的70%分位数为 C. 剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D. 剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 11. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为2的正方形，点为棱的中点，平面，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. C. 三棱柱的侧面积可能为10 D. 三棱柱的体积的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取___________人. 13. 已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______． 14. 在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某沙稻研究中心在沙漠试验田种植甲、乙两种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg） 如下： 甲水稻亩产量 47 51 49 50 53 乙水稻亩产量 41 48 57 55 49 （1）分别求出甲、乙两种水稻亩产量的平均数与方差； （2）若要大面积种植这两种水稻中的一种，根据（1）中计算结果，分析哪个品种更适合推广，并说明理由． 16. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，O，M分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 17. 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，为等边三角形，，，M是PB上一点，且，N是PC的中点. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积. 19. 如图，在直三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，点D为的中点． （1）求证：⊥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若点A，B，C，D都在同一个球的表面上，求该球的表面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳强基联盟高一6月检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第八章~第九章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列调查中，适合用普查的是（ ） A. 调查全国居民的食品消费结构 B. 调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标 C. 调查某款新能源汽车电池的使用寿命 D. 检查某载人飞船零部件的质量情况 【答案】D 【解析】 【详解】A选项，全国居民数量庞大，全面调查难度大､成本高，适合抽样调查，A错误； B选项，调查一批袋装牛奶的细菌数具有破坏性，适合抽样调查，B错误； C选项，调查电池使用寿命会对电池造成损坏，适合抽样调查，C错误； D选项，载人飞船零部件的质量关乎飞行安全，必须确保每个零部件都合格，适合用普查，D正确. 2. 某小学有学生3300人，卫生部门为了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本，则适合的抽样方法是（ ） A. 抽签法 B. 随机数法 C. 简单随机抽样 D. 分层随机抽样 【答案】D 【解析】 【详解】由于不同年级的学生身体发育情况可能存在差异，因此适合采用分层随机抽样的方法． 3. 已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设该圆柱的底面半径为，高为， ，，得， 所以该圆柱的体积． 4. 已知是两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件定义判断可得答案. 【详解】若，则存在，使得，又，所以，可得， 故“”是“”的充分条件； 若，且，则可能在平面内，得不到， 故“”不是“”的必要条件． 综上，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 5. 某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】根据演讲人数及所占比求出选取的总人数，再由条形图得演讲人数即可得解. 【详解】由条形图得合唱人数为70，由饼状图得合唱人数占比， 因此选取的总人数为， 由饼状图得演讲及舞蹈人数和占比为， 人数和为， 由条形图得演讲人数为30，所以舞蹈人数为40. 故选：D. 6. 如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作直线，使得，通过平行线分线段成比例定理得出​的比值，再结合，得到​的值. 【详解】因为，直线与分别交于点和点， 过点作直线，使得，交于点，所以， 所以，故. 7. 已知8个样本数据，，，…，的平均数为4，其中，则这8个数据的方差为（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】 【详解】因8个样本数据，，，…，的平均数为4，记为， 则可得， 又， 则 ． 8. 如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，M为的中点，Q为上一动点，若平面平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当平面平面时，可分析需满足，此时利用直角三角求解即可. 【详解】如图所示， 因为平面⊥平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面，所以， 又，M为的中点，所以， 因为， 平面，所以平面， 又平面，所以， 当时，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 因为，，所以为等腰直角三角形，则， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据面面垂直判定定理，结合立体几何线面、面面的位置关系判定. 【详解】根据面面垂直的判定定理，，，推出，正确. 已知，由线面平行的性质，可得内存在直线满足； 又，因此，结合面面垂直判定可得，正确. 已知，，由面面平行的性质，推出，正确. 若，，则与可以平行，也可以相交，且相交时不一定垂直，无法推出，错误. 10. 已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的极差为 B. 该组数据的70%分位数为 C. 剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D. 剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 【答案】AD 【解析】 【分析】利用极差、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】该组数据的极差为，A正确； 因为，所以该组数据的70%分位数为，B错误； 原数据的平均数为，新数据的平均数为，无法确定与的大小，C错误； 剔除数据，后得到的新数据的波动变小，所以方差变小，Ｄ正确． 11. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为2的正方形，点为棱的中点，平面，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. C. 三棱柱的侧面积可能为10 D. 三棱柱的体积的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义即可判断A；先证明平面，再根据线面垂直的性质可得，即可判断B；设，则，求出侧面积公式结合已知即可判断C；根据结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，因为平面平面， 故直线与直线是异面直线，故A正确； 对于B，因为四边形是边长为2的正方形，所以， 又，所以， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又点为棱的中点，所以，故B正确； 对于C，设，则， 所以三棱柱的侧面积，该方程无解， 故三棱柱的侧面积不可能为10，故C错误； 对于D，由题意得 ， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取___________人. 【答案】12 【解析】 【分析】由分层抽样的方法进行求解． 【详解】女生应抽取的人数为人. 13. 已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件证明平面，结合线面垂直定义可得，由此可得结论. 【详解】如图所示，连接， 由已知，，点为的中点， ，，又，平面， 所以平面，又平面ABE， 所以，故异面直线与所成的角的大小为． 14. 在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，过点作直线的垂线，垂足为，证明平面，求出即可． 【详解】是边长为3的等边三角形，所以， 取的中点，则， 又平面，所以平面， 在中，由余弦定理得， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为，则， 又平面，所以，又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某沙稻研究中心在沙漠试验田种植甲、乙两种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg） 如下： 甲水稻亩产量 47 51 49 50 53 乙水稻亩产量 41 48 57 55 49 （1）分别求出甲、乙两种水稻亩产量的平均数与方差； （2）若要大面积种植这两种水稻中的一种，根据（1）中计算结果，分析哪个品种更适合推广，并说明理由． 【答案】（1）甲种水稻亩产量的平均数为，方差为， 乙种水稻亩产量的平均数为，方差为， （2） 甲品种水稻更适合推广．理由如下： 由可知，甲、乙两种水稻亩产量的平均数相同， 由可知，甲品种的产量比较稳定，所以甲品种水稻更适合推广． 【解析】 【小问1详解】 甲品种亩产量的平均数， 甲品种亩产量的方差， 乙品种亩产量的平均数， 乙品种亩产量的方差， 【小问2详解】 略 16. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，O，M分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明见详解. （2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）连接与，根据三角形中位线性质，结合线面平行判定定理可得； （2）要证明平面平面，只需要证明平面，根据等腰三角形性质、菱形性质，结合线面垂直判定定理可证. 【小问1详解】 因为底面为菱形，为的中点， 所以与的交点为，所以为的中点， 连接，因为为的中点，． 又平面，平面， 平面． 【小问2详解】 连接， 底面为菱形，， ，为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 平面， 平面平面． 17. 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 【答案】（1），74.5． （2）平均数为70.5，方差为35 【解析】 【小问1详解】 根据题意，，解得． ， 估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知评分在，的频率比为， 则样本中在内的评分的平均数为， 样本中在内的评分的方差为 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，为等边三角形，，，M是PB上一点，且，N是PC的中点. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，再利用线面垂直的定义得，再利用线面垂直的判定定理证得面，则； （2）首先证明，再求出相关三角形面积和棱锥的高，最后利用等体积法和棱锥体积公式即可得到答案. 【小问1详解】 因为为正三角形,所以,又,所以. 又底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以. 【小问2详解】 因为底面，底面，所以，由已知， 又，且平面，所以 平面， 又平面，所以，又， 所以就是二面角的平面角，所以 因为，则, 在中，因为是正三角形，则易知， 所以在中，， 因为底面,平面, 所以.知, 所以的面积. 因为,所以, 又因为为中点,所以. 设点到平面的距离为,由,得, 解得,即点到平面的距离为, 又,所以三棱锥的体积. 19. 如图，在直三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，点D为的中点． （1）求证：⊥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若点A，B，C，D都在同一个球的表面上，求该球的表面积． 【答案】（1）在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 因为，，由勾股定理得， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以．设与交于点E， 因为点D为的中点，在矩形中，，， 所以，又，， 所以，因为， 所以，所以，， 因为，，平面， 所以平面． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，再由，证明，结合线面垂直的判定定理即可得证. （2）由（1）可得平面平面，且平面平面， 所以点到平面的距离就是点到直线的距离d，由等面积法求得d，即可得解. （3）取CD的中点O，可证,即点A，B，C，D都在以O为球心的球O的表面上，该球的半径，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，平面，且平面， 所以平面平面，且平面平面， 所以点到平面的距离就是点到直线的距离d， 由（1）可得，，，， 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 因为，，，， 取CD的中点O，则， 取BC中点F，连接AF，OF，因为，F为BC的中点，所以， 在直棱柱中，平面ABC，又平面ABC，所以， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以，且，， 所以， 所以点A，B，C，D都在以O为球心的球O的表面上，该球的半径，表面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $