精品解析：2026年江苏宿迁市宿城区中考考前模拟数学试题

2026年中考第三次模拟考试数学试卷 （分值150分时间120分钟） 一．选择题（共8小题） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 球 C. 三棱柱 D. 圆柱 4. 某玩具商店一个星期销售的长毛绒玩具数量如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 玩具数量（件） 则这个星期该玩具商店销售长毛绒玩具的平均数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，点、在对角线上，连接、、、，若要判定四边形是菱形，则添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的顶点A，B，C均在坐标轴上，与y轴交于点E，且，若反比例函数经过点D，则k的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二．填空题（共10小题） 9. 函数中，自变量x的取值范围是________． 10. 因式分解：__________． 11. 用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____． 12. 如图，直线与正六边形交于M，N两点，则__________°． 13. 将抛物线向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是_______． 14. 学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 15. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是___________． 16. 如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，且点落在边上，连接．若，则的长度是______． 17. 如图，点在平面直角坐标系的原点上，点，，…在轴上，点，，，…，点，，，…都在抛物线上，四边形，，…都是菱形．若，则菱形的周长是________． 18. 如图，在平行四边形中，，，，分别是，边上的动点，将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，其中点始终落在边上．当时，求的值为_________． 三．解答题（共9小题） 19. 计算：． 20. 先化简．再从，0，1，2中选择合适的数作为x的值代入求值． 21. 如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类，B．语言类（小品、相声），C．魔术杂技类，D．互动类．调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为________，A类所对应的扇形圆心角的度数是________； （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数． 23. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 24. 随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购A、B两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，A型健身器材的单价比B型健身器材的单价低元，用元购买A型健身器材的数量和用元购买B型健身器材的数量相同． （1）求A、B两种型号健身器材的单价各是多少元； （2）该健身房计划购买A、B两种型号的健身器材共台，且A型健身器材的购买数量不超过B型健身器材购买数量的倍，购买A型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 25. 如图，为的直径，为的弦，交于点，延长至点，连接并延长与的延长线交于点，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 26. 如图1，山坡的坡角为，小明在距山脚点320米的点测得山顶的仰角为，请帮助小明解决下列问题： （1）求山顶到山脚的距离． （2）如图2，若在山脚距离60米处有一与地面垂直的索道，为索道的支架，在山坡上还有若干个索道支架（索道支架都与地面垂直），山坡上顶端处的支架为．已知支架之间的钢索，钢索与地面平行，米，米，求点距离地面的高度．（，，，） 27. 【问题情境】 （1）如图1，在中，点，分别在边，上，且，过点，分别作，的平行线，并交于点，连接，求证：为等腰三角形； 【情境探究】 （2）在（1）的条件下，若已知，，则的最小为________； 【迁移应用】 （3）如图2，是一块边长为20米的正六边形草地，现要在草地上修建两条步道和，其中点，分别在，上，且．求两条步道总长度的最小值； 【拓展延伸】 （4）如图3，中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作交于点，连接，，求四边形的面积最小值．（用含和的代数式表示） 28. 抛物线（b、c为常数）图象交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的表达式及其对称轴； （2）点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N． ①如图1，连接，若，求点P的横坐标； ②如图2，过点A作直线，轴，交抛物线的对称轴于点Q．若四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第三次模拟考试数学试卷 （分值150分时间120分钟） 一．选择题（共8小题） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘除法则，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 根据完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘除法可得答案． 【详解】A、，故本选项错误； B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选D． 3. 如图是某几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 球 C. 三棱柱 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的三视图逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，故A不符合题意； 球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故B不符合题意； 三棱柱的俯视图是三角形，故C不符合题意； 圆柱主视图、左视图、俯视图，分别是矩形、矩形、圆，故D选项符合题意， 故选D； 【点睛】本题考查几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握几种几何体的三视图． 4. 某玩具商店一个星期销售的长毛绒玩具数量如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 玩具数量（件） 则这个星期该玩具商店销售长毛绒玩具的平均数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】解：平均数为， 将所有数据从小到大排序得：， ∵数据个数为奇数，中位数为排序后中间位置的数，即第个数， ∴中位数为， 因此平均数为，中位数为． 5. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为 ； 故选A． 6. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，，根据角的和差关系，结合对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7. 如图，在正方形中，点、在对角线上，连接、、、，若要判定四边形是菱形，则添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质和判定，菱形的性质和判定，根据相关性质逐一判断即可，综合掌握相关知识点是解决问题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 在和中： ∴ ()， ∴； 同理可证： ()， ∴； 选项：∵，， ∴，依据四条边相等的四边形是菱形， 选项正确． 选项： ∵ ∴ 是成立的结论，无法推出四边形的边或对角线满足菱形的判定条件，选项不符合题意． 选项：仅知道，无法保证四边形的四条边相等或对角线互相垂直平分，不能判定其为菱形，选项错误． 选项： 仅能确定点的位置，无法保证点的位置使四边形满足菱形的判定条件，选项不符合题意． 8. 如图，的顶点A，B，C均在坐标轴上，与y轴交于点E，且，若反比例函数经过点D，则k的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先由平行得到，再由，可得，设，分别表示出其他的边长从而得到点D的坐标代入函数解析式，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 由，即，得， 故， ∴， 因为且，且在轴上， ∴点， ∵， ∴点， ∵反比例函数经过点， 则：． 二．填空题（共10小题） 9. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，解得， 故答案为：． 10. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式法分解因式，找准公因式是解题的关键． 直接利用提公因式法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可． 【详解】设这个圆锥的底面圆半径为r， 根据题意得2πr=， 解得r=1， 所以这个圆锥的底面圆半径为1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12. 如图，直线与正六边形交于M，N两点，则__________°． 【答案】120 【解析】 【分析】先根据正六边形的内角和可得每个内角的度数为，再根据四边形的内角和可得，最后再求解即可． 【详解】解：六边形是正六边形， 每个内角的度数为， ∴， ∵， ． 13. 将抛物线向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据二次函数图像平移的上加下减规律，得到平移后抛物线的解析式，再根据抛物线与x轴只有1个公共点，可得一元二次方程根的判别式，据此列方程即可求解m的值． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度后，得到的抛物线解析式为， 平移后抛物线与轴有个公共点， ，即， 整理得，， 解得， 故答案为：． 14. 学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】解：计算小竹的最终得分： ， 表示小兰的最终得分： ， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：， 移项得， 化简得， 系数化为得， 因为为整数， 所以的最小值为． 15. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】作交于点，先通过，得到的长度，再通过勾股定理求得，在利用面积法求得，最后利用求得答案． 【详解】解：如图所示，作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，且点落在边上，连接．若，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质可得，，设，求出，，根据等腰三角形的性质可得，据此列方程即可得解． 【详解】由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度是． 17. 如图，点在平面直角坐标系的原点上，点，，…在轴上，点，，，…，点，，，…都在抛物线上，四边形，，…都是菱形．若，则菱形的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】设菱形的边长为，根据题意求出，代入抛物线的解析式求出，同法求出，推出，进而得到菱形的边长为，即可得出结果. 【详解】解：∵四边形，，…都是菱形，点，，…在轴上， ∴轴，轴，…， 设菱形的边长为， ∵， ∴， ∴，即， ∵点，，，…都在抛物线上， ∴， 解得（舍去）或； ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去） 同法可得：，， ∴， ∴菱形的边长为， ∴菱形的周长是. 18. 如图，在平行四边形中，，，，分别是，边上的动点，将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，其中点始终落在边上．当时，求的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】，延长交于点H，根据折叠的性质得，再根据平行四边形的性质得，设，则，根据勾股定理求出，可得，然后结合,可得，进而求出，接下来解直角三角形求出，可得，再设，根据勾股定理求出，即可得出，最后求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，延长交于点H， 根据折叠的性质得． ∵四边形是平行四边形， ∴． 在中，， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴． ∵, ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，即， 解得， ∴． ∵， ∴， 即， 设，根据勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（共9小题） 19. 计算：． 【答案】3 【解析】 【详解】解：原式 ． 20. 先化简．再从，0，1，2中选择合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】第一步，先对分式进行化简，通过通分、分式除法变乘法、因式分解和约分，将原式化为最简形式；第二步，根据分式有意义的条件，排除使分母或除式为零的值，从给定的数中选择合适的代入最简式计算求值． 【详解】解： ， 分式的分母不为，除式不为， ，，， ，，， ， 当时， 原式 ． 21. 如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，即，求出，即可求出结果． 【小问1详解】 证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 22. 2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类，B．语言类（小品、相声），C．魔术杂技类，D．互动类．调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为________，A类所对应的扇形圆心角的度数是________； （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数． 【答案】（1）100， （2）见解析 （3）280人 【解析】 【分析】（1）将B类的人数除以其百分比，即可求出样本容量．用乘以A类所占的比例，即可求出对应的扇形圆心角． （2）将样本容量减去A、B、C类的人数，得到D类的人数，即可补全条形统计图； （3）将学生总数800乘以样本中最喜爱“互动类”节目的比例，即可解答． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为， A类所对应的扇形圆心角的度数是． 【小问2详解】 解：D类的人数为， 补全条形图为： 【小问3详解】 解：（人） 估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数为280人． 23. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 24. 随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购A、B两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，A型健身器材的单价比B型健身器材的单价低元，用元购买A型健身器材的数量和用元购买B型健身器材的数量相同． （1）求A、B两种型号健身器材的单价各是多少元； （2）该健身房计划购买A、B两种型号的健身器材共台，且A型健身器材的购买数量不超过B型健身器材购买数量的倍，购买A型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元； （2）购买A型健身器材20台，52000元． 【解析】 【分析】（1）设A型健身器材单价为x元，则B型健身器材单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购买A型健身器材m台，则购买B型健身器材台，根据题意，列出不等式得出设采购费用为y元，得出相应得一次函数解析式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型健身器材单价为x元，则B型健身器材单价为元． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解． ∴（元） ∴A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元； 【小问2详解】 设购买A型健身器材m台，则购买B型健身器材台． 根据题意得： 解得： 设采购费用为y元， 根据题意得：． ∵， ∴y随m的增大而减小． ∴当时，y有最小值， 最小为：（元）． 25. 如图，为的直径，为的弦，交于点，延长至点，连接并延长与的延长线交于点，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由得，又，故，又，故，即，因此，故为的切线； （2）设，由，得，，从而，在中，，故，在中，，，，解得，或（舍去），故． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ，即，， ， 为的切线； 【小问2详解】 解：设， ，， ，， ， 在中，， ， 在中，，， ，解得，或（舍去）， ． 26. 如图1，山坡的坡角为，小明在距山脚点320米的点测得山顶的仰角为，请帮助小明解决下列问题： （1）求山顶到山脚的距离． （2）如图2，若在山脚距离60米处有一与地面垂直的索道，为索道的支架，在山坡上还有若干个索道支架（索道支架都与地面垂直），山坡上顶端处的支架为．已知支架之间的钢索，钢索与地面平行，米，米，求点距离地面的高度．（，，，） 【答案】（1）500米 （2）260米 【解析】 【分析】（1）过A作于E，设，在、中，根据正切的定义分别求出，，结合得出，求出，，然后根据勾股定理求解即可； （2）以B为原点，为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设交y轴于D，过A作于E，延长交于F，待定系数法求出直线解析式为，根据，可设直线解析式为，把代入可求出，则可求出，根据平行线间的距离求出，即可求解． 【小问1详解】 解：过A作于E， 根据题意，得，，， 设， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 答：山顶到山脚的距离为500米； 【小问2详解】 解：以B为原点，为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设交y轴于D，过A作于E，延长交于F， 根据题意，得，，，， ∴， 由（1）知：，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点距离地面的高度为260米． 27. 【问题情境】 （1）如图1，在中，点，分别在边，上，且，过点，分别作，的平行线，并交于点，连接，求证：为等腰三角形； 【情境探究】 （2）在（1）的条件下，若已知，，则的最小为________； 【迁移应用】 （3）如图2，是一块边长为20米的正六边形草地，现要在草地上修建两条步道和，其中点，分别在，上，且．求两条步道总长度的最小值； 【拓展延伸】 （4）如图3，中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作交于点，连接，，求四边形的面积最小值．（用含和的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2） （3）米 （4） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可证明结论； （2）由（1）知四边形是平行四边形，为等腰三角形；求出，当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用直角三角形的性质即可解答； （3）分别过点，作的平行线交于点，过点作于点，连接，过点作，证明为等腰三角形，求出米，米，，同理（1）得为等腰三角形，则，求出，同理（1）得，四边形是平行四边形，当时，有最小值，则有最小值，解直角三角形即可求解； （4）如图，过点作于点，分别过点，作的平行线交于点，连接，同理（1）得为等腰三角形，，证明四边形是平行四边形，得到四边形的面积为，当点重合时，有最小值，最小值为的长，此时，证四边形是矩形，可得有最小值，最小值为的长，再根据，求出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：过点作交延长线于点， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形； ∴， ∴， 当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 此时，在中，， ∴，即的最小为； 【小问3详解】 解：分别过点，作的平行线交于点，过点作于点，连接，过点作， ∵正六边形中，，米， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴（米）， ∴（米）； 同理，得米，， 同理（1）得为等腰三角形，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理（1）得，四边形是平行四边形， ∴， 当时，有最小值，则有最小值， 此时，， ∴（米）， ∴的最小值为米， 即两条步道总长度的最小值为米； 【小问4详解】 解：如图，过点作于点，分别过点，作的平行线交于点，连接， 同理（1）得为等腰三角形， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形的面积为， 当点重合时，有最小值，最小值为的长， 此时，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 此时，有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴四边形的最小面积为． 28. 抛物线（b、c为常数）图象交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的表达式及其对称轴； （2）点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N． ①如图1，连接，若，求点P的横坐标； ②如图2，过点A作直线，轴，交抛物线的对称轴于点Q．若四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为______． 【答案】（1），对称轴为直线 （2）①或；②或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式，再根据对称轴公式求解对称轴即可； （2）①先求出直线，设（），表示出，，再由正弦得到，据此解方程即可； ②可得四边形是矩形，连接，分两种情况讨论求解：当落在上时，符合题意；当矩形的对角线的中点落在直线上，符合题意． 【小问1详解】 解：由题意得，将点，代入， 则 解得 ∴抛物线表达式为， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①∵抛物线对称轴为直线，且抛物线交x轴于点和点B， ∴， 设直线， 则代入点得，， 解得， ∴直线 设（）， ∵轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N ∴，， ∴， ∵， 则， ∴ ∴ 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或（舍去） 综上：点P的横坐标为或； ②由题意得，， ∴四边形是矩形， 连接，当落在上时，如图： 此时四边形在直线与l之间的部分是，符合题意， 将点代入， 则 解得或（舍去）； 当矩形的对角线的中点落在直线上，中点记为点， ∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的中点， ∴此时四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半， ∵， ∴设直线， 代入点得，， 解得， ∴直线， ∵，， ∴，即， 将点代入， 则， 解得或（舍去）， 综上：点P的横坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $