精品解析：2024年江苏省宿迁市宿城区、湖滨新区九年级中考三模考试数学试题

宿迁市 2024年初中毕业暨升学模拟考试 数 学 答题注意事项 1． 本试卷共6页． 全卷满分 150分． 考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选其他答案．答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 函数中，自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长是 A. 22 B. 19 C. 17 D. 17或22 5. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ） A. 120° B. 180° C. 240° D. 300° 6. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（　　） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 7. 若关于x的不等式组的最大整数解是2，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则 ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上） 9. 某病毒的直径约为米， 用科学记数法表示是______ 10. 因式分解：3x3﹣12x=_____． 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共70个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的红球大约有________个． 13. 已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____． 14. 如图，过四边形 的顶点A，C，D的圆，分别交于点E，F．若，的度数为，则________°． 15. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为________________． 16. 已知，则的值为____________． 17. 如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交于C，交于D，，则k的值为___________ 18. 如图， 在中， ， 点是边上一点， 且， ，则面积的最大值为________． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 解方程：． 21. “五一”假期期间，南京旅游市场强劲复苏．甲、乙两位游客准备在5月3日各自游玩玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点，他们游玩每个景点的顺序是随机的． （1）求甲游玩的第一处景点是鸡鸣寺的概率； （2）甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的概率是______________． 22. 如图，已知矩形 ． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点分别在边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．） （2）若，求菱形的周长． 23. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ______ 乙 9 ______ 丙 ______ 8 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______．（填“”或“”或“”） 24. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． （1）求点到墙面的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长 为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 25. 如图，已知的边是⊙O的切线，切点为E， 经过圆心O并与圆相交于点F，交 于D，连接，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 26. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义 （2）求，，关于x的函数解析式 （3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 27. 如图，正方形 的边长为点，分别在边，上，且，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点，连接 ，，． （1）填空： ______ ；填或或 （2）设， ①的面积有变化吗？如果变化，请求出与的函数关系式；如果不变化，请求出定值； ②请直接写出使是等腰三角形的值． 28. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”． （1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”． （2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式． （3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿迁市 2024年初中毕业暨升学模拟考试 数 学 答题注意事项 1． 本试卷共6页． 全卷满分 150分． 考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选其他答案．答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】4的算术平方根是2． 故选B． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键． 2. 函数中，自变量 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 故选：B 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件是解题的关键． 3. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，合并同类项，积的乘方，掌握整式的混合运算是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法可判定A，D选项，根据合并同类项的方法可判定B选项，根据积的乘法判定C选项，由此即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意；   故选： C． 4. 已知等腰三角形的两边长分别为和 ，则这个三角形的周长是 A. 22 B. 19 C. 17 D. 17或22 【答案】A 【解析】 【详解】①4为腰长时，三角形三条边长分别为4、4、9，4+4＜9，不能构成三角形； ②9为腰长时，三角形三条边长分别为9、9、4，符合三角形三边关系，此时周长为22. 故选A. 点睛：此类没有明确等腰三角形的腰长问题，首先要进行分类讨论，特别注意要对三角形的三条边长进行验证是否满足三角形三边关系. 5. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ） A. 120° B. 180° C. 240° D. 300° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r， ∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR， ∵侧面积是底面积的2倍， ∴2πr2=πrR， ∴R=2r， 设圆心角为n，有=2πr=πR， ∴n=180°． 故选B． 考点：圆锥的计算 6. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（　　） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解． 【详解】解：根据n边形的内角和公式，得 （n﹣2）•180°=900°， 解得n=7， ∴这个多边形的边数是7， 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程． 7. 若关于x的不等式组的最大整数解是2，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解每个不等式，再根据条件确定a的范围． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵该不等式组的最大整数解是2， ∴该不等式组解集为：，其中， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式组的最大整数解问题，解题关键是能正确解出每个不等式并能正确分析字母参数满足的条件． 8. 关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则 ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上） 9. 某病毒的直径约为米， 用科学记数法表示是______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定 的值以及的值． 用科学记数法将，表示为即可． 【详解】解：根据， 故用科学记数法的表示为， 故答案为：． 10. 因式分解：3x3﹣12x=_____． 【答案】3x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可． 【详解】3x3﹣12x =3x（x2﹣4） =3x（x+2）（x﹣2）， 故答案为3x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 11. 在平面直角坐标系中，点关于 轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：由题意得，在平面直角坐标系中，点关于 轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共70个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在 左右，则袋子中的红球大约有________个． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了根据数据描述求频数，理解题意，正确列式计算是解题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，进行计算即可得到红球的个数． 【详解】解：根据题意得：（个）， ∴袋子中的红球大约有21个， 故答案为：21． 13. 已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整体代入求值即可． 【详解】解：把代入ax+by＝3可得： ， 2a+4b﹣5 ． 故答案为：1 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键． 14. 如图，过四边形的顶点A，C，D的圆，分别交于点E，F．若，的度数为，则________°． 【答案】102 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，根据三角形的外角性质求出，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】如图，连接， 的度数为， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， 故答案为：102． 15. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为________________． 【答案】 【解析】 【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺可知：绳子比木条长5尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余2尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键. 16. 已知，则的值为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件中的指数和进行计算是解题的关键． 将和化为以为底的幂，再利用同底数幂的乘法法则和已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 由已知 得 ， ∴． 故答案为： ． 17. 如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交于C，交于D，，则k的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图象的性质，几何图形中线段的关系，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识的综合是解题的关键． 如图所示构造辅助线，可得四边形，是矩形，可证，，是等腰直角三角形，设，可得，，在等腰直角三角形中，根据其性质可得，，结合反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作轴，过点 作轴，过点作轴于点，作轴于点， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，，，， 已知直线， 令时，，则， ∴， 令时，， ∴，则， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴，，都是等腰直角三角形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设， ∴，， ∴在，中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图， 在中， ， 点 是边上一点， 且， ，则面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的基础知识，最大面积的转换，相似三角形的判定和性质，掌握构造等腰三角形，确定最大面积的方法，解直角三角形，圆的基础知识的综合运用是解题的关键． 根据题意，构造与相似，将的面积转换为面积的一半，当的面积最大，则的面积最大，当是等腰三角形时，面积最大，作，根据相似可得，作的外接圆，根据圆的基础知识，可得，构造，根据解直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点 ，使得， ∵， ∴，且 ， ∴， ∴，， 设，则， ∵，设点 到边上的高为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 作的外接圆，圆心为，当是等腰三角形时，边上高最大，则最大，此时，点 在点 处，，连接交于点， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数，二次根式的化简，负整数指数幂的运算，绝对值的性质等知识的综合，实数混合法则是解题的关键． 先分别算出特殊角的三角函数值，二次根式的化简，去绝对值，负整数指数幂，再根据实数的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：原方程去分母得：　 　 　 　 经检验，是原方程的根， ∴原方程的解为． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，掌握解分式方程的方法是解题关键． 21. “五一”假期期间，南京旅游市场强劲复苏．甲、乙两位游客准备在5月3日各自游玩玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点，他们游玩每个景点的顺序是随机的． （1）求甲游玩的第一处景点是鸡鸣寺的概率； （2）甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的概率是______________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用列举法以及概率公式进行计算即可． （2）利用列举法求概率即可． 【小问1详解】 解：甲将玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点分别记为A，B，C，甲所有可能的游玩顺序有：（A，B，C）、（A，C，B）、（B，A，C）、（B，C，A）、（C，A，B）、（C，B，A），共有6种结果，它们出现的可能性相同．满足甲游客最先去鸡鸣寺（记为事件M）的结果有2种，即（B，A，C）、（B，C，A）， 所以． 【小问2详解】 解：将玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点分别记为A，B，C，甲所有可能的游玩顺序有：（A，B，C）、（A，C，B）、（B，A，C）、（B，C，A）、（C，A，B）、（C，B，A），共有6种结果，它们出现的可能性相同，乙所有可能的游玩顺序有：（A，B，C）、（A，C，B）、（B，A，C）、（B，C，A）、（C，A，B）、（C，B，A），共有6种结果，它们出现的可能性相同， ∴甲乙所有可能的游玩顺序共有：种等可能的结果，甲、乙以相同顺序游玩这三处景点共有6种等可能的结果， ∴． 【点睛】本题考查列举法求概率．熟练掌握列举法，是解题的关键． 22. 如图，已知矩形． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点分别在边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．） （2）若，求菱形的周长． 【答案】（1） 如图，菱形即为所求作； （2）20 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据相关知识正确作图是解题关键． （1）作对角线的垂直平分线， 证明，即可证四边形是菱形； （2）设菱形边长为x，则，根据勾股定理列方程，求出，即可得到菱形的周长． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求作； 垂直平分， ，， 矩形， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：设菱形边长为x， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， 解得， 菱形周长． 23. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ______ 乙 9 ______ 丙 ______ 8 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______．（填“”或“”或“”） 【答案】（1）9，，； （2）选甲更合适， 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲； （3） 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数、方差、平均数的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8， 甲得分的中位数为9， 由乙得分的条形统计图可知， 乙得分的方差为， 由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8， 丙得分的平均数为， 故答案为：9，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为， 甲的方差为， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式解题关键． 24. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． （1）求点 到墙面的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， 【小问1详解】 解：过点A作，垂足为F， 在中，（米）， ∴（米）， ∴点A到墙面的距离约为米； 【小问2详解】 解：过点A作，垂足为G， 由题意得：，（米）， ∵（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 在中， ∴（米）， ∴（米）． 25. 如图，已知的边是⊙O的切线，切点为E，经过圆心O并与圆相交于点F，交于D，连接，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵是的切线，切点为E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线的性质得出，由得出，由得出，即可证明，再根据平行线的性质即可得证即可． （2）利用，在中计算解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r， ∵，， ∴， 在中，， 解得： ， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的性质，涉及到三角函数的运算，能够熟练运用圆的性质，切线的性质及三角函数的定义进行计算是解题关键． 26. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义 （2）求，，关于x的函数解析式 （3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 【答案】（1）当骑行时间为时，两种品牌的收费一样 （2）， （3）① 　②或 【解析】 【分析】（1）当骑行时间为时，两种品牌的收费一样． （2）待定系数法确定；． （3）①骑行时间，结合图形判断 品牌更省钱；②根据题意，构建方程，解得或． 【小问1详解】 解：当骑行时间为时，两种品牌的收费一样． 【小问2详解】 解：设，经过， ∴，得， ∴． 设，经过，则 ，解得 ∴． 【小问3详解】 解：①骑行时间， 如图，当骑行时间超过后， 品牌更省钱． ②根据题意，，变形得， 解得或 ∴或时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 【点睛】本题考查待定系数法确定一次函数解析式及图象及应用，理解函数与方程的联系是解题的关键． 27. 如图，正方形的边长为点 ， 分别在边，上，且，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点，连接，，． （1）填空： ______ ；填或或 （2）设， ①的面积有变化吗？如果变化，请求出与的函数关系式；如果不变化，请求出定值； ②请直接写出使是等腰三角形的值． 【答案】（1） （2）①不变，的面积为；②的值为或或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，利用外角的性质和已知条件即可求出； （2）①证明得出的结论，即可得到的面积不变； ②根据是等腰三角形分类讨论：当时，先证，即可求出，，再利用平行可得：，再利用与的和为4即可求出；当时，方法同上；当时，先证，在上取一点，使得，可证，设，则，再利用勾股定理即可求出 ，再利用与的和为即可求出． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 ①的面积不变． 理由：∵，， ∴， ， ∴． ∵． ∴的面积为． ②如图1中，当时， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴， 可得，， ∵， ∴， ∴． 如图2中，当时， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图3中，当时， 由（2）中， ∴， ∴ ∴ ∴． 在上取一点，使得， ∴， ∵， ∴， ∴，设，则， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】此题考查的是正方形的性质和相似三角形的判定及性质，等腰三角形的定义，分类讨论，解决此题的关键是画出每种分类讨论下的图形，利用已知条件推出各个边或角之间的关系，利用相似或勾股定理求边． 28. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”． （1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”． （2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式． （3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围． 【答案】(1)-1,5;(2) y＝﹣x2+3x﹣2；(3) 2＜p＜10. 【解析】 【分析】（1）1-2=-1，故“坐标差”为-1，y-x=-x2+3x+4-x=-（x-1）2+5，故“特征值”为5； （2）由题意得：点C（0，c），故点B、C的“指标差”相等，故点B（-c，0），把点B的坐标代入y=-x2+（1-c）x+c得：0=-（-c）2+b（-c）+c，解得：b=1-c，故：y=-x2+（1-c）x+c，故抛物线的“特征值”为-1，y-x=-x2+（1-c）x+c-x=-x2-cx+c，故=-1，即可求解； （3）“坐标差”为2的一次函数为：y=x+2，对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），则对称轴为：-=1，解得：p=2，对于图2，把点E（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2并解得：m=5或10（舍去10），即可求解． 【详解】解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1， y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5； （2）由题意得：点C（0，c），且点B、C的“坐标差”相等， 故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得： 0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c， 解得：b＝1﹣c， 故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c， 故抛物线的“特征值”为﹣1， ∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c， 故＝﹣1． ∴c＝﹣2，b＝3， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2； （3）“坐标差”为2的一次函数为：y＝x+2， ∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上， ∴设抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m+2， 当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2， 对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3）， 则对称轴为：﹣＝1，解得：p＝2， 对于图2，把点E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得： m＝5或10（舍去10）， 故﹣＝5，解得：p＝10， 故二次函与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围：2＜p＜10． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法、二次函数的性质、一次函数、矩形性质等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $